Matemática 2018

UEM
57 questões
120 minutos
53 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de admissão de Matemática - 2018

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do rectângulo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ▀A, se a resposta escolhida for A
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro à lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, à esferográfica.

Dois números distam entre si 5 unidades, sendo um deles 3. A tradução da afirmação anterior em linguagem matemática é:

5-3

3-5

|x-5|=3

|3-x|=5

|3+x|=5

Na figura ao lado está representada a preto a solução da inequação:

|x-3|<1

|x-3|>1

|x+3|<7

|x+3|\leq 7

|x-3|\leq 1

Na equipa de futebol de salão do Bairro militam 10 jogadores. Pretende-se escalar o grupo que vai jogar na semana seguinte, tendo em conta que o Cossa e o Rafique devem obrigatoriamente fazer parte dos cinco seleccionados. Quantas possibilidades existem? Nota: num jogo uma equipa de futebol de salão é constituída por 5 jogadores.

C_{10}^5

A_{10}^5

C_8^3

A_8^3

P_5

Uma roleta mostra os números de 1 a 8. A probabilidade de acertar num número menor do que 3 é:

\dfrac{5}{8}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{3}{8}

\dfrac{1}{8}

Questões 5, 6 e 7

Responda às Questões 5, 6 e 7 relacionadas com a figura ao lado.

A circunferência de centro O, circunscrita no triângulo ABC, tem de perímetro 18,84 cm. Os segmentos OB e CD são perpendiculares e têm a mesma medida. A área do triângulo é:

9,42cm^2

9cm^2

6cm^2

12cm^2

18cm^2

A medida dos segmentos DB e DA estão na proporção de 1 para 3. A medida de DB, em cm, é igual a:

\dfrac{9}{2}

\dfrac{5}{2}

\dfrac{3}{2}

\dfrac{2}{27}

\dfrac{7}{2}

PASSE PARA A PERGUNTA SEGUINTE

Ao lado está representada uma sequência de figuras. Mantendo-se essa lei de formação o número de quadrados da figura na posição 7 é:

A.35

B.30

C.21

D.36

E.28

Dadas as proposições p e q, a negação de $p\wedge\sim q$ é:

\sim p\wedge\sim q

\sim p\wedge q

\sim p\vee\sim q

\sim p\vee q

p\vee q

10.

Dadas as proposições t: chove e r: vou à praia. A proposição s: não chove então vou à praia é traduzida simbolicamente por:

\sim t\leftrightarrow r

\sim t\wedge r

\sim t\vee r

t\rightarrow\sim r

\sim t\rightarrow r

11.

A simplificação da expressão $\dfrac{3a^2-3x^2}{\left(a^2+2ax+x^2\right)^2\left(a^2-2ax+x^2\right)}$ resulta em:

-\dfrac{3}{a^2-x^2}

-\dfrac{3}{x^2-a^2}

-\dfrac{3}{\left(a^2-x^2\right)\left(a^2+x^2\right)}

\dfrac{3}{\left(a^2-x^2\right)\left(a^2+x^2\right)}

E.Nenhuma das alternativas anteriores

12.

A expressão simplificada de $\sqrt{27+\sqrt{23+\sqrt[3]{4+\sqrt{16}}}}$ é:

4\sqrt{2}

2\sqrt{2}

\sqrt[24]{2}

3\sqrt{2}

5\sqrt{2}

13.

Simplificando a expressão $\dfrac{y+x}{x(x-2y)}-\dfrac{y}{(x+2y)x}-\dfrac{2(x+y)}{x^2-4y^2}$ obtém-se:

\dfrac{1}{x}

-\dfrac{1}{x}

-\dfrac{1}{x-2y}

\dfrac{1}{x+2y}

E.Nenhuma das alternativas

14.

$x=2$ é raiz do polinómio $P(x)=x^3+ax^2-5x-2$ . O valor de $a$ é:

-1

1

0

2

-2

Questões 15 a 20

Com base no gráfico, responda às Questões 15 a 20.

15.

A derivada da função no ponto $x=0$ é igual a:

\dfrac{3}{2}

\dfrac{2}{3}

-\dfrac{3}{2}

-\dfrac{2}{3}

-\dfrac{1}{3}

16.

A solução da equação $f(x)-h(x)=0$ é:

x=2

x=3

x=0

x=-3

x=-2

17.

Para $f(x)=3$ o valor de $x$ é:

0

1{,}5

2

0

1{,}5

0

2

18.

A expressão analítica da função é:

f(x)=-3x+3

f(x)=-2x+3

f(x)=-x+3

f(x)=-\dfrac{3}{2}x+3

f(x)=\dfrac{3}{2}x+3

19.

$h(x)\leq 3$ se:

x\in\,]0;1{,}5[

x\in[0;1{,}5[

x\in\,]0;1{,}5]

x\in[0;1{,}5]

E.Nenhuma das alternativas anteriores

20.

Os valores de $x$ que satisfazem a inequação $f(x)<h(x)$ são:

x\in R

x\in R^+

x\in R\setminus\{0\}

x\in R^-

x\in R\setminus\{3\}

21.

Dada a função $g(x)=2^x$ , a expressão $g(k+1)-g(k)$ é igual a:

g(k+1)

g(k)

g(k-1)

1

g(2k+1)

22.

A solução de $\tan x>-\sqrt{3}$ é:

-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi

\dfrac{5}{3}\pi+2k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+2k\pi

\dfrac{5}{3}\pi+k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+k\pi

-\dfrac{3}{2}\pi+k\pi<x<-\dfrac{\pi}{6}+k\pi

-\dfrac{\pi}{6}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+k\pi

23.

Seja dada a função $y=e^{2x}$ . A solução da equação $y+xy'=0$ é:

x=-\dfrac{1}{2}

x=0 \lor x=-\dfrac{1}{2}

x=\dfrac{1}{2}

x=-1

x=1

24.

Uma barra de ferro foi retirada do lume, tendo atingido a temperatura ambiente passado algumas horas, conforme o gráfico ao lado. É incorrecto dizer que:

A.A temperatura no momento em que se retirou a barra era de

70°

B.A variação da temperatura foi constante

C.A temperatura diminui continuamente

D.A temperatura ambiente era de

20°

E.A temperatura pode ser traduzida pela expressão

T(t)=70°-\dfrac{50°t}{t+1}

25.

O produto $(2+ki)(2+i)$ é um número imaginário para $k$ igual a:

k=-1

k=1

k=4

k=-4

k=-3

26.

Calculando $\lim\left(\sqrt{n(n+1)}-n\right)$ obtém-se:

\dfrac{1}{2}

+\infty

-\dfrac{1}{2}

1

\dfrac{1}{4}

27.

Das funções seguintes aquela cuja primitiva é igual à própria função é:

y=\ln x

y=\sqrt{x}

y=2^{3x}

y=e^{x}

y=x^3

28.

A solução de $\log_{\frac{1}{2}}(x+2)\geq 3$ é:

\dfrac{15}{8}\leq x\leq 2

\dfrac{15}{8}<x<2

-2\leq x\leq \dfrac{15}{8}

x\leq -\dfrac{15}{8}

-2\leq x\leq -\dfrac{15}{8}

29.

A solução de $e^{\sqrt{x}}(1-x)<0$ é:

x<1

x>1

0<x<1

0\leq x<1

x\leq 1

30.

O produto das raízes de $2^{\sqrt{x^2-7}}=2^3$ é:

A.16

B.−16

C.−12

D.12

E.9

31.

A distância entre $A(2,3)$ e $B(-2,-2)$ é:

A.41

B.5

\sqrt{17}

\sqrt{41}

E.1

32.

A primitiva de $x^3-2x$ é:

\dfrac{x^4}{4}-x^2

3x^2-2+c

3x^2-2

\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x}{2}+c

\dfrac{x^4}{4}-x^2+c

Questões 33 e 34

33.

Em relação à função apresentada, é falso afirmar que:

A.A função é decrescente em

]-\infty,-2[\cup]-1,1[

B.A função tem um ponto de inflexão em

x=0

C.A derivada da função é nula em

x=-2

x=-1

x=1

D.Em

]-2,1[

a segunda derivada é negativa

E.A função admite um máximo relativo em

x=-1

34.

A expressão analítica da função representada na figura ao lado é:

y=x^3-2x+4

y=|x|^3-2|x|+4

y=|-x^3-2x+4|

y=|x^3-2x+4|

y=x^3+2x+4

35.

PASSE PARA A PERGUNTA SEGUINTE

36.

O $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^3-1}{x^2-1}$ é:

\dfrac{3}{2}

-\dfrac{3}{2}

-\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

37.

A derivada de $\dfrac{3x}{(2x-1)^2}$ é:

\dfrac{3}{(2x-1)^2}

-\dfrac{3}{(2x-1)^3}

-\dfrac{3}{(2x-1)^2}

\dfrac{3}{(2x-1)^3}

\dfrac{3(2x+1)}{(2x-1)^3}

Questões 38 a 40

Na figura ao lado está representada a função $y=g(x)$ .

38.

O domínio da função $f(x)=\sqrt{g(x)}$ é:

[0,+\infty[

]0,+\infty[

]-\infty,1[

[1,+\infty[

]1,+\infty[

39.

O valor de $g\left(\dfrac{1}{2}\right)$ é:

\dfrac{1}{4}

-\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{2}

-\dfrac{3}{2}

-\dfrac{5}{2}

40.

O gráfico da função inversa de $y=g(x)$ é:

41.

Sabe-se que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=1$ , $\displaystyle\lim_{x\to 2^-}f(x)=+\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to 2^+}f(x)=-\infty$ e $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ . Nestas condições é falso afirmar que:

A.A função tem uma assíntota vertical em

x=2

B.A função não admite derivada em

x=2

C.A função tem limite em

x=2

D.A função tem no mínimo um zero

E.A função tem uma assíntota horizontal em

y=1

42.

A solução de $\cos x - \operatorname{sen} x = 0$ no intervalo $[0,2\pi]$ é:

x=0

x=\dfrac{\pi}{4}

x=\dfrac{\pi}{4}\vee x=\dfrac{3}{4}\pi

x=\dfrac{\pi}{4}\vee x=\dfrac{5}{4}\pi

x=\dfrac{5}{4}\pi

43.

O produto $(x-1)(x^2+ax+b)$ é igual a $x^3+x^2-5x-b$ quando $a$ e $b$ tomam os valores:

a=2

b=-3

a=2

b=-7

a=0

b=-5

a=0

b=5

a=2

b=-5

Questões 44 e 45

Na figura em baixo está representado o gráfico da função $y=f(x)$ . Com base no gráfico, responda às Questões 44 e 45.

44.

Sabendo que $g(x)=\ln x$ , o limite $\displaystyle\lim_{x\to 1}f[g(x)]$ é igual a:

A.−1

B.0

C.1

-\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{2}

45.

Em relação à função $y=f(x)$ representada ao lado é falso afirmar:

\displaystyle\lim_{x\to 0^-}f(x)=1

\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1

f'(x)\neq 0

\mathbb{R}\setminus\{0\}

E.É contínua em

x\neq 0

46.

A função $f(x)=\log_3\left(-x-\dfrac{1}{3}\right)$ e a função representada na figura ao lado têm a mesma ordenada em $x=a$ . O valor de $a$ é:

-\dfrac{26}{3}

-\dfrac{28}{3}

\dfrac{28}{3}

\dfrac{26}{3}

-\dfrac{25}{3}

47.

O domínio da função $f(x)=\log_3\left(-x-\dfrac{1}{3}\right)$ é:

\left]-\infty,-\dfrac{1}{3}\right]

\left]-\infty,-\dfrac{1}{3}\right[

\left[-\dfrac{1}{3},+\infty\right[

\left]-\dfrac{1}{3},+\infty\right[

\left]\dfrac{1}{3},+\infty\right[

48.

A função inversa de $f(x)=\log_3\left(-x-\dfrac{1}{3}\right)$ é:

y=3^x-\dfrac{1}{3}

y=3^x+\dfrac{1}{3}

y=-\left(3^x-\dfrac{1}{3}\right)

y=\left(-x-\dfrac{1}{3}\right)^3

y=-\left(3^x+\dfrac{1}{3}\right)

49.

Considerando a sucessão $v_n=\dfrac{3n-2}{n+1}$ indique a afirmação falsa:

\dfrac{21}{9}

é termo da sucessão

\dfrac12 \le v_n \le 3

v_5=\dfrac{13}{6}

\lim v_n=3

E.A sucessão é monótona crescente

50.

Numa progressão geométrica $u_1=-\dfrac{3}{5}$ e $u_2=-\dfrac{2}{5}$ . $\displaystyle\lim \dfrac{1}{u_n}$ é igual a:

A.1

B.0

+\infty

D.3

E.2

51.

A soma dos doze primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 2 é igual a 168. O sexto termo dessa progressão é:

A.28

B.12

C.13

D.25

E.22

Questões 52 a 56

Em relação ao gráfico da função $y=h(x)$ representada em baixo, responda às Questões 52 a 56.

52.

A função inversa de $y=h(x)$ é:

h^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}

h^{-1}(x)=-\dfrac{1}{x}

h^{-1}(x)=x^3

h^{-1}(x)=\ln x

h^{-1}(x)=e^x

53.

A primitiva de $y=h(x)$ é:

H(x)=\ln^2 x+c

H(x)=\ln x+c

H(x)=x^4+c

H(x)=e^x+c

H(x)=e^{-x}+c

54.

O $\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{h(x)}$ é:

A.0

B.1

-\infty

-1

+\infty

55.

O valor de $h(0)$ é:

A.0

+\infty

-\infty

-1

E.Não existe

56.

É falso afirmar que $y=h(x)$ :

A.É descontínua com salto de 2ª espécie em

x=0

B.Admite uma derivada em

x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}

C.É simétrica em relação à origem

D.A função não é injectiva

h(x)=h(-x)

57.

Em $x=-3$ a função $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x+3}$ :

A.Tem uma assimptota vertical

B.Tem uma assimptota horizontal

C.É descontínua não eliminável

D.É descontínua eliminável

\displaystyle\lim_{x\to-3}\dfrac{x^2-9}{x+3}=+\infty

Respostas

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1D
2E
3C
4B
5B
6C
8E
9D
10E
11E
12A
13B
14B
15C
16C
17A
18D
19D
20C
21B
22—
23A
24B
25C
26A
27D
28E
29B
30B
31D
32E
33—
34D
36A
37—
38D
39B
40—
41C
42D
43A
44—
45—
46B
47B
48E
49A
50—
51C
52A
53B
54A
55E
56—
57D

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-2018/

Solução da questão 1

Resposta

|3-x|=5

Resolução

A distância entre

x

3

|x-3|

, que é o mesmo que

|3-x|

Os dois números distam 5 unidades:

|3-x|=5

Resposta: D

Erro comum. Escrever $|x-5|=3$ (C), trocando o número dado com a distância.

Solução da questão 2

Resposta

|x-3|\leq 1

Resolução

A região a preto vai de

2

4

, com bolas cheias nos dois extremos:

2\le x\le 4

É o intervalo de centro

3

e raio

1

|x-3|\le 1

Resposta: E

Erro comum. Usar $<$ (A) e esquecer que as bolas cheias incluem os extremos.

Solução da questão 3

Resposta

C_8^3

Resolução

O Cossa e o Rafique já estão escolhidos: faltam 3 lugares para os outros 8 jogadores.

A ordem não conta, por isso são combinações:

C_8^3=56

Resposta: C

Erro comum. Escolher $C_{10}^5$ (A), sem fixar os dois jogadores obrigatórios.

Solução da questão 4

Resposta

\dfrac{1}{4}

Resolução

Números menores do que 3: o 1 e o 2, ou seja, 2 casos favoráveis em 8 possíveis.

P=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}

Resposta: B

Erro comum. Contar também o 3 e obter $\frac{3}{8}$ (D).

Solução da questão 5

Resposta

9cm^2

Resolução

Na figura,

[AB]

passa pelo centro O: é um diâmetro. De

2\pi r=18{,}84

vem

r=\dfrac{18{,}84}{2\times3{,}14}=3

cm, logo

AB=6

cm.

CD

é perpendicular a

AB

: é a altura do triângulo relativa a

AB

, e

CD=OB=3

cm.

Área:

\dfrac{AB\times CD}{2}=\dfrac{6\times3}{2}=9\ \text{cm}^2

Resposta: B

Com $CD=OB=r$ , o ponto D coincide com O; na figura aparecem separados porque o desenho não está à escala.

Erro comum. Esquecer de dividir por 2 e obter $18\ \text{cm}^2$ (E).

Solução da questão 6

Resposta

\dfrac{3}{2}

Resolução

Na figura,

[AB]

é um diâmetro, com

AB=6

cm (questão 5), e D fica entre B e A:

DB+DA=6

Na proporção de 1 para 3,

DB

\dfrac{1}{1+3}=\dfrac14

do total:

DB=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}

cm.

Resposta: C

Erro comum. Tomar $DB$ como $\frac13$ de $AB$ , quando é $\frac14$ .

Solução da questão 8

Resposta

E.28

Resolução

As figuras têm

1

3=1+2

6=1+2+3

10=1+2+3+4

quadrados: a da posição

n

tem

1+2+\dots+n

Na posição 7:

1+2+\dots+7=\dfrac{7\times8}{2}=28

Resposta: E

Erro comum. Somar até 8 e obter 36 (D), ou supor que se junta sempre o mesmo número de quadrados.

Solução da questão 9

Resposta

\sim p\vee q

Resolução

Pelas leis de De Morgan,

\sim(p\wedge\sim q)\Leftrightarrow\ \sim p\vee\sim(\sim q)

Como

\sim(\sim q)\Leftrightarrow q

, fica

\sim p\vee q

Resposta: D

Erro comum. Não trocar $\wedge$ por $\vee$ ao negar (A), ou esquecer a dupla negação (C).

Solução da questão 10

Resposta

\sim t\rightarrow r

Resolução

«Não chove» é

\sim t

e «vou à praia» é

r

«Se não chove, então vou à praia» é uma implicação:

\sim t\rightarrow r

Resposta: E

Erro comum. Usar a equivalência $\leftrightarrow$ (A), que afirmaria também o recíproco.

Solução da questão 11

Resposta

E.Nenhuma das alternativas anteriores

Resolução

3a^2-3x^2=3(a-x)(a+x)

a^2+2ax+x^2=(a+x)^2

a^2-2ax+x^2=(a-x)^2

Com o quadrado do primeiro factor, o denominador é

(a+x)^4(a-x)^2

\dfrac{3(a-x)(a+x)}{(a+x)^4(a-x)^2}=\dfrac{3}{(a+x)^3(a-x)}

Nenhuma das alternativas A a D é igual a isto.

Resposta: E

Erro comum. Ignorar o expoente 2 do primeiro factor e chegar a $\frac{3}{a^2-x^2}$ , que é a B.

Solução da questão 12

Resposta

4\sqrt{2}

Resolução

De dentro para fora:

\sqrt{16}=4

\sqrt[3]{4+4}=\sqrt[3]{8}=2

\sqrt{23+2}=\sqrt{25}=5

\sqrt{27+5}=\sqrt{32}=\sqrt{16\times2}=4\sqrt2

Resposta: A

Erro comum. Simplificar mal $\sqrt{32}$ e escolher $2\sqrt2$ (B).

Solução da questão 13

Resposta

-\dfrac{1}{x}

Resolução

Denominador comum:

x(x-2y)(x+2y)

, porque

x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)

Numerador:

(y+x)(x+2y)-y(x-2y)-2x(x+y)=-x^2+4y^2=-(x-2y)(x+2y)

Simplificando:

\dfrac{-(x-2y)(x+2y)}{x(x-2y)(x+2y)}=-\dfrac{1}{x}

Resposta: B

Erro comum. Errar o sinal ao subtrair $y(x-2y)$ e chegar a $\frac{1}{x}$ (A).

Solução da questão 14

Resposta

1

Resolução

x=2

é raiz,

P(2)=0

8+4a-10-2=0

4a-4=0

, logo

a=1

Resposta: B

Erro comum. Trocar o sinal de $-5x$ ou de $-2$ ao substituir.

Solução da questão 15

Resposta

-\dfrac{3}{2}

Resolução

A recta passa por

(0,3)

(2,0)

f(x)=-\dfrac{3}{2}x+3

, com declive

-\dfrac32

A parábola toca a recta em

(0,3)

sem a cortar: a recta é tangente a

h

nesse ponto.

Por isso as duas funções têm a mesma derivada em

x=0

f'(0)=h'(0)=-\dfrac{3}{2}

Resposta: C

Erro comum. Esquecer o sinal: as duas funções descem em $x=0$ , por isso a derivada é negativa, e não $\frac32$ (A).

Solução da questão 16

Resposta

x=0

Resolução

f(x)-h(x)=0

quer dizer

f(x)=h(x)

: procura-se a abcissa dos pontos comuns aos dois gráficos.

Os gráficos só se encontram em

(0,3)

, logo

x=0

Resposta: C

Erro comum. Dar a ordenada do ponto comum, $3$ (B), em vez da abcissa.

Solução da questão 17

Resposta

0

Resolução

f

é a recta:

f(x)=-\dfrac{3}{2}x+3

-\dfrac{3}{2}x+3=3\Leftrightarrow x=0

Resposta: A

Erro comum. Ler o valor na parábola $h$ , que vale 3 em $x=0$ e em $x=1{,}5$ (D).

Solução da questão 18

Resposta

f(x)=-\dfrac{3}{2}x+3

Resolução

A recta corta o eixo

y

3

: a ordenada na origem é

3

Passa por

(0,3)

(2,0)

: declive

m=\dfrac{0-3}{2-0}=-\dfrac{3}{2}

, logo

f(x)=-\dfrac{3}{2}x+3

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o sinal do declive e escolher a E.

Solução da questão 19

Resposta

x\in[0;1{,}5]

Resolução

A parábola

h

vale

3

x=0

e tem o vértice perto de

x=0{,}75

. Por simetria, volta a valer

3

x=1{,}5

Entre esses pontos fica abaixo de

3

, e neles vale

3

h(x)\le3

para

x\in[0;1{,}5]

Resposta: D

Erro comum. Usar um intervalo aberto (A) e esquecer que « $\le$ » inclui os pontos onde $h(x)=3$ .

Solução da questão 20

Resposta

x\in R\setminus\{0\}

Resolução

f(x)<h(x)

: a recta fica abaixo da parábola.

Isso acontece em todo o lado, excepto em

x=0

, onde se tocam e

f(0)=h(0)=3

Resposta: C

Erro comum. Esquecer que em $x=0$ há igualdade e responder $\mathbb{R}$ (A).

Solução da questão 21

Resposta

g(k)

Resolução

g(k+1)-g(k)=2^{k+1}-2^k=2\cdot2^k-2^k

2\cdot2^k-2^k=2^k=g(k)

Resposta: B

Erro comum. Tratar a diferença como um quociente, $2^{(k+1)-k}$ , e chegar a um valor constante.

Solução da questão 22

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A solução é $-\dfrac{\pi}{3}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ . A chave E é a solução de $\tan x>-\dfrac{\sqrt3}{3}$ , e a C, escrita assim, é vazia, porque $\dfrac{5}{3}\pi>\dfrac{\pi}{2}$ .

Porquê

\tan x=-\sqrt3

x=-\dfrac{\pi}{3}

. A tangente tem período

\pi

e é crescente entre as assímptotas

x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi

x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi

Logo

\tan x>-\sqrt3 \Leftrightarrow -\dfrac{\pi}{3}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+k\pi

A E começa em

-\dfrac{\pi}{6}

, onde

\tan x=-\dfrac{\sqrt3}{3}

. A C tem os extremos certos a menos de múltiplos de

\pi

, mas, com o mesmo

k

dos dois lados, pede

x>\dfrac{5}{3}\pi

x<\dfrac{\pi}{2}

ao mesmo tempo. Nenhuma alternativa serve.

Solução da questão 23

Resposta

x=-\dfrac{1}{2}

Resolução

y'=2e^{2x}

, logo

y+xy'=e^{2x}+2xe^{2x}=e^{2x}(1+2x)

Como

e^{2x}>0

, a equação dá

1+2x=0

, ou seja,

x=-\dfrac{1}{2}

Resposta: A

Erro comum. Juntar $x=0$ à solução (B): $x=0$ dá $y+xy'=1\neq0$ .

Solução da questão 24

Resposta

B.A variação da temperatura foi constante

Resolução

No gráfico, a temperatura começa nos 70°, desce sempre e aproxima-se dos 20° do ambiente: A, C e D são verdadeiras.

A expressão da E dá

T(0)=70^\circ

, desce sempre e tende para

70^\circ-50^\circ=20^\circ

: também serve.

A curva desce depressa no início e devagar no fim: a variação não é constante, e a B é falsa.

Resposta: B

Erro comum. Achar que a C é falsa por a descida abrandar: a temperatura continua a diminuir.

Solução da questão 25

Resposta

k=4

Resolução

(2+ki)(2+i)=4+2i+2ki+ki^2=(4-k)+(2+2k)i

É imaginário puro quando a parte real é nula:

4-k=0

, logo

k=4

(a parte imaginária,

10i

, não se anula).

Resposta: C

Erro comum. Anular a parte imaginária, $2+2k=0$ , e obter $k=-1$ (A), que dá um número real.

Solução da questão 26

Resposta

\dfrac{1}{2}

Resolução

Multiplicando e dividindo pelo conjugado:

\sqrt{n^2+n}-n=\dfrac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}

Dividindo tudo por

n

\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\to\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12

Resposta: A

Erro comum. Ver « $\infty-\infty$ » e responder $+\infty$ (B) ou $0$ , sem levantar a indeterminação.

Solução da questão 27

Resposta

y=e^{x}

Resolução

\int e^x\,dx=e^x+c

: com

c=0

, a primitiva é a própria função.

Nas outras não acontece; por exemplo,

\int x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}+c

Resposta: D

Erro comum. Escolher $y=2^{3x}$ (C) por ser exponencial: a sua primitiva é $\frac{2^{3x}}{3\ln2}+c$ .

Solução da questão 28

Resposta

-2\leq x\leq -\dfrac{15}{8}

Resolução

Domínio:

x+2>0

, ou seja,

x>-2

A base

\frac12

é menor do que 1, por isso a desigualdade inverte-se:

x+2\le\left(\frac12\right)^3=\frac18

, logo

x\le-\frac{15}{8}

Juntando o domínio:

-2<x\le-\dfrac{15}{8}

, que é a E.

Resposta: E

Rigorosamente, $x=-2$ não pertence ao domínio e a solução é $-2<x\le-\dfrac{15}{8}$ ; a E só falha nesse extremo.

Erro comum. Não inverter a desigualdade, com base menor do que 1, e chegar a $x\ge-\frac{15}{8}$ .

Solução da questão 29

Resposta

x>1

Resolução

Domínio:

\sqrt{x}

exige

x\ge0

e^{\sqrt x}>0

sempre, por isso o produto é negativo só quando

1-x<0

, ou seja,

x>1

Resposta: B

Erro comum. Resolver $1-x>0$ e responder $x<1$ (A), trocando o sentido da desigualdade.

Solução da questão 30

Resposta

B.−16

Resolução

Bases iguais:

\sqrt{x^2-7}=3

x^2-7=9

, logo

x^2=16

x=\pm4

; as duas verificam a equação.

Produto:

4\times(-4)=-16

Resposta: B

Erro comum. Multiplicar $4\times4$ e responder 16 (A), esquecendo o sinal da raiz negativa.

Solução da questão 31

Resposta

\sqrt{41}

Resolução

d=\sqrt{(2-(-2))^2+(3-(-2))^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}

Resposta: D

Erro comum. Esquecer a raiz quadrada e responder 41 (A).

Solução da questão 32

Resposta

\dfrac{x^4}{4}-x^2+c

Resolução

Termo a termo:

\int x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}

\int 2x\,dx=x^2

Com a constante de integração:

\dfrac{x^4}{4}-x^2+c

Resposta: E

Erro comum. Derivar em vez de primitivar e obter $3x^2-2$ (B ou C), ou esquecer a constante $c$ (A).

Solução da questão 33

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A C e a D são ambas falsas: em $x=-2$ o gráfico faz um bico e não há derivada, e em $]0,1[$ a concavidade é voltada para cima.

Porquê

O gráfico é o de

y=|x^3-2x+4|

(questão 34). Em

x=-2

faz um bico: as derivadas laterais são

-10

10

, por isso a derivada não existe ali, e a C é falsa.

x=0

há um ponto de inflexão (B): a concavidade é voltada para baixo em

]-2,0[

e para cima em

]0,1[

, onde fica o mínimo. A segunda derivada não é negativa em todo o

]-2,1[

, e a D também é falsa.

Há duas afirmações falsas, C e D, e a questão só admite uma.

Solução da questão 34

Resposta

y=|x^3-2x+4|

Resolução

O gráfico nunca fica abaixo do eixo

x

e faz um bico em

(-2,0)

: é o módulo de uma função que muda de sinal em

x=-2

x^3-2x+4

anula-se em

x=-2

(

-8+4+4=0

) e vale 4 em

x=0

, como no gráfico.

Para

x<-2

é negativa, e o módulo reflecte essa parte para cima:

y=|x^3-2x+4|

Resposta: D

Erro comum. Escolher $y=x^3-2x+4$ (A), que é negativa para $x<-2$ .

Solução da questão 36

Resposta

\dfrac{3}{2}

Resolução

x=1

dá

\frac00

. Factorizando:

\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}

x=1

\dfrac{1+1+1}{1+1}=\dfrac{3}{2}

Resposta: A

Erro comum. Trocar numerador e denominador no fim e responder $\frac23$ (E).

Solução da questão 37

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A derivada é $-\dfrac{3(2x+1)}{(2x-1)^3}$ : a E tem o sinal trocado, e a chave B não serve (em $x=1$ dá $-3$ , e a derivada vale $-9$ ).

Porquê

Regra do quociente:

\left(\dfrac{3x}{(2x-1)^2}\right)'=\dfrac{3(2x-1)^2-3x\cdot2(2x-1)\cdot2}{(2x-1)^4}

Simplificando por

(2x-1)

\dfrac{3(2x-1)-12x}{(2x-1)^3}=\dfrac{-6x-3}{(2x-1)^3}=-\dfrac{3(2x+1)}{(2x-1)^3}

Nenhuma alternativa dá isto: a E tem o sinal trocado, e a B, em

x=1

, dá

-3

em vez de

-9

Solução da questão 38

Resposta

[1,+\infty[

Resolução

\sqrt{g(x)}

só existe quando

g(x)\ge0

No gráfico,

g

é crescente e corta o eixo

x

x=1

g(x)\ge0

para

x\ge1

Resposta: D

Erro comum. Excluir o $1$ (E), esquecendo que $\sqrt0=0$ existe.

Solução da questão 39

Resposta

-\dfrac{1}{4}

Resolução

g

é crescente, com

g(0)\approx-0{,}6

g(1)=0

: logo

g\left(\frac12\right)

fica entre

-0{,}6

0

Das alternativas, só

-\dfrac14

está nesse intervalo:

\frac14

\frac12

são positivos, e

-\frac32

-\frac52

ficam abaixo de

-1

, onde o gráfico nunca chega.

Resposta: B

O gráfico não dá o valor exacto (lê-se perto de $-0{,}4$ ); a B é a única alternativa possível.

Erro comum. Dar o próprio argumento, $\frac12$ (C), em vez do valor de $g$ .

Solução da questão 41

Resposta

C.A função tem limite em

x=2

Resolução

Os limites laterais em

x=2

são

+\infty

-\infty

: são diferentes, por isso não existe limite em

x=2

. A C é falsa.

As outras são verdadeiras: há assímptota vertical em

x=2

e horizontal

y=1

; não sendo contínua em

x=2

, não tem derivada aí; e, contínua à direita de 2, vai de

-\infty

+\infty

e corta o eixo

x

Resposta: C

Erro comum. Aceitar os limites infinitos como «limite em $x=2$ », quando à esquerda e à direita dão valores diferentes.

Solução da questão 42

Resposta

x=\dfrac{\pi}{4}\vee x=\dfrac{5}{4}\pi

Resolução

\cos x=\operatorname{sen}x \Leftrightarrow \tan x=1

(com

\cos x\neq0

\tan x=1

x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi

; em

[0,2\pi]

x=\dfrac{\pi}{4}

x=\dfrac{5\pi}{4}

Resposta: D

Erro comum. Ficar só com $\frac{\pi}{4}$ (B), esquecendo que a tangente tem período $\pi$ .

Solução da questão 43

Resposta

a=2

b=-3

Resolução

(x-1)(x^2+ax+b)=x^3+(a-1)x^2+(b-a)x-b

Comparando com

x^3+x^2-5x-b

a-1=1

b-a=-5

, logo

a=2

b=-3

Resposta: A

Erro comum. Comparar só o termo independente, $-b$ , que é igual dos dois lados e não decide nada.

Solução da questão 44

Resposta

Nenhuma alternativa serve

O limite não existe: quando $x\to1^-$ , $f[g(x)]\to1$ , e quando $x\to1^+$ , $f[g(x)]\to+\infty$ . A chave C só conta o lado esquerdo.

Porquê

Quando

x\to1

g(x)=\ln x\to0

: por valores negativos se

x<1

, e positivos se

x>1

No gráfico,

f(t)\to1

quando

t\to0^-

, e

f(t)\to+\infty

quando

t\to0^+

Os limites laterais de

f[g(x)]

x=1

são

1

+\infty

: o limite não existe, e nenhuma alternativa serve.

Solução da questão 46

Resposta

-\dfrac{28}{3}

Resolução

Na figura, a semi-recta

g

começa no ponto

(a,2)

: em

x=a

, a ordenada é 2.

Então

f(a)=2

\log_3\left(-a-\frac13\right)=2 \Leftrightarrow -a-\frac13=9

-a=\dfrac{28}{3}

, logo

a=-\dfrac{28}{3}

Resposta: B

Erro comum. Perder o sinal ao isolar $a$ e escolher $\frac{28}{3}$ (C), que nem pertence ao domínio de $f$ .

Solução da questão 47

Resposta

\left]-\infty,-\dfrac{1}{3}\right[

Resolução

O logaritmo exige

-x-\dfrac13>0

-x>\dfrac13 \Leftrightarrow x<-\dfrac13

: o domínio é

\left]-\infty,-\dfrac13\right[

Resposta: B

Erro comum. Incluir $-\frac13$ (A), onde o argumento do logaritmo é zero.

Solução da questão 48

Resposta

y=-\left(3^x+\dfrac{1}{3}\right)

Resolução

y=\log_3\left(-x-\frac13\right)

vem

3^y=-x-\frac13

x=-3^y-\frac13=-\left(3^y+\frac13\right)

; trocando as letras,

y=-\left(3^x+\frac13\right)

Resposta: E

Erro comum. Errar o sinal de $\frac13$ ao isolar $x$ e escolher a C.

Solução da questão 49

Resposta

\dfrac{21}{9}

é termo da sucessão

Resolução

\dfrac{3n-2}{n+1}=\dfrac{21}{9}=\dfrac73 \Leftrightarrow 9n-6=7n+7 \Leftrightarrow n=6{,}5

, que não é natural. A afirmação A é falsa.

As outras são verdadeiras:

v_n=3-\dfrac{5}{n+1}

é crescente, começa em

v_1=\dfrac12

, fica abaixo de 3, tem limite 3, e

v_5=\dfrac{13}{6}

Resposta: A

Erro comum. Achar a B falsa por $v_n$ nunca chegar a 3: a desigualdade $v_n\le3$ continua verdadeira.

Solução da questão 50

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Os termos são negativos e tendem para $0$ , por isso $\dfrac{1}{u_n}\to-\infty$ , que não está nas alternativas; a chave C tem o sinal trocado.

Porquê

Razão:

r=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{-2/5}{-3/5}=\dfrac23

, logo

u_n=-\dfrac35\left(\dfrac23\right)^{n-1}

u_n\to0

por valores negativos, e

\dfrac{1}{u_n}=-\dfrac53\left(\dfrac32\right)^{n-1}\to-\infty

Nenhuma alternativa dá

-\infty

Solução da questão 51

Resposta

C.13

Resolução

S_{12}=\dfrac{12}{2}\,(2u_1+11\times2)=168

, logo

2u_1+22=28

u_1=3

u_6=u_1+5\times2=3+10=13

Resposta: C

Erro comum. Usar $u_6=u_1+6r$ e obter 15.

Solução da questão 52

Resposta

h^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}

Resolução

O gráfico é o da hipérbole

h(x)=\dfrac1x

: passa por

(1,1)

e tem os eixos como assímptotas.

y=\dfrac1x

vem

x=\dfrac1y

: trocando as letras,

h^{-1}(x)=\dfrac1x

, a própria função.

Resposta: A

Erro comum. Responder $-\frac1x$ (B), confundindo a inversa com a simétrica.

Solução da questão 53

Resposta

H(x)=\ln x+c

Resolução

h(x)=\dfrac1x

, e

(\ln x)'=\dfrac1x

Logo

H(x)=\ln x+c

Resposta: B

Como $h$ também está definida para $x<0$ , a primitiva escreve-se, rigorosamente, $\ln|x|+c$ ; a B dá a parte $x>0$ .

Erro comum. Aplicar a regra das potências, $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ , que não serve para $n=-1$ .

Solução da questão 54

Resposta

A.0

Resolução

\dfrac{1}{h(x)}=\dfrac{1}{1/x}=x

\displaystyle\lim_{x\to0^-}x=0

Resposta: A

Erro comum. Responder $-\infty$ (C), que é o limite de $h$ e não o de $\frac1h$ .

Solução da questão 55

Resposta

E.Não existe

Resolução

h(x)=\dfrac1x

não está definida em

x=0

: o gráfico não tem nenhum ponto sobre o eixo

y

Resposta: E

Erro comum. Responder com um dos limites laterais, $+\infty$ (B) ou $-\infty$ (C).

Solução da questão 56

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Há duas afirmações falsas: $h$ é injectiva, ao contrário do que diz a D, e é ímpar, $h(-x)=-h(x)$ , ao contrário do que diz a E.

Porquê

h(x)=\dfrac1x

é injectiva: valores de

x

diferentes dão valores diferentes (a questão 52 até pede a inversa). A D é falsa.

h(-x)=-\dfrac1x=-h(x)

: o gráfico é simétrico em relação à origem (C verdadeira), e

h(x)=h(-x)

só valeria se fosse simétrico em relação ao eixo

y

. A E também é falsa.

Com duas afirmações falsas, nenhuma alternativa é a resposta única.

Solução da questão 57

Resposta

D.É descontínua eliminável

Resolução

x=-3

a função não está definida (

\frac00

), mas, para

x\neq-3

f(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3

\displaystyle\lim_{x\to-3}f(x)=-6

: o limite existe e é finito, por isso a descontinuidade é eliminável (basta definir

f(-3)=-6

Resposta: D

Erro comum. Ver o denominador nulo em $x=-3$ e concluir que há uma assimptota vertical (A).