Matemática 2024

ISCAM
40 questões
90 minutos
40 soluções

INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E AUDITORIA DE MOÇAMBIQUE

Exame de Admissão de Matemática - 2024

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro a lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, a esferográfica (de cor azul ou preta).

$a^3=-27$ se:

a=\pm3

a=3

a=3i

a=-3

a=-3i

$3{,}7\cdot10^{-4}$ é igual a:

0{,}0037

3700

0{,}00037

37000

0{,}037

$\dfrac{3}{5}$ é igual a:

6

0{,}60

0{,}06

6\%

0{,}6\%

$\sqrt[6]{x^3}$ é igual a:

\sqrt{x}

\sqrt[3]{x}

x^2

x^{-\frac{1}{2}}

x^{\frac{3}{2}}

A expressão $(2\sqrt3-1)(2\sqrt3+3)$ é equivalente a:

11

15

6(2+2\sqrt3)

6(2-2\sqrt3)

9+4\sqrt3

Se $|x|=-x$ então:

A.É impossível

x\in\,]-\infty,0[

x\in\,]-\infty,1[

]-\infty,0]

x\in[-\infty,0]

A expressão $|2-x|$ para $x>2$ é equivalente a:

4

x-2

2+x

0

2-x

A solução da equação $2^{3x+8}=16^x$ é:

x=4

x=-8

x=8

x=-4

x=3

O domínio da expressão $\sqrt{1-x^2}$ é:

]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[

]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[

]-1,1[

[-1,1]

]0,+\infty[

O Imposto Predial Autárquico (IPRA) é uma taxa que incide sobre o valor patrimonial dos prédios urbanos situados no território de uma autarquia. No Município do Sol para os prédios destinados à habitação a taxa é de 3%.

Com base na informação responda às Questões de 10 a 12.

10.

A contribuição para um prédio de habitação no valor patrimonial de 850.000,00 Mt é de:

A.2,550,00Mt

B.255, 000,00Mt

C.255,00Mt

D.25.500,00Mt

E.25.000,00Mt

11.

Um proprietário de um prédio destinado a actividade de natureza comercial de valor patrimonial 1.200.000,00 Mt pagou de IPRA 60.000,00 Mt. A taxa para este tipo de prédios é de:

7\%

4\%

5\%

3\%

2\%

12.

O sr António pagava de IPRA 4000,00 Mt. Em 2024 passará a pagar 7200,00 Mt, sendo a percentagem de aumento de:

100\%

75\%

70\%

80\%

45\%

13.

A Angélica recebe 25.000 Mt e o Hortêncio 20.000,00 Mt. A razão entre a remuneração do Hortêncio e da Angélica é:

\dfrac54

\dfrac45

\dfrac49

\dfrac59

\dfrac94

14.

O valor de $x$ na proporção $\dfrac17=\dfrac{x-6}{49}$ é:

-13

13

12

-12

14

15.

Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos, em 60 minutos produzirá:

240

250

200

260

270

16.

Uma urna contém os nomes dos integrantes de um grupo formado por 4 rapazes e 7 raparigas. A probabilidade de numa extracção sair o nome de um dos rapazes é:

\dfrac7{11}

\dfrac47

\dfrac{11}7

\dfrac74

\dfrac4{11}

17.

No lançamento de um dado a probabilidade de sair um número ímpar é:

\dfrac13

\dfrac23

\dfrac56

\dfrac12

\dfrac16

18.

$6!$ é igual a:

360

720

1440

120

30

19.

A expressão equivalente a $\dfrac{(n+1)!}{(n+2)(n-1)!}$ é:

\dfrac{n^2+n}{n+2}

\dfrac1{n+2}

\dfrac{n^2+1}{n+2}

\dfrac{n+1}{n+2}

\dfrac{(n+1)n!}{n+2}

20.

A solução da equação $\dfrac{2x+5}{x-1}=\dfrac14$ é:

x=-3

x=4

x=-4

x=3

x=2

21.

O ponto que pertence ao eixo das ordenadas num SCO é:

(2,0)

(-1,1)

(-3,0)

(2,-2)

(0,0)

Dada a função $f(x)=x^2-x-2$ responda às Questões 22 a 25.

22.

A função é equivalente a:

y=(x-2)(x-1)

y=(2-x)(x+1)

y=(x+2)(x+1)

y=(x-2)(x+1)

y=(x+2)(x-1)

23.

A primitiva da função é:

y=2x-1

y=\frac13x^3-\frac12x^2-2x+5

y=\frac13x^3-\frac12x^2-2

y=\frac13x^3-\frac12x^2+2x

y=\frac13x^3-\frac12x^2

24.

O gráfico da função $y=f(x)$ é:

25.

O coeficiente angular da recta tangente à curva no ponto $x=-3$ é:

-7

5

-2

2

1

26.

A soma do terceiro, quarto e quinto termos de uma progressão aritmética é 96. Se o quinto termo for 38 a razão é:

5

7

8

6

4

27.

Numa progressão aritmética a soma dos doze primeiros termos é igual a 6 e o primeiro termo 28. A razão é igual a:

-5

5

3

-3

4

28.

A soma dos termos da progressão $\dfrac34,\dfrac14,\dfrac1{12},\dfrac1{36},\dfrac1{108},\dots$ é:

\dfrac12

\dfrac34

\dfrac23

-\dfrac32

\dfrac98

O gráfico abaixo representa uma função exponencial. A partir do gráfico responda às questões 29 a 31:

29.

A expressão analítica da função é:

y=\left(\frac13\right)^x

y=\left(-\frac13\right)^x

y=2^x

y=3^x

y=(-3)^x

30.

Em relação à função é verdadeira a afirmação:

A.É decrescente

B.É constante

C.Tem um zero

D.Tem uma assíntota vertical

E.Tem uma assíntota horizontal

31.

Se $f(x)=1$ então:

x=3

x=0

x=1

x=2

x=-1

Em relação à função $f(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-1}$ responda às Questões de 32 a 37.

32.

Os zeros da função dada são:

x=2

x=-2

x=\pm2

x=-1

x=1

33.

A(s) assíntota(s) vertical(is) da função é(são):

x=1

x=1\lor x=0

x=\pm1

x=-1

x=2

34.

O valor de $f(-3)$ é:

\dfrac58

-\dfrac58

\dfrac{13}{100}

-\dfrac{13}{10}

\dfrac48

35.

A derivada da função é:

\dfrac{6x}{(x^2-1)^2}

-\dfrac{10x}{(x^2-1)^2}

-\dfrac{x^2}{(x^2-1)^2}

-\dfrac{6x}{(x^2-1)^2}

\dfrac{10x}{(x^2-1)^2}

36.

A assíntota horizontal é:

y=4

y=-1

y=2

x=1

y=1

37.

O domínio da função é:

\mathbb{R}

\mathbb{R}^+

\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}

\mathbb{R}\setminus\{1\}

\mathbb{R}\setminus\{-1\}

38.

Os extremos relativos da função $y=-x^3+3x^2+2$ são:

x_{max}=0,x_{min}=2

x_{max}=2,x_{min}=0

x_{max}=0,x_{min}=-2

x_{max}=-2,x_{min}=0

x_{max}=2,x_{min}=1

39.

$\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x^2-1}{x^2-x-2}$ é:

0

-\dfrac13

-\dfrac23

\dfrac23

+\infty

40.

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-4x+2}{5x^2+x-1}$ é igual a:

\dfrac35

\dfrac53

0

1

+\infty

Respostas

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As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/iscam/matematica-2024/

Solução da questão 1

Resposta

a=-3

Resolução

(-3)^3=-27

, logo

a=-3

As outras não servem:

3^3=27

(3i)^3=27i^3=-27i

(-3i)^3=27i

Resposta: D

Erro comum. Responder $a=\pm3$ , como numa raiz quadrada: a raiz cúbica de um número negativo é negativa e, nos reais, única.

Solução da questão 2

Resposta

0{,}00037

Resolução

10^{-4}

desloca a vírgula 4 casas para a esquerda:

3{,}7\cdot10^{-4}=0{,}00037

Resposta: C

Erro comum. Andar só 3 casas e escrever $0{,}0037$ , que é $3{,}7\cdot10^{-3}$ .

Solução da questão 3

Resposta

0{,}60

Resolução

\dfrac35=3\div5=0{,}6=0{,}60

Em percentagem seria

60\%

, e não

6\%

nem

0{,}6\%

Resposta: B

Erro comum. Confundir $0{,}6$ com $6\%$ , que vale $0{,}06$ .

Solução da questão 4

Resposta

\sqrt{x}

Resolução

\sqrt[6]{x^3}=x^{\frac36}=x^{\frac12}

x^{\frac12}=\sqrt{x}

Resposta: A

Erro comum. Inverter a fracção do expoente e escrever $x^{\frac63}=x^2$ .

Solução da questão 5

Resposta

9+4\sqrt3

Resolução

(2\sqrt3-1)(2\sqrt3+3)=4\cdot3+6\sqrt3-2\sqrt3-3

=12-3+4\sqrt3=9+4\sqrt3

Resposta: E

Erro comum. Fazer $(2\sqrt3)^2=2\cdot3$ em vez de $4\cdot3=12$ .

Solução da questão 6

Resposta

]-\infty,0]

Resolução

Por definição,

|x|=-x

quando

x\le0

O zero também serve, porque

|0|=0=-0

. O conjunto é

]-\infty,0]

Em E,

[-\infty

está mal escrito:

-\infty

não é um número e o intervalo fica sempre aberto desse lado.

Resposta: D

Erro comum. Deixar de fora o zero e escolher B, $]-\infty,0[$ .

Solução da questão 7

Resposta

x-2

Resolução

Para

x>2

2-x<0

Logo

|2-x|=-(2-x)=x-2

Resposta: B

Erro comum. Tirar só as barras e responder $2-x$ , que é negativo para $x>2$ .

Solução da questão 8

Resposta

x=8

Resolução

16^x=(2^4)^x=2^{4x}

Igualando os expoentes:

3x+8=4x

, logo

x=8

Resposta: C

Erro comum. Igualar $3x+8$ a $16x$ sem escrever primeiro $16$ como potência de $2$ .

Solução da questão 9

Resposta

[-1,1]

Resolução

A raiz quadrada exige

1-x^2\ge0

, isto é,

x^2\le1

Isso dá

-1\le x\le1

, com os extremos incluídos:

[-1,1]

Resposta: D

Erro comum. Excluir $\pm1$ (C): aí a raiz vale $\sqrt0=0$ , que existe.

Solução da questão 10

Resposta

D.25.500,00Mt

Resolução

A taxa para habitação é

3\%

0{,}03\times850\,000=25\,500

, isto é, 25.500,00 Mt.

Resposta: D

Erro comum. Errar uma casa decimal e ficar com 2.550,00 Mt ou 255.000,00 Mt.

Solução da questão 11

Resposta

5\%

Resolução

Taxa

=\dfrac{60\,000}{1\,200\,000}=\dfrac{1}{20}=0{,}05

0{,}05=5\%

Resposta: C

Erro comum. Responder com a taxa da habitação, $3\%$ , que não é a dos prédios comerciais.

Solução da questão 12

Resposta

80\%

Resolução

Aumento:

7200-4000=3200

Mt.

Em relação ao que pagava:

\dfrac{3200}{4000}=0{,}8=80\%

Resposta: D

Erro comum. Dividir pelo valor novo: $\dfrac{3200}{7200}\approx44\%$ , perto de E.

Solução da questão 13

Resposta

\dfrac45

Resolução

A razão do Hortêncio para a Angélica põe o Hortêncio em cima:

\dfrac{20\,000}{25\,000}

Simplificando por

5000

\dfrac45

Resposta: B

Erro comum. Trocar a ordem e responder $\dfrac54$ .

Solução da questão 14

Resposta

13

Resolução

Multiplicando os dois membros por 49:

x-6=\dfrac{49}{7}=7

x=7+6=13

Resposta: B

Erro comum. Passar o $-6$ para o outro membro sem trocar o sinal.

Solução da questão 15

Resposta

240

Resolução

Num minuto:

\dfrac{100}{25}=4

peças.

Em 60 minutos:

4\times60=240

peças.

Resposta: A

Solução da questão 16

Resposta

\dfrac4{11}

Resolução

Casos possíveis:

4+7=11

nomes. Casos favoráveis: os 4 rapazes.

P=\dfrac{4}{11}

Resposta: E

Erro comum. Dividir os rapazes pelas raparigas, $\dfrac47$ , em vez de pelo total.

Solução da questão 17

Resposta

\dfrac12

Resolução

O dado tem 6 faces e as ímpares são 1, 3 e 5.

P=\dfrac36=\dfrac12

Resposta: D

Solução da questão 18

Resposta

720

Resolução

6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720

Resposta: B

Erro comum. Parar em $5!=120$ .

Solução da questão 19

Resposta

\dfrac{n^2+n}{n+2}

Resolução

(n+1)!=(n+1)\,n\,(n-1)!

Cancelando

(n-1)!

\dfrac{(n+1)n}{n+2}=\dfrac{n^2+n}{n+2}

Resposta: A

Erro comum. Esquecer o $(n-1)!$ do denominador, o que leva a E.

Solução da questão 20

Resposta

x=-3

Resolução

Produto cruzado:

4(2x+5)=x-1

8x+20=x-1

, logo

7x=-21

x=-3

Como

-3\ne1

, o denominador não se anula.

Resposta: A

Erro comum. Multiplicar só o $2x$ por 4 e esquecer o 5.

Solução da questão 21

Resposta

(0,0)

Resolução

O eixo das ordenadas é o eixo

y

: os seus pontos têm abcissa

0

Só

(0,0)

tem

x=0

Resposta: E

Erro comum. Confundir com o eixo das abcissas e escolher $(2,0)$ ou $(-3,0)$ .

Solução da questão 22

Resposta

y=(x-2)(x+1)

Resolução

Zeros de

x^2-x-2

x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm3}{2}

, ou seja,

2

-1

Logo

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

Resposta: D

Erro comum. Trocar os sinais e escrever $(x+2)(x-1)$ , que dá $x^2+x-2$ .

Solução da questão 23

Resposta

y=\frac13x^3-\frac12x^2-2x+5

Resolução

Primitiva termo a termo:

\displaystyle\int(x^2-x-2)\,dx=\dfrac13x^3-\dfrac12x^2-2x+C

Com

C=5

é a alternativa B. D tem

+2x

, com o sinal trocado.

Resposta: B

Erro comum. Confundir primitiva com derivada e escolher $y=2x-1$ (A).

Solução da questão 24

Resposta

Resolução

a=1>0

: concavidade para cima, o que afasta C e E.

Os zeros são

-1

2

(questão 22) e

f(0)=-2

Só o gráfico B corta o eixo

x

-1

2

e o eixo

y

-2

Resposta: B

Erro comum. Escolher A, que é o gráfico de $x^2+x-2$ , com zeros em $-2$ e $1$ .

Solução da questão 25

Resposta

-7

Resolução

O declive da tangente é a derivada no ponto:

f'(x)=2x-1

f'(-3)=2\cdot(-3)-1=-7

Resposta: A

Erro comum. Perder o sinal de $-3$ e obter $2\cdot3-1=5$ (B).

Solução da questão 26

Resposta

6

Resolução

Numa PA,

a_3+a_5=2a_4

, logo

a_3+a_4+a_5=3a_4=96

a_4=32

r=a_5-a_4=38-32=6

Resposta: D

Solução da questão 27

Resposta

-5

Resolução

S_{12}=\dfrac{12}{2}\,(2a_1+11r)=6(56+11r)

6(56+11r)=6

, logo

56+11r=1

r=-5

Resposta: A

Erro comum. Usar $12r$ em vez de $11r$ na fórmula da soma.

Solução da questão 28

Resposta

\dfrac98

Resolução

Cada termo é o anterior a dividir por 3: progressão geométrica com

a_1=\dfrac34

q=\dfrac13

Como

|q|<1

S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{3/4}{2/3}=\dfrac98

Resposta: E

Erro comum. Tomar a razão como $3$ e concluir que a soma não é finita.

Solução da questão 29

Resposta

y=3^x

Resolução

Pela grelha, a curva passa por

(0,1)

e por

(1,3)

y=a^x

a^0=1

a^1=a

, logo

a=3

Resposta: D

Erro comum. Escolher $2^x$ sem ler o ponto $x=1$ , onde a curva já está em 3.

Solução da questão 30

Resposta

E.Tem uma assíntota horizontal

Resolução

A curva sobe sempre: não é decrescente nem constante.

Fica sempre acima do eixo

x

(

3^x>0

): não tem zeros.

À esquerda aproxima-se de

y=0

sem lhe tocar:

y=0

é assíntota horizontal. Não há assíntota vertical.

Resposta: E

Erro comum. Tomar a aproximação ao eixo $x$ por um zero (C).

Solução da questão 31

Resposta

x=0

Resolução

No gráfico,

y=1

onde a curva corta o eixo

y

, isto é, em

x=0

Com

f(x)=3^x

3^x=1=3^0

, logo

x=0

Resposta: B

Erro comum. Trocar os eixos e responder $x=1$ .

Solução da questão 32

Resposta

x=\pm2

Resolução

Os zeros anulam o numerador:

x^2-4=0

, logo

x=\pm2

x=\pm2

o denominador vale

3\ne0

: os dois são zeros.

Resposta: C

Erro comum. Ficar só com $x=2$ e esquecer a raiz negativa.

Solução da questão 33

Resposta

x=\pm1

Resolução

O denominador anula-se em

x^2-1=0

, isto é,

x=\pm1

Aí o numerador vale

-3\ne0

: há assíntotas verticais em

x=-1

e em

x=1

Resposta: C

Erro comum. Ficar só com $x=1$ e esquecer $x=-1$ .

Solução da questão 34

Resposta

\dfrac58

Resolução

f(-3)=\dfrac{(-3)^2-4}{(-3)^2-1}=\dfrac{9-4}{9-1}=\dfrac58

Resposta: A

Erro comum. Calcular $-3^2=-9$ em vez de $(-3)^2=9$ .

Solução da questão 35

Resposta

\dfrac{6x}{(x^2-1)^2}

Resolução

Regra do quociente:

f'(x)=\dfrac{2x(x^2-1)-(x^2-4)\cdot2x}{(x^2-1)^2}

Pondo

2x

em evidência:

\dfrac{2x\,[(x^2-1)-(x^2-4)]}{(x^2-1)^2}=\dfrac{6x}{(x^2-1)^2}

Resposta: A

Erro comum. Trocar a ordem das parcelas do numerador e chegar a $-\dfrac{6x}{(x^2-1)^2}$ (D).

Solução da questão 36

Resposta

y=1

Resolução

Numerador e denominador têm o mesmo grau, 2.

\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\dfrac11=1

: a assíntota horizontal é

y=1

Resposta: E

Erro comum. Dividir os termos independentes e responder $y=4$ .

Solução da questão 37

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}

Resolução

O denominador não pode ser zero:

x^2-1\ne0

, isto é,

x\ne\pm1

D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}

Resposta: C

Erro comum. Excluir só $x=1$ (D).

Solução da questão 38

Resposta

x_{max}=2,x_{min}=0

Resolução

y'=-3x^2+6x=-3x(x-2)

, que se anula em

x=0

e em

x=2

y''=-6x+6

y''(0)=6>0

(mínimo) e

y''(2)=-6<0

(máximo).

Logo

x_{max}=2

x_{min}=0

Resposta: B

Erro comum. Trocar o máximo com o mínimo (A) por esquecer o sinal de $-x^3$ .

Solução da questão 39

Resposta

\dfrac23

Resolução

x=-1

dá

\dfrac00

. Factoriza-se:

x^2-1=(x-1)(x+1)

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

Cancelando

x+1

\lim\limits_{x\to-1}\dfrac{x-1}{x-2}=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac23

Resposta: D

Erro comum. Ver o zero do numerador e responder $0$ (A), sem reparar que o denominador também se anula.

Solução da questão 40

Resposta

\dfrac35

Resolução

Os graus são iguais, 2: o limite é o quociente dos coeficientes de

x^2

\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3-\frac4x+\frac2{x^2}}{5+\frac1x-\frac1{x^2}}=\dfrac35

Resposta: A

Erro comum. Inverter a fracção e responder $\dfrac53$ .