Matemática 2023

ISCAM
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INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E AUDITORIA DE MOÇAMBIQUE

Exame de Admissão de Matemática - 2022

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro a lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, a esferográfica (de cor azul ou preta).

Arranjar 10 livros 3 a 3 é o mesmo que:

A.Combinar os 10 livros 3 a 3 de 6 formas diferentes

B.Permutar os 10 livros

C.Combinar os 10 livros

D.Combinar os 10 livros 3 a 3 de 10 formas diferentes

E.Combinar os livros 10 a 3 de 3 formas diferentes

$C_n^k, k\ge n, k,n\in N$ , é o mesmo que:

n!

k!

\dfrac{n!}{k!}

D.nenhuma delas

\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

Permutar n elementos é o mesmo que:

A.fazer n grupos deles

B.mudá-los de posição

C.Arranjá-los n vezes

D.dispô-los em n diferentes posições com poucas repetição

E.Combiná-los n vezes

Para abrir automaticamente uma porta é necessário uma chave de 4 caracteres sendo 2 algarismos do sistema decimal e 2 letras (letras maiúsculas e minúsculas são distinguíveis). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição, e o Alfabeto tem 20 letras. Quantas chaves podem ser emitidas?

(10\times 20)^2

(10\times 40)^2

(10\times 20)^2\times \dfrac{4!}{2!}

(10\times 20)^2\times \dfrac{4!}{2!\times 2!}

(10\times 20)^2\times \dfrac{4!}{2!\times 2!}

Entre 26 letras de uma viatura pretende-se compor chapas de registo de viaturas que comportarão somente 3 letras para cada. Assumindo que são aceites todas as possíveis repetições de letras, quantas chapas poderão ser emitidas?

A.26

B.650

C.1300

D.1950

E.2600

Se uma bandeira nacional deve ter 5 cores e uma das cores deve ficar na posição vertical à esquerda e as restantes cores na posição horizontal, quantas bandeiras diferentes podem ser produzidas?

A.120

B.4!

C.5!

D.20!

E.nenhuma delas

O seleccionador de uma modalidade tem 5 jogadores que militam no exterior e 14 jogadores no campeonato interno. Ele pretende criar diferentes cenários para compor a equipa inicial para o jogo do próximo Domingo. Devem fazer parte da equipa inicial 6 jogadores, no entanto pelo menos metade da equipa deve ser constituída por jogadores que militam no campeonato interno. Quantas equipas iniciais poderão ser formadas?

A.3003

B.26663

C.84

D.2 ou 3

E.2

Quantos números de quatro dígitos começam com 3 ou 2?

A.2000

B.6

C.nenhuma delas

D.4

E.1000

Um casal pretende ter 3 filhos, qual é a probabilidade de que tenha pelo menos dois filhos de género masculino?

A.3

B.0.5

\frac{2}{3}

D.1

\frac{3}{8}

10.

No lançamento de um dado de 6 faces, qual é a probabilidade de obtermos um 2, um 4 ou um 5?

\frac{1}{6}

B.0.5

\left(\frac{1}{6}\right)^3

D.nenhuma delas

E.0.25

11.

O domínio da função $f(x)=\dfrac{e^x}{x^3+1}$ é o conjunto:

x\in R - \{1\}

x\in \emptyset

x\in R

x\in \{\text{números complexos}\}

x\in\, ]-\infty,0[\cup]0,+\infty[

12.

A inversa da função $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}$ é dada por:

f^{-1}(x)=x-\frac{1}{x}

f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}

D.nenhuma delas

f(x)=-\frac{1}{x^2}

13.

Suponhamos que as funções $f(x)$ , $g(x)$ e $h(x)$ sejam definidas na vizinhança de $a$ e que cumprem com a seguinte inequação $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ . Se $\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} h(x)=M$ então podemos dizer que:

\lim_{x\to a} g(x) < M

\lim_{x\to a} g(x) = M

\lim_{x\to a} g(x) > M

D.nada se pode dizer

E.nenhuma delas

14.

Determine os valores de $a$ e $b$ de modo que $\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{x^2+3x+1}{x+1}-(ax+b)\right)$ seja igual a zero:

a=1, b=1

a=2, b=1

a=1, b=2

a=1, b=0

a=1, \forall b\in R

15.

$\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{\frac{\operatorname{sen} x}{x}}$ é igual a:

e

e^{\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right)}

C.1

D.-1

E.indeterminado

16.

Diz-se que uma função $f(x)$ é contínua num certo ponto $x_0$ de seu domínio se nesse ponto ela:

A.tiver limites laterais

B.tiver limites laterais iguais

C.tiver assímptota vertical

D.tiver limite igual ao valor da função

E.tiver assímptota horizontal

17.

Seja dada a função $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\operatorname{sen} 3x}{x}, & \text{quando } x\neq 0 \\ A, & \text{quando } x=0\end{cases}$ Determine o valor de A, de modo que a função seja contínua.

A.A=1

B.A=3

C.A=0

D.A=

\pi

E.A=2

\pi

18.

A derivada da função $f(x)=|x|$ é igual a:

A.1

B.1 ou -1

C.0

D.não existe

E.nenhuma delas

19.

Suponha que uma função $g(x)$ e a sua inversa $f(y)=g^{-1}(y)$ tem derivadas nos pontos $x_0$ e $y_0$ respectivamente, então $f'(y)$ será:

A.independente de

g'(x)

\dfrac{1}{g'(x)}

[g'(x)]^{-1}

[1/(g(x))]'

E.nenhuma delas

20.

Calcule $[(e^{-x})^3]'$

-3x^2 e^{-x^3}

e^{-x^3}

-3x^2 e^{-x^2}

\ln(-3x)

-3e^{-3x}

21.

Para uma dada função com domínio $D$ , i.e. $f(x)$ , $x\in D$ suponhamos que $x_0 \in D$ . Se $f'(x_0)=0$ diremos que $x_0$ é:

A.zero da função

B.ponto de inflexão

C.ponto de máximo

D.ponto de máximo e mínimo

E.extremo da função

22.

Determine o ângulo descrito pela curva $f(x)=\dfrac{x^4}{4\sqrt{3}}$ no ponto $(1,2)$ :

A.30 graus

B.60 graus

C.45 graus

D.-30 graus

E.nenhum deles

23.

Determine a primitiva de $\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$

A.-x

B.-1

\ln|x-1|+\ln|x+1|+x+c

\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+x+c

\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|+x+c

24.

Seja $f(x)=x+1+\operatorname{sen} x$ . Determine a sua primitiva.

\dfrac{x^2}{2}+x+\cos x+c

\dfrac{x^2}{2}+x-\cos x

\dfrac{x^2}{2}+x-\cos x+c

x^2+x+\cos x+c

x^2+x+\dfrac{\cos x}{2}+c

25.

Se a primitiva de uma função $f(x)$ é igual a uma outra função $g(x)$ , então a primitiva do produto de uma constante $k$ e a função $f(x)$ será igual a:

g(kx)

k'g(x)

k'f(x)

kg'(x)

kg(x)

26.

Determine a equação de uma recta que passa pelo ponto $P(3,-1)$ e é perpendicular ao vector $n(2,1)$

3x-y=1

2x+y=3

x-2y=5

2x+y=5

x-2y=0

27.

O número $1-i$ representa um ponto de uma circunferência de raio igual a:

\sqrt{-1}

-i

i

D.1

\sqrt{2}

28.

Sejam dados os números $z_1=1-i$ e $z_2=-3+2i$ , podemos dizer que $2z_1-z_2$ é igual a:

-2+i

8-6i

5-4i

D.um número real

E.nenhuma delas

29.

Considere o exercício anterior, determine $\dfrac{z_2}{z_1}$

\dfrac{5+i}{2}

\dfrac{-5+i}{5}

C.nenhuma delas

-(2.5+0.5i)

E.indeterminado

30.

Um número complexo $z=x+iy$ divide-se em:

A.parte inteira e parte decimal

B.parte inteira e parte complexa

C.nenhuma delas

D.parte real e parte decimal

E.parte real e parte imaginária

31.

$\dfrac{|x-1|}{x-1}$ é igual a:

A.1

0,\forall x\in\mathbb{R}

1

x\neq 1

1

x\geq 0

-1

x<0

1

x\geq 1

, ou

-1

x<1

32.

Seja $f(x)$ uma função definida em $\mathbb{R}$ , então $g(x)=f(|x|)$ é:

A.uma função positiva

\forall x

B.uma função par

C.uma função ímpar

D.definida apenas para valores positivas

E.simétrica em relação ao eixo dos

x

33.

Se $|x-2|>2$ então:

x\in\;]-\infty,2]\cup[4,+\infty[

x\in[0,4]

x\in\;]-\infty,0[\cup]4,+\infty[

x>4

x>2

34.

$|1-\sqrt{2}|$ é igual a:

1-\sqrt{2}

B.não determinado

\sqrt{2}

|1|-|\sqrt{2}|

\sqrt{2}-1

35.

Seja dada uma função $f(x)$ , então a função $h(x)=|f(x)|$ é:

A.estritamente positiva

B.positiva

C.pertencente ao conjunto de números reais

D.não negativa

E.nenhuma delas

36.

$x^2-3|x|+4 \geq 0$ é uma afirmação verdadeira para:

\forall x \in \mathbb{R}

x \in ]-\infty,-3] \cup [-1,1] \cup [3,+\infty[

x \in [-3,-1] \cup [1,3]

x \in [-1,1]

x \in ]-\infty,-3] \cup [3,+\infty[

37.

Resolva a seguinte inequação $\dfrac{x^2+x-2}{x+1} < 0$

x \in ]-\infty,-2[ \cup ]-1,1[

x \in \mathbb{R} - \{-1\}

x \in ]-\infty,-2] \cup [-1,1[

x \in ]-2,-1[ \cup ]1,+\infty[

x \in \mathbb{R}

38.

Calcule $\sqrt{28}-\sqrt{14}$

0

\sqrt{14}

2\sqrt{7}

(\sqrt2-2)\sqrt7

(2-\sqrt2)\sqrt7

39.

$2^{3^2}$ é igual a:

A.64

B.12

C.32

D.512

E.nenhuma delas

40.

Se $\log_4(\log_2 a)=\log_2(\log_4 b)=1$ então $a+b$ é igual a

A.1

B.64

e

D.32

E.16

Respostas

Matemática 2023 · ISCAM · admitela.com

1A
2E
3D
4—
5—
6B
7B
8A
9B
10B
11A
12B
13B
14C
15D
16D
17B
18B
19—
20E
21E
22A
23D
24—
25E
26D
27E
28C
29D
30E
31E
32B
33C
34E
35D
36A
37A
38E
39D
40D

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/iscam/matematica-2023/

Solução da questão 1

Resposta

A.Combinar os 10 livros 3 a 3 de 6 formas diferentes

Resolução

Arranjar 3 de 10 é escolher 3 livros e depois ordená-los:

A_{10}^3=C_{10}^3\times3!

Cada combinação de 3 livros pode ordenar-se de

3!=6

formas diferentes.

Resposta: A

Erro comum. Escolher C, como se arranjar fosse só combinar: no arranjo a ordem conta.

Solução da questão 2

Resposta

\dfrac{n!}{k!(n-k)!}

Resolução

C_n^k

é o número de combinações de

n

elementos tomados

k

k

C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}

Resposta: E

A condição impressa, $k\ge n$ , devia ser $k\le n$ : com $k>n$ o factorial $(n-k)!$ não existe.

Erro comum. Escolher C, $\dfrac{n!}{k!}$ , esquecendo o factor $(n-k)!$ no denominador.

Solução da questão 3

Resposta

D.dispô-los em n diferentes posições com poucas repetição

Resolução

Permutar

n

elementos é dispô-los, por uma ordem, nas

n

posições, cada um uma só vez:

P_n=n!

Fazer grupos (A) e combinar (E) ignoram a ordem, que é precisamente o que a permutação conta.

Resposta: D

A alternativa D vem impressa com «com poucas repetição»; numa permutação cada elemento ocupa uma só posição, sem repetição.

Erro comum. Escolher B: mudar alguns elementos de posição não descreve todas as ordenações possíveis.

Solução da questão 4

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Com maiúsculas e minúsculas distintas há 40 letras e o total é $(10\times40)^2\times\frac{4!}{2!\,2!}$ , que nenhuma alternativa traz; D e E, além disso, são iguais.

Porquê

Posições dos 2 algarismos entre as 4:

\dfrac{4!}{2!\,2!}=6

Cada algarismo tem 10 hipóteses; cada letra tem

2\times20=40

, porque maiúsculas e minúsculas contam como diferentes.

Total:

10^2\times40^2\times6=(10\times40)^2\times\dfrac{4!}{2!\,2!}=960\,000

Nenhuma alternativa dá este valor: D e E, iguais entre si, usam 20 letras em vez de 40.

Solução da questão 5

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Com repetições aceites e a ordem a contar há $26^3=17\,576$ chapas, valor que não está nas alternativas; 2600 é $C_{26}^3$ , que proíbe repetições e ignora a ordem.

Porquê

Numa chapa a ordem das letras conta: ABC e CBA são chapas diferentes.

Com repetições aceites, cada uma das 3 posições tem 26 hipóteses:

26^3=17\,576

Nenhuma alternativa dá

17\,576

; os 2600 da E são

C_{26}^3

, as escolhas de 3 letras distintas sem ordem.

Solução da questão 6

Resposta

B.4!

Resolução

A cor da faixa vertical já está fixada: fica à esquerda e não troca com as outras.

As outras 4 cores ocupam as 4 faixas horizontais por qualquer ordem:

P_4=4!=24

Resposta: B

Se a cor da faixa vertical também puder variar, há $5\times4!=5!=120$ bandeiras, valor que está ao mesmo tempo em A e em C; a resposta pretendida lê «uma das cores» como uma cor já escolhida.

Erro comum. Deixar a mesma cor repetir-se em duas faixas, o que daria $4^4$ em vez de $4!$ .

Solução da questão 7

Resposta

B.26663

Resolução

Pelo menos metade dos 6 tem de ser do campeonato interno: 3, 4, 5 ou 6 internos.

C_{14}^3C_5^3+C_{14}^4C_5^2+C_{14}^5C_5^1+C_{14}^6C_5^0=364\cdot10+1001\cdot10+2002\cdot5+3003\cdot1

=3640+10\,010+10\,010+3003=26\,663

Resposta: B

Erro comum. Contar só as equipas só com internos, $C_{14}^6=3003$ (alternativa A), e esquecer os outros casos.

Solução da questão 8

Resposta

A.2000

Resolução

O primeiro dígito tem 2 hipóteses (2 ou 3); cada um dos outros três tem 10.

2\times10\times10\times10=2000

Resposta: A

Erro comum. Contar só os que começam por 3 (1000, alternativa E) e esquecer os que começam por 2.

Solução da questão 9

Resposta

B.0.5

Resolução

Há

2^3=8

sequências de géneros, todas igualmente prováveis.

Com pelo menos dois rapazes: MMF, MFM, FMM e MMM, ou seja, 4 casos.

P=\dfrac48=0{,}5

Resposta: B

Erro comum. Contar só os casos com exactamente dois rapazes, $\frac38$ (alternativa E), e esquecer MMM.

Solução da questão 10

Resposta

B.0.5

Resolução

Há 3 faces favoráveis (2, 4 e 5) em 6 igualmente prováveis.

P=\dfrac36=0{,}5

Resposta: B

Erro comum. Multiplicar, $\left(\frac16\right)^3$ , como se os três números tivessem de sair todos; num só lançamento as probabilidades somam-se.

Solução da questão 11

Resposta

x\in R - \{1\}

Resolução

e^x

existe para todo o

x

; só o denominador pode falhar.

x^3+1=0\iff x^3=-1\iff x=-1

O domínio é

\mathbb{R}\setminus\{-1\}

, a forma da alternativa A.

Resposta: A

O domínio é $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ : a alternativa A vem impressa com $\{1\}$ , sem o sinal menos.

Erro comum. Excluir $x=0$ (alternativa E), como se o denominador fosse $x^3$ .

Solução da questão 12

Resposta

f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Resolução

y=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}\Rightarrow y^2=1-\dfrac{1}{x^2}\Rightarrow x^2=\dfrac{1}{1-y^2}

No ramo

x\ge1

x=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}

Trocando as letras:

f^{-1}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Resposta: B

Em rigor, $f$ não é injectiva, porque $f(1)=f(-1)=0$ ; B é a inversa do ramo $x\ge1$ .

Erro comum. Escolher C, $\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ , que é $\dfrac{1}{f(x)}$ e não a inversa.

Solução da questão 13

Resposta

\lim_{x\to a} g(x) = M

Resolução

É o teorema das funções enquadradas:

g

fica presa entre

f

h

f

h

tendem para

M

g

também:

\lim_{x\to a}g(x)=M

Resposta: B

Erro comum. Pensar que, por $g\le h$ , o limite de $g$ tem de ser menor do que $M$ ; as desigualdades largas passam ao limite.

Solução da questão 14

Resposta

a=1, b=2

Resolução

Dividindo:

\dfrac{x^2+3x+1}{x+1}=x+2-\dfrac{1}{x+1}

A diferença fica

(1-a)x+(2-b)-\dfrac{1}{x+1}

, que só tende para 0 com

a=1

b=2

Resposta: C

Erro comum. Achar só $a=1$ e escolher E, sem reparar que o termo constante $2-b$ também tem de se anular.

Solução da questão 15

Resposta

D.-1

Resolução

Base:

\dfrac{x^2+1}{x^2-1}\to\dfrac{1}{-1}=-1

Expoente:

\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\to1

Não há indeterminação: o limite é

(-1)^1=-1

Resposta: D

Em rigor, perto de 0 a base é negativa e o expoente $\frac{\operatorname{sen}x}{x}$ não é inteiro, por isso a potência nem está definida em $\mathbb{R}$ ; a resposta pretendida faz o limite da base e o do expoente em separado.

Erro comum. Ver a base a tender para 1 e tratar o limite como uma indeterminação $1^\infty$ , com resposta $e$ .

Solução da questão 16

Resposta

D.tiver limite igual ao valor da função

Resolução

f

é contínua em

x_0

quando

\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

Ter limites laterais iguais (B) só garante que o limite existe; falta ser igual a

f(x_0)

Resposta: D

Erro comum. Escolher B: uma função com um «buraco» em $x_0$ tem limites laterais iguais e não é contínua.

Solução da questão 17

Resposta

B.A=3

Resolução

Para ser contínua em 0:

A=\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}3x}{x}

\dfrac{\operatorname{sen}3x}{x}=3\cdot\dfrac{\operatorname{sen}3x}{3x}\to3\cdot1=3

Resposta: B

Erro comum. Usar $\dfrac{\operatorname{sen}u}{u}\to1$ sem o factor 3 e dar $A=1$ .

Solução da questão 18

Resposta

B.1 ou -1

Resolução

Para

x>0

|x|=x

e a derivada é

1

; para

x<0

|x|=-x

e a derivada é

-1

x=0

o gráfico tem um bico e a derivada não existe; nos outros pontos vale

1

-1

Resposta: B

Erro comum. Escolher D por causa do bico em $x=0$ : a derivada só falta nesse ponto.

Solução da questão 19

Resposta

Nenhuma alternativa serve

$[g'(x)]^{-1}$ é o inverso do número $g'(x)$ , ou seja, $\frac{1}{g'(x)}$ : B e C são a mesma expressão e as duas estão certas.

Porquê

Derivada da função inversa:

f'(y_0)=\dfrac{1}{g'(x_0)}

, com

y_0=g(x_0)

[g'(x)]^{-1}

é o mesmo número, escrito como potência de expoente

-1

B e C estão ambas certas, por isso não há uma única resposta.

Solução da questão 20

Resposta

-3e^{-3x}

Resolução

(e^{-x})^3=e^{-3x}

\left(e^{-3x}\right)'=-3e^{-3x}

Resposta: E

Erro comum. Ler $(e^{-x})^3$ como $e^{-x^3}$ e derivar para $-3x^2e^{-x^3}$ (alternativa A).

Solução da questão 21

Resposta

E.extremo da função

Resolução

Num extremo de uma função derivável a tangente é horizontal:

f'(x_0)=0

Por isso os pontos onde

f'

se anula são os candidatos a extremo, máximo ou mínimo.

C deixa de fora os mínimos, e D exige as duas coisas ao mesmo tempo.

Resposta: E

Em rigor, $f'(x_0)=0$ só faz de $x_0$ um ponto crítico: em $f(x)=x^3$ a derivada anula-se em 0 e não há extremo. A resposta pretendida chama «extremo» a esse candidato.

Erro comum. Escolher C: a derivada também se anula nos mínimos.

Solução da questão 22

Resposta

A.30 graus

Resolução

Usa-se só a abcissa

x=1

: o ponto

(1,2)

não está na curva, porque

f(1)=\dfrac{1}{4\sqrt3}

f'(x)=\dfrac{4x^3}{4\sqrt3}=\dfrac{x^3}{\sqrt3}

, logo

f'(1)=\dfrac{1}{\sqrt3}

\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{1}{\sqrt3}\Rightarrow\alpha=30^\circ

Resposta: A

O ponto $(1,2)$ não está na curva; o ângulo pretendido é o da tangente em $x=1$ .

Erro comum. Trocar $\operatorname{tg}30^\circ=\frac{1}{\sqrt3}$ por $\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3$ e escolher B.

Solução da questão 23

Resposta

\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+x+c

Resolução

\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=1+\dfrac{2}{x^2-1}=1+\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}

Primitivando:

x+\ln|x-1|-\ln|x+1|+c

=\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+x+c

Resposta: D

Erro comum. Trocar o sinal de uma das fracções parciais e chegar a C ou a E.

Solução da questão 25

Resposta

kg(x)

Resolução

g'=f

, então

(k\,g)'=k\,g'=k\,f

Logo

k\,g(x)

é a primitiva de

k\,f(x)

Resposta: E

Erro comum. Escolher A, $g(kx)$ : a derivada de $g(kx)$ é $k\,f(kx)$ , e não $k\,f(x)$ .

Solução da questão 26

Resposta

2x+y=5

Resolução

A recta é perpendicular a

\vec n=(2,1)

, que é por isso o seu vector normal:

2x+y=d

Passa por

P(3,-1)

d=2\cdot3+(-1)=5

Resposta: D

Erro comum. Tomar $(2,1)$ como vector director e chegar a $x-2y=5$ (alternativa C), a recta paralela ao vector.

Solução da questão 27

Resposta

\sqrt{2}

Resolução

O número

1-i

é o ponto

(1,-1)

; a circunferência é a centrada na origem que passa por ele.

Raio:

|1-i|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2

Resposta: E

Erro comum. Dar raio 1, olhando só para a parte real, em vez de calcular o módulo.

Solução da questão 28

Resposta

5-4i

Resolução

2z_1=2-2i

2z_1-z_2=(2-2i)-(-3+2i)=2+3-2i-2i=5-4i

Resposta: C

Erro comum. Trocar só o sinal da parte real de $z_2$ e obter $5$ , um número real (alternativa D).

Solução da questão 29

Resposta

-(2.5+0.5i)

Resolução

\dfrac{z_2}{z_1}=\dfrac{-3+2i}{1-i}\cdot\dfrac{1+i}{1+i}=\dfrac{(-3+2i)(1+i)}{2}

(-3+2i)(1+i)=-3-3i+2i+2i^2=-5-i

\dfrac{-5-i}{2}=-(2{,}5+0{,}5i)

Resposta: D

Erro comum. Esquecer que $i^2=-1$ no produto do numerador.

Solução da questão 30

Resposta

E.parte real e parte imaginária

Resolução

z=x+iy

x

é a parte real e

y

a parte imaginária.

Resposta: E

Erro comum. Confundir «parte real» com «parte inteira»: $x$ e $y$ podem ser quaisquer números reais.

Solução da questão 31

Resposta

1

x\geq 1

, ou

-1

x<1

Resolução

x>1

|x-1|=x-1

e a fracção vale

1

x<1

|x-1|=-(x-1)

e a fracção vale

-1

x=1

a fracção não está definida. Esta separação em dois casos é a da alternativa E.

Resposta: E

Em $x=1$ o denominador anula-se; a alternativa E devia dizer $x>1$ .

Erro comum. Escolher C, esquecendo que para $x<1$ o módulo troca o sinal.

Solução da questão 32

Resposta

B.uma função par

Resolução

g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)=g(x)

para todo o

x

Logo

g

é par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo dos

y

Resposta: B

Erro comum. Pensar que o módulo torna a função positiva (A): o módulo está no argumento, não em $f$ .

Solução da questão 33

Resposta

x\in\;]-\infty,0[\cup]4,+\infty[

Resolução

|x-2|>2\iff x-2>2

x-2<-2

x>4

x<0

x\in\,]-\infty,0[\,\cup\,]4,+\infty[

Resposta: C

Erro comum. Resolver só $x-2>2$ e ficar com $x>4$ (alternativa D).

Solução da questão 34

Resposta

\sqrt{2}-1

Resolução

\sqrt2\approx1{,}41>1

, logo

1-\sqrt2<0

O módulo de um número negativo é o seu simétrico:

|1-\sqrt2|=\sqrt2-1

Resposta: E

Erro comum. Tirar só as barras e responder $1-\sqrt2$ , que é negativo.

Solução da questão 35

Resposta

D.não negativa

Resolução

Por definição de módulo,

|f(x)|\ge0

para todo o

x

Vale 0 onde

f

se anula, por isso não é estritamente positiva: é não negativa.

Resposta: D

Erro comum. Escolher A, esquecendo que $|f(x)|=0$ nos zeros de $f$ .

Solução da questão 36

Resposta

\forall x \in \mathbb{R}

Resolução

Com

t=|x|\ge0

t^2-3t+4\ge0

\Delta=9-16=-7<0

e o coeficiente de

t^2

é positivo: o trinómio é sempre positivo.

A desigualdade vale para todo o

x\in\mathbb{R}

Resposta: A

Erro comum. Procurar intervalos como se o trinómio tivesse raízes reais, sem calcular o discriminante.

Solução da questão 37

Resposta

x \in ]-\infty,-2[ \cup ]-1,1[

Resolução

x^2+x-2=(x+2)(x-1)

, logo a fracção é

\dfrac{(x+2)(x-1)}{x+1}

Com os pontos

-2

-1

1

, o sinal é negativo em

]-\infty,-2[

e em

]-1,1[

A desigualdade é estrita e

x=-1

anula o denominador: os extremos ficam abertos.

Resposta: A

Erro comum. Fechar os intervalos em $-2$ e $-1$ (alternativa C): em $-2$ a fracção vale 0 e em $-1$ não existe.

Solução da questão 38

Resposta

(2-\sqrt2)\sqrt7

Resolução

\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot7}=2\sqrt7

\sqrt{14}=\sqrt2\,\sqrt7

2\sqrt7-\sqrt2\,\sqrt7=(2-\sqrt2)\sqrt7

Resposta: E

Erro comum. Trocar a ordem e escrever $(\sqrt2-2)\sqrt7$ (alternativa D), que é negativo.

Solução da questão 39

Resposta

D.512

Resolução

Uma torre de potências calcula-se de cima para baixo:

3^2=9

2^{3^2}=2^9=512

Resposta: D

Erro comum. Calcular $(2^3)^2=64$ (alternativa A), de baixo para cima.

Solução da questão 40

Resposta

D.32

Resolução

\log_4(\log_2a)=1\Rightarrow\log_2a=4\Rightarrow a=2^4=16

\log_2(\log_4b)=1\Rightarrow\log_4b=2\Rightarrow b=4^2=16

a+b=16+16=32

Resposta: D

Erro comum. Parar em $\log_2a=4$ e usar 4 no lugar de $a=16$ .