Matemática 2019

UEM
55 questões
51 soluções

Exame de Matemática - 2019

Numa biblioteca A há 10000 livros, entre os quais 8000 escritos em Português. Noutra biblioteca B há-se 12000 livros com a mesma proporção entre o número de livros em Português e o número total. Qual é o número de livros escritos noutras linguagens na biblioteca B?

A.4000

B.2400

C.2000

D.1800

E.3000

Numa escola estudam 203 alunos. Arredondando o número de alunos até centenas, qual é a percentagem do erro relativo desta operação?

A.3

B.2,5

C.2

D.1,5

E.1

No mapa de parede de República de Moçambique no canto interior direito está escrito: Escala 1:1300000, o que significa que para 1 centímetro no mapa correspondem 1300000 centímetros de distância real. Neste mapa a distância de Beira à Tete mede, em linha recta, cerca de 32,7 centímetros. Arredondando a resposta a três algarismos significativos, qual é a distância real de Beira à Tete em quilómetros (km)?

A.400 km

B.405 km

C.415 km

D.425 km

E.450 km

Um caderno custa 120 Meticais, o que em seis vezes é mais caro comparando com o preço duma caneta. O aluno comprou quatro cadernos e umas canetas, pagando 600 Meticais. Quantas canetas comprou o aluno?

A.4

B.6

C.8

D.10

E.12

Uma solução de concentração de sal de 6% foi obtida misturando a solução A de massa de 3 kg e de concentração de 4% com a solução B de massa 2 kg. Qual é a massa de sal da solução B?

A.0,2

B.0,6

C.0,35

D.0,2

E.0,18

Uma turma da escola consta 24 alunos, entre eles seis alunos gostam de Matemática, oito de Física, quatro de Matemática e Física, dois nada gostam e os outros gostam de Geografia ou História. Quantos alunos gostam de Geografia ou História?

A.4

B.6

C.8

D.10

E.12

Um grupo de 5 pessoas quer jogar em volley da praia formando as equipas 2 contra 2 jogadores. Quantos jogos com diferentes jogadores nas equipas podem ser realizados?

A.10

B.8

C.12

D.20

E.16

Que ponto do plano cartesiano fica mais próximo à origem do sistema cartesiano, o ponto A(-2,5), B(-6,-1) ou o ponto médio C do segmento AB?

A.A

B.B

C.C

D.tanto A como B

E.nenhuma das alternativas

Qual é o quarto termo de desenvolvimento binomial de $(a+b)^n$ , sendo $n = 5$ ?

10a^3b^2

10a^2b^3

5a^2b^2

15a^2b^2

15a^3b^2

10.

PASSE PARA A PERGUNTA SEGUINTE

11.

Quantos jogos $m$ de um campeonato de Xadrez devem ser realizados entre 20 pessoas e qual é a probabilidade $p$ de uma pessoa ser vencedor desta prova?

m=10; p=\frac{1}{10}

m=190; p=\frac{1}{20}

m=400; p=\frac{1}{40}

m=200; p=\frac{1}{20}

m=120; p=\frac{1}{40}

12.

Simplificando a expressão com números complexos $\frac{(1+2i)^2\cdot(1-2i)^2}{|3+4i|\cdot|3-4i|}$ obtém-se:

\frac{5}{16}

\frac{9}{7}

-\frac{5}{16}

D.1

E.-1

13.

O domínio da expressão $\frac{x^2-9}{(x+5)(x-3)}$ é:

x\in R

x\in]-\infty,-5]\cup[3,\infty[

x\in]-\infty,-5[\cup]-5,\infty[

x\in]-\infty,-5[\cup[-5,3[\cup[3,\infty]

x\in]-\infty,-5[\cup]-5;3[\cup]3,\infty[

14.

Duas empresas alugam camiões. A Empresa A necessita de um depósito de 150000 Meticais e o pagamento de 5000 Meticais por um quilómetro, posteriormente. A Empresa B necessita de um depósito de 100000 Meticais e o pagamento de 7000 Meticais por um quilómetro, posteriormente. Para qual milhagem o pagamento de alugar camiões é o mesmo?

A.100

B.75

C.50

D.25

E.10

15.

Considere o sistema linear $\begin{cases}\lambda x+2y=4+\lambda\\2x+\lambda y=-2\end{cases}$ Segundo o parâmetro $\lambda$ , a afirmação verdadeira é:

A.se

\lambda=2

o sistema tem uma e só única solução;

B.se

\lambda=-2

o sistema não tem solução;

C.se

\lambda\neq2

\lambda\neq-2

o sistema tem mais do que uma solução;

D.se

\lambda\neq2

\lambda\neq-2

o sistema tem uma e só única solução;

E.se

\lambda=2

o sistema tem mais do que uma solução.

16.

Para que o produto da matriz $A=\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}$ por vector $\begin{pmatrix}x+2\\y\end{pmatrix}$ seja igual ao vector $\begin{pmatrix}3x-y\\y+3\end{pmatrix}$ os números $x$ e $y$ devem ser iguais, suficientemente, aos valores:

A.4 e 0

B.3 e 0

C.0 e 4

D.2 e 2

E.3 e 1

17.

Resolvendo a equação $9x^2+6x+1=0$ obtém-se:

x_1=0,x_2=-\frac{1}{3}

x_1=-\frac{1}{3},x_2=-\frac{1}{3}

x_1=-\frac{1}{3},x_2=\frac{1}{3}

x_1=\frac{1}{3},x_2=\frac{1}{3}

x_1=-\frac{1}{3},x_2=0

18.

Resolvendo a equação $|1-x^2|=-1$ a resposta é:

-\sqrt{2}

\sqrt{2}

C.0

D.2

\varnothing

19.

Os zeros de polinómio $P(x)=x^2+2ax-4$ são:

x_{1,2}=\pm\sqrt{a^2+4}

x_{1,2}=\pm(a-2)

x_{1,2}=\pm\sqrt{a+1}

x_{1,2}=a\pm\sqrt{a^2+4}

x_{1,2}=-a\pm\sqrt{a^2+4}

20.

Resolvendo a inequação $2x^2-x-1>0$ obtemos:

x\in]-\infty,\infty[

x\in]-\infty,-1]\cup[0,\infty[

x\in]-\infty;-0,5[\cup]1;\infty[

x\in[-0,5;1]

x\in]-\infty,-1]\cup[0,5;\infty[

21.

PASSE PARA A PERGUNTA SEGUINTE

22.

Resolvendo a inequação $\sqrt{4-x}<\sqrt{x-2}$ a resposta é:

x\in]-2,2[

x\in[2,4]

x\in]2,3]

x\in[3,4]

x\in]3,4]

23.

Resolvendo a equação $4^x-2^{x+1}+1=0$ o resultado é:

x=-1

x=1

x=0

x=-2

x=2

24.

Resolvendo a inequação $\log_3(x^2-1)\le1$ a resposta é:

x\in[-2,2]

x\in[-2,0]\cup[1,2]

x\in]-1,1[\cup[2,\infty[

x\in[-1,1[

x\in[-2,-1[\cup]1,2]

25.

As rectas no plano $y=3x-2$ e $y=kx+1$ são perpendiculares quando:

k=\frac{1}{2}

k=-\frac{1}{3}

k=3

k=1

k=-\frac{1}{2}

26.

As rectas $y=2x+q$ e $y=px+7$ não têm algum ponto em comum. Quais são $p$ e $q$ ?

p=2

q=7

p=2

q\neq7

p\neq2

q=7

p\neq2

q\neq7

E.A nenhuma das respostas alternativas

27.

Um par da função $y=f(x)$ e sua inversa $y=f^{-1}(x)$ definidas nos seus domínios é:

y=x^2

y=\sqrt{x}

y=e^x

y=\ln x

x=y^2

y=\sqrt{x}

y=senx

y=\cos x

y=senx

y=\sec x

28.

A parábola cujo gráfico está representado na figura tem a equação:

y(x)=(x-1)^2-1

y(x)=(x-1)^2+1

y(x)=-(x+1)^2+1

y(x)=-(x-1)^2-1

y(x)=-(x+1)^2-1

29.

PASSE PARA A PERGUNTA SEGUINTE

30.

O número de pontos de intersecção dos gráficos das funções $y=sen2x$ e $y=tgx$ no intervalo $]0,2\pi[$ é igual a:

A.7

B.6

C.5

D.3

E.2

31.

Simplificando a expressão $\frac{senx}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{senx}$ obtém-se:

A.2

\frac{2}{\cos x}

\frac{\cos x}{2}

\frac{2}{senx}

\cos^2x

32.

A função f(x) definida e contínua num [a,b] admite $f'(x)>0$ . Então f(x) em [a,b] é:

A.Monótona

B.Decrescente

C.Não é monótona

D.Não é limitada

f(a)>0

f(b)<0

33.

A função f(x) definida e contínua num [a,b] admite $f'(x)<0$ . Então f(x) em [a,b] é:

A.Não é monótona

B.Crescente

C.Não é limitada

D.Decrescente

f(a)<0

f(b)>0

34.

O gráfico de uma função f(x) cuja $f''(x)=2$ é:

A.Uma recta

B.Uma hipérbole

C.Uma parábola da 2ª ordem com ramos virados para cima

D.Uma parábola da 2ª ordem com ramos virados para baixo

E.Uma parábola da 3ª ordem

35.

O ponto do gráfico da função $y=\sqrt{x}$ onde a tangente à esta curva tem equação $y=x+b$ , satisfazendo o valor do parâmetro indicado b, é:

A.(0,0), se

b=0

\left(\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)

, se

b=\frac{3}{4}

C.(4,-2), se

b=6

D.(1,1), se

b=2

\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)

, se

b=\frac{1}{4}

36.

O limite da expressão $\frac{x^3+1}{x+1}$ quando $x\to -1$ é:

A.Não existe

B.0

C.1

D.2

E.3

37.

O $\lim_{x\to0} e^{\frac{1}{x}}$ é:

\infty

B.0

-\infty

D.e

E.Não existe

38.

Na figura está representada parte do gráfico de uma função f(x) definida em R.

O grupo das afirmações verdadeiras é:

\lim_{x\to2^-}f(x)=f(2)

\lim_{x\to2^+}f(x)=f(2)

\lim_{x\to2}f(x)=2

\lim_{x\to2^-}f(x)\neq f(2)

\lim_{x\to2^+}f(x)\neq f(2)

\lim_{x\to2}f(x)

não existe

\lim_{x\to2^-}f(x)\neq f(2)

\lim_{x\to2^+}f(x)=f(2)

\lim_{x\to2}f(x)=2

\lim_{x\to2^-}f(x)=f(2)

\lim_{x\to2^+}f(x)\neq f(2)

\lim_{x\to2}f(x)

não existe

\lim_{x\to2^-}f(x)\neq f(2)

\lim_{x\to2^+}f(x)\neq f(2)

\lim_{x\to2}f(x)=2

39.

A derivada da função $y=\frac{1+\cos x}{senx}$ é:

\frac{1}{1+tgx}

\frac{1}{\cos x-1}

\frac{1-senx}{\cos x}

\frac{1-\cos x}{sen^2x}

\frac{senx}{1+\cos x}

40.

Compare as velocidades $v_1(t)$ e $v_2(t)$ de movimento de dois pontos materiais para o instante do tempo $t=\frac{\pi^2}{16}$ , se as leis de movimento destes pontos são definidas pelas equações $S_1(t)=sen\sqrt{t}$ e $S_2(t)=\sqrt{\frac{t}{2}}$ . Então:

v_1=v_2

v_1>v_2

v_1<v_2

v_1

v_2

são não comparáveis

E.Nenhuma é solução

41.

Qual é a medida de altura $h$ no triângulo rectangular de catetos $a$ e $b$ ?

h=\frac{b}{2}

h=\frac{ab}{2}

h=\frac{a^2+b^2}{ab}

h=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}

h=\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}

42.

No $\triangle ABC$ o lado $a=6$ cm, o lado $c=3$ cm, o ângulo $\angle B=60°$ . A medida do lado $b$ é igual à:

A.5

5\sqrt{3}

C.4

3\sqrt{3}

\sqrt{3}

43.

Em quantas vezes aumentará a medida de altura $h$ de um triângulo equilátero se o seu perímetro será aumentado em seis vezes?

A.3

B.6

C.12

D.2

E.4

44.

Sejam um paralelogramo e um rectângulo cujas bases e alturas são iguais suficientemente. Qual destas afirmações é verdadeira?

A.O perímetro e a área do paralelogramo são, correspondentemente maiores do que os do rectângulo

B.O perímetro e a área do rectângulo são, correspondentemente maiores do que os do paralelogramo

C.As áreas destas figuras são iguais, mas os perímetros não

D.Os perímetros destas figuras são iguais, mas as áreas não

E.Os perímetros e as áreas destas figuras são, suficientemente iguais

45.

Qual é o raio $R$ de um círculo inscrito num triângulo equilátero de lado $a$ ?

R=\frac{a}{2}

R=\frac{a\sqrt2}{3}

R=\frac{a\sqrt3}{6}

R=\frac{a\sqrt3}{2}

R=\frac{1}{3}a

46.

Os diâmetros de três círculos inscritos num círculo de diâmetro $D$ satisfazem às razões e a igualdade seguintes: $d_1:d_2:d_3=3:2:1$ e $d_1+d_2+d_3=D$ . Quais são as razões das áreas dos círculos inscritos?

A.3:2:1

B.9:4:1

C.18:2:1

D.1:2/3:1/3

E.6:3:1

47.

Seja losango de lado $a$ e ângulo agudo $60°$ . Qual deve ser o raio $R$ de um círculo com a mesma área?

R=a

R=a\frac{\sqrt3}{2}

R=\frac{a\pi\sqrt3}{2}

R=a\cdot\sqrt{\frac{\sqrt3}{2\pi}}

R=\frac{a}{2}

48.

Uma circunferência de raio $R$ centrada no ponto $A(2,1)$ é deslocada segundo o vector $\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ . Qual é a equação da circunferência em posição nova no mesmo sistema de coordenadas?

(x+2)^2+(y-3)^2=R^2

(x+2)^2+(y+1)^2=R^2

(x-4)^2+(y+2)^2=R^2

(x-2)^2+(y-1)^2=R^2

(x+4)^2+(y-2)^2=R^2

49.

As fórmulas que relacionam as coordenadas $x$ e $y$ , ( $x,y\in R$ ) de um sistema cartesiano com as coordenadas $\rho$ e $\varphi$ , ( $\rho\ge0$ , $\varphi\in[0,2\pi]$ ), do sistema polar (as origens destes coincidem e o eixo das abcissas do sistema cartesiano coincide com o eixo polar $\rho$ do sistema polar), são seguintes: $x=\rho\cos\varphi$ e $y=\rho sen\varphi$ . Exprima a equação de uma circunferência de raio $R$ , centrada na origem do sistema cartesiano, na forma $\rho=\rho(\varphi)$ no sistema polar.

\rho=R

\rho=2\pi R

\rho=\pi R^2

\rho=2\pi

\rho=\pi R

50.

Comprimento de diagonal $D$ de um cubo de lado de comprimento $a$ é igual:

D=3a

D=a\sqrt3

D=a\sqrt2

D=2a

D=5a

51.

Numa circunferência de raio $R$ os seus dois diâmetros perpendiculares entre si, intersectando com a circunferência formam um quadrilátero inscrito, cuja área é igual a:

R^2

2R^2

4R^2

8R^2

16R^2

52.

O raio da base dum cone é igual a $R$ , a geratriz faz um ângulo $\alpha$ com a base. Então o volume $V$ do cone é igual:

V=\frac{1}{3}\pi R^3ctg\alpha

V=\frac{1}{6}\pi R^3

V=\frac{1}{3}\pi R^3tg\alpha

V=\pi R^3\cos\alpha

V=\pi R^3sen\alpha

53.

Os pontos da inflexão do gráfico da função $f(x)=\frac{1}{9}(x^4-4x^3)$ são:

x=0

x=2

x=1

x=3

x=1

x=4

x=3

x=4

E.Não existem

54.

As assíntotas verticais $A_V$ , horizontais $A_H$ , oblíquas $A_O$ da função $f(x)=\frac{x^3}{(x-1)^2}$ são:

A_V:x=1

;

A_H

A_O

não existem

A_V:x=1

;

A_H

não existe;

A_O:y=x+2

A_V:x=1

;

A_H:y=0

;

A_O

não existe

A_V:x=0

;

A_H:y=0

;

A_O

não existe

E.Não tem assíntotas

55.

A primitiva $F(x)$ da função $f(x)=sen2x$ , sendo $C$ uma constante arbitrária é:

F(x)=\cos2x+C

F(x)=\frac{1}{2}\cos2x+C

F(x)=2sen2x+C

F(x)=-\frac{1}{2}\cos2x+C

F(x)=-\frac{1}{2}sen2x+C

Respostas

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1B
2D
3D
4B
5E
6E
7—
8C
9B
11B
12D
13E
14D
15D
16E
17B
18E
19—
20C
22E
23C
24E
25B
26B
27B
28D
30C
31D
32A
33D
34C
35E
36E
37E
38B
39B
40A
41D
42D
43B
44C
45C
46B
47D
48C
49A
50B
51B
52C
53A
54B
55D

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-2019/

Solução da questão 1

Resposta

B.2400

Resolução

Na biblioteca A,

\frac{2000}{10000}=0{,}2

dos livros estão noutras línguas.

Na B a proporção é a mesma:

0{,}2\times12000=2400

Resposta: B

Erro comum. Responder com os 2000 livros de outras línguas da biblioteca A (C).

Solução da questão 2

Resposta

D.1,5

Resolução

Arredondado às centenas,

203\approx200

: o erro absoluto é

|203-200|=3

Erro relativo:

\frac{3}{203}\approx0{,}0148\approx1{,}5\%

Resposta: D

Erro comum. Dar o erro absoluto, 3, como se fosse a percentagem (A).

Solução da questão 3

Resposta

D.425 km

Resolução

Distância real:

32{,}7\times1\,300\,000=42\,510\,000

cm.

Como

1

=100\,000

cm, são

425{,}1

km, ou seja,

425

km com três algarismos significativos.

Resposta: D

Erro comum. Errar a conversão de centímetros para quilómetros: 1 km são $10^5$ cm.

Solução da questão 4

Resposta

B.6

Resolução

O caderno custa seis vezes a caneta: a caneta custa

\frac{120}{6}=20

MT.

Quatro cadernos custam

4\times120=480

MT; sobram

600-480=120

MT.

Canetas:

\frac{120}{20}=6

Resposta: B

Solução da questão 5

Resposta

E.0,18

Resolução

Sal na mistura:

0{,}06\times(3+2)=0{,}3

kg.

Sal da solução A:

0{,}04\times3=0{,}12

kg.

Sal da solução B:

0{,}3-0{,}12=0{,}18

kg.

Resposta: E

Erro comum. Calcular $0{,}06\times2=0{,}12$ kg, como se B sozinha tivesse 6% de sal.

Solução da questão 6

Resposta

E.12

Resolução

Os seis de Matemática e os oito de Física incluem os quatro que gostam das duas: gostam de pelo menos uma

6+8-4=10

Com os 2 que não gostam de nada, sobram

24-10-2=12

Resposta: E

Erro comum. Somar $6+8+4+2=20$ , contando duas vezes quem gosta das duas, e ficar com 4 (A).

Solução da questão 7

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Há 15 jogos diferentes (5 escolhas de quem fica de fora × 3 maneiras de formar as duplas) e nenhuma alternativa dá 15. A chave A conta as duplas, $C_5^2=10$ , e não os jogos.

Porquê

Um jogo fica definido por quem fica de fora (5 escolhas) e pela forma de dividir os outros quatro em duas duplas.

Quatro jogadores 1, 2, 3, 4 dividem-se em duplas de 3 maneiras: 12–34, 13–24, 14–23. Ao todo,

5\times3=15

jogos.

Nenhuma alternativa dá 15. A chave A, 10, é o número de duplas,

C_5^2=10

, e não o de jogos.

Solução da questão 8

Resposta

C.C

Resolução

Ponto médio:

C=\left(\frac{-2-6}{2},\frac{5-1}{2}\right)=(-4,2)

Quadrados das distâncias à origem:

A

4+25=29

;

B

36+1=37

;

C

16+4=20

. O menor é o de

C

Resposta: C

Erro comum. Supor que o ponto médio fica a uma distância intermédia entre as de A e B.

Solução da questão 9

Resposta

10a^2b^3

Resolução

Termo geral:

T_{k+1}=C_5^k\,a^{5-k}b^k

O quarto termo tem

k=3

C_5^3\,a^2b^3=10a^2b^3

Resposta: B

Erro comum. Escolher $10a^3b^2$ (A), que é o terceiro termo.

Solução da questão 11

Resposta

m=190; p=\frac{1}{20}

Resolução

Cada par de jogadores joga uma vez:

m=C_{20}^2=\frac{20\cdot19}{2}=190

Os 20 jogadores têm a mesma hipótese de vencer:

p=\frac{1}{20}

Resposta: B

Erro comum. Contar $20\times20=400$ ou $20\times10=200$ jogos, sem tirar as repetições.

Solução da questão 12

Resposta

D.1

Resolução

(1+2i)^2(1-2i)^2=[(1+2i)(1-2i)]^2=(1+4)^2=25

|3+4i|=|3-4i|=\sqrt{9+16}=5

, e o produto é 25.

\frac{25}{25}=1

Resposta: D

Erro comum. Calcular $(1+2i)(1-2i)=1-4=-3$ , esquecendo que $i^2=-1$ .

Solução da questão 13

Resposta

x\in]-\infty,-5[\cup]-5;3[\cup]3,\infty[

Resolução

A expressão só não existe onde o denominador se anula:

(x+5)(x-3)=0

para

x=-5

x=3

Domínio:

\mathbb{R}\setminus\{-5,3\}=\,]-\infty,-5[\,\cup\,]-5;3[\,\cup\,]3,\infty[

Resposta: E

Erro comum. Simplificar primeiro o factor $x-3$ e excluir só $x=-5$ (C).

Solução da questão 14

Resposta

D.25

Resolução

Custo com

x

km: A,

150000+5000x

; B,

100000+7000x

150000+5000x=100000+7000x\Rightarrow 2000x=50000\Rightarrow x=25

Resposta: D

Erro comum. Dividir a diferença dos depósitos por 1000 ou por 5000, em vez de por $7000-5000=2000$ .

Solução da questão 15

Resposta

D.se

\lambda\neq2

\lambda\neq-2

o sistema tem uma e só única solução;

Resolução

O determinante do sistema é

\lambda\cdot\lambda-2\cdot2=\lambda^2-4

\lambda\neq2

\lambda\neq-2

, é diferente de zero e o sistema tem uma só solução.

As outras falham: com

\lambda=2

fica

x+y=3

x+y=-1

(impossível); com

\lambda=-2

as duas equações reduzem-se a

-x+y=1

(infinitas soluções).

Resposta: D

Erro comum. Trocar os casos: com $\lambda=-2$ o sistema tem infinitas soluções, e é com $\lambda=2$ que não tem nenhuma.

Solução da questão 16

Resposta

E.3 e 1

Resolução

A\begin{pmatrix}x+2\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+2+3y\\4y\end{pmatrix}

Segunda componente:

4y=y+3\Rightarrow y=1

Primeira:

x+2+3=3x-1\Rightarrow x=3

Resposta: E

Solução da questão 17

Resposta

x_1=-\frac{1}{3},x_2=-\frac{1}{3}

Resolução

9x^2+6x+1=(3x+1)^2

(3x+1)^2=0\Rightarrow x=-\frac13

, raiz dupla:

x_1=x_2=-\frac13

Resposta: B

Erro comum. Escrever as raízes como $\pm\frac13$ (C).

Solução da questão 18

Resposta

\varnothing

Resolução

O módulo nunca é negativo:

|1-x^2|\ge0>-1

A equação não tem solução.

Resposta: E

Erro comum. Resolver $1-x^2=-1$ e obter $x=\pm\sqrt2$ , esquecendo o módulo.

Solução da questão 20

Resposta

x\in]-\infty;-0,5[\cup]1;\infty[

Resolução

Zeros de

2x^2-x-1

x=\frac{1\pm3}{4}

, ou seja,

x=-0{,}5

x=1

Com o coeficiente de

x^2

positivo, a expressão é positiva fora das raízes:

x<-0{,}5

x>1

Resposta: C

Erro comum. Ficar com o intervalo entre as raízes (D), que é onde a expressão é negativa.

Solução da questão 22

Resposta

x\in]3,4]

Resolução

Domínio:

4-x\ge0

x-2\ge0

, isto é,

2\le x\le4

Os dois lados são não negativos; elevando ao quadrado:

4-x<x-2\Rightarrow x>3

Com o domínio:

x\in\,]3,4]

Resposta: E

Erro comum. Incluir $x=3$ , onde os dois lados são iguais (D).

Solução da questão 23

Resposta

x=0

Resolução

Com

y=2^x

4^x=y^2

2^{x+1}=2y

y^2-2y+1=(y-1)^2=0\Rightarrow y=1

, logo

2^x=1

x=0

Resposta: C

Erro comum. Escrever $2^{x+1}$ como $2^x+1$ .

Solução da questão 24

Resposta

x\in[-2,-1[\cup]1,2]

Resolução

Domínio:

x^2-1>0

, ou seja,

x<-1

x>1

\log_3(x^2-1)\le1\iff x^2-1\le3\iff -2\le x\le2

Intersectando:

x\in[-2,-1[\,\cup\,]1,2]

Resposta: E

Erro comum. Esquecer o domínio do logaritmo e ficar com $[-2,2]$ (A).

Solução da questão 25

Resposta

k=-\frac{1}{3}

Resolução

Duas rectas são perpendiculares quando o produto dos declives é

-1

3k=-1\Rightarrow k=-\frac13

Resposta: B

Erro comum. Repetir o declive, $k=3$ (C), que dá rectas paralelas.

Solução da questão 26

Resposta

p=2

q\neq7

Resolução

Sem pontos comuns, as rectas são paralelas e distintas.

Paralelas: mesmo declive,

p=2

. Distintas: ordenadas na origem diferentes,

q\neq7

Resposta: B

Erro comum. Escolher $p=2$ e $q=7$ (A), que dá duas vezes a mesma recta.

Solução da questão 27

Resposta

y=e^x

y=\ln x

Resolução

y=x^2

não é injectiva em

\mathbb{R}

. C:

x=y^2

não dá

y

como função de

x

. D e E não são pares de inversas.

y=e^x

vai de

\mathbb{R}

para

]0,\infty[

, e

\ln(e^x)=x

e^{\ln x}=x

: são inversas.

Resposta: B

Erro comum. Escolher A, esquecendo que $\sqrt{x^2}=|x|$ , e não $x$ , quando $x<0$ .

Solução da questão 28

Resposta

y(x)=-(x-1)^2-1

Resolução

A concavidade está virada para baixo: o coeficiente de

x^2

é negativo, o que exclui A e B.

O vértice é

(1,-1)

, logo

y=-(x-1)^2-1

Confirma-se com o ponto

(0,-2)

-(0-1)^2-1=-2

Resposta: D

Erro comum. Escrever o vértice em $x=1$ como $(x+1)^2$ e escolher E.

Solução da questão 30

Resposta

C.5

Resolução

sen2x=tgx\iff 2senx\cos x=\frac{senx}{\cos x}\iff senx\,(2\cos^2x-1)=0

, com

\cos x\neq0

senx=0

dá

x=\pi

]0,2\pi[

2\cos^2x-1=\cos2x=0

dá

x=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}

. Ao todo, 5 pontos.

Resposta: C

Erro comum. Dividir os dois lados por $senx$ e perder a solução $x=\pi$ .

Solução da questão 31

Resposta

\frac{2}{senx}

Resolução

Denominador comum:

\frac{sen^2x+(1+\cos x)^2}{senx\,(1+\cos x)}

Numerador:

sen^2x+1+2\cos x+\cos^2x=2+2\cos x=2(1+\cos x)

Simplificando:

\frac{2}{senx}

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o termo $2\cos x$ ao desenvolver $(1+\cos x)^2$ .

Solução da questão 32

Resposta

A.Monótona

Resolução

Com

f'(x)>0

[a,b]

f

é crescente nesse intervalo.

Uma função crescente é monótona.

Resposta: A

Erro comum. Confundir o sinal da derivada com o sinal da própria função.

Solução da questão 33

Resposta

D.Decrescente

Resolução

Com

f'(x)<0

[a,b]

f

é decrescente nesse intervalo.

Resposta: D

Erro comum. Confundir o sinal da derivada com o sinal da própria função.

Solução da questão 34

Resposta

C.Uma parábola da 2ª ordem com ramos virados para cima

Resolução

Integrando duas vezes

f''(x)=2

f'(x)=2x+C_1

f(x)=x^2+C_1x+C_2

É uma parábola com o coeficiente de

x^2

positivo: ramos virados para cima.

Resposta: C

Erro comum. Pensar que uma segunda derivada constante dá uma recta (A); a recta é quando $f''=0$ .

Solução da questão 35

Resposta

\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)

, se

b=\frac{1}{4}

Resolução

A tangente

y=x+b

tem declive 1:

y'=\frac{1}{2\sqrt x}=1\Rightarrow x=\frac14

O ponto é

\left(\frac14,\sqrt{\frac14}\right)=\left(\frac14,\frac12\right)

Na tangente:

\frac12=\frac14+b\Rightarrow b=\frac14

Resposta: E

Erro comum. Dar ao ponto a ordenada $\frac14$ (B), esquecendo que $y=\sqrt x$ .

Solução da questão 36

Resposta

E.3

Resolução

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

Para

x\neq-1

\frac{x^3+1}{x+1}=x^2-x+1\to1+1+1=3

Resposta: E

Erro comum. Ver $\frac00$ e concluir que o limite não existe (A).

Solução da questão 37

Resposta

E.Não existe

Resolução

Quando

x\to0^+

\frac1x\to+\infty

e^{1/x}\to+\infty

Quando

x\to0^-

\frac1x\to-\infty

e^{1/x}\to0

Os limites laterais são diferentes: o limite não existe.

Resposta: E

Erro comum. Olhar só para a direita e responder $\infty$ (A).

Solução da questão 38

Resposta

\lim_{x\to2^-}f(x)\neq f(2)

\lim_{x\to2^+}f(x)\neq f(2)

\lim_{x\to2}f(x)

não existe

Resolução

O ponto cheio dá

f(2)=0

Pela esquerda o gráfico chega ao círculo aberto em

(2,-2)

\lim_{x\to2^-}f(x)=-2\neq f(2)

. Pela direita, ao círculo em

(2,1)

\lim_{x\to2^+}f(x)=1\neq f(2)

Os limites laterais são diferentes, logo

\lim_{x\to2}f(x)

não existe.

Resposta: B

Erro comum. Tomar o valor de um dos círculos abertos como $f(2)$ .

Solução da questão 39

Resposta

\frac{1}{\cos x-1}

Resolução

Regra do quociente:

y'=\frac{-senx\cdot senx-(1+\cos x)\cos x}{sen^2x}=\frac{-(1+\cos x)}{sen^2x}

Como

sen^2x=(1-\cos x)(1+\cos x)

y'=\frac{-1}{1-\cos x}=\frac{1}{\cos x-1}

Resposta: B

Erro comum. Trocar a ordem dos termos no numerador da regra do quociente e obter o sinal contrário.

Solução da questão 40

Resposta

v_1=v_2

Resolução

v_1=S_1'(t)=\frac{\cos\sqrt t}{2\sqrt t}

. Em

t=\frac{\pi^2}{16}

\sqrt t=\frac\pi4

v_1=\frac{\sqrt2/2}{\pi/2}=\frac{\sqrt2}{\pi}

S_2=\frac{\sqrt t}{\sqrt2}

, logo

v_2=\frac{1}{2\sqrt2\,\sqrt t}=\frac{1}{2\sqrt2\cdot\pi/4}=\frac{\sqrt2}{\pi}

As velocidades são iguais.

Resposta: A

Erro comum. Comparar as posições $S_1$ e $S_2$ em vez das velocidades.

Solução da questão 41

Resposta

h=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}

Resolução

A área calcula-se de duas formas:

\frac{ab}{2}

com os catetos, ou

\frac{c\,h}{2}

com a hipotenusa

c

Com

c=\sqrt{a^2+b^2}

ab=h\sqrt{a^2+b^2}

, logo

h=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}

Resposta: D

Erro comum. Confundir $h$ com a área do triângulo, $\frac{ab}{2}$ (B).

Solução da questão 42

Resposta

3\sqrt{3}

Resolução

Lei dos cossenos:

b^2=a^2+c^2-2ac\cos B

b^2=36+9-2\cdot6\cdot3\cdot\frac12=27

, logo

b=\sqrt{27}=3\sqrt3

cm.

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o termo $-2ac\cos B$ e obter $\sqrt{45}$ .

Solução da questão 43

Resposta

B.6

Resolução

O perímetro é

3a

: se fica 6 vezes maior, o lado também fica.

A altura

h=\frac{a\sqrt3}{2}

é proporcional ao lado, por isso também fica 6 vezes maior.

Resposta: B

Erro comum. Dividir o 6 pelos três lados e responder 2 (D).

Solução da questão 44

Resposta

C.As áreas destas figuras são iguais, mas os perímetros não

Resolução

A área das duas figuras é base × altura; com bases e alturas iguais, as áreas são iguais.

O lado oblíquo do paralelogramo é maior do que a altura, que é o lado do rectângulo: o perímetro do paralelogramo é maior.

Resposta: C

Erro comum. Pensar que, por estar inclinado, o paralelogramo tem área diferente.

Solução da questão 45

Resposta

R=\frac{a\sqrt3}{6}

Resolução

No triângulo equilátero o centro da circunferência inscrita está a

\frac13

da altura, a contar da base.

R=\frac13\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{6}

Resposta: C

Erro comum. Usar $\frac23$ da altura, que é o raio da circunferência circunscrita.

Solução da questão 46

Resposta

B.9:4:1

Resolução

A área de um círculo é

\frac{\pi d^2}{4}

: é proporcional ao quadrado do diâmetro.

Razão das áreas:

3^2:2^2:1^2=9:4:1

Resposta: B

Erro comum. Repetir a razão dos diâmetros, 3:2:1 (A).

Solução da questão 47

Resposta

R=a\cdot\sqrt{\frac{\sqrt3}{2\pi}}

Resolução

Área do losango:

a^2\,sen60°=\frac{a^2\sqrt3}{2}

\pi R^2=\frac{a^2\sqrt3}{2}\Rightarrow R^2=\frac{a^2\sqrt3}{2\pi}\Rightarrow R=a\sqrt{\frac{\sqrt3}{2\pi}}

Resposta: D

Erro comum. Esquecer a raiz quadrada no fim e ficar com a expressão de $R^2$ .

Solução da questão 48

Resposta

(x-4)^2+(y+2)^2=R^2

Resolução

A translação segundo

\vec a

leva o centro a

(2+2,\;1-3)=(4,-2)

; o raio não muda.

Equação:

(x-4)^2+(y+2)^2=R^2

Resposta: C

Erro comum. Trocar os sinais na equação e escrever $(x+4)^2+(y-2)^2$ (E).

Solução da questão 49

Resposta

\rho=R

Resolução

A circunferência de raio

R

centrada na origem é

x^2+y^2=R^2

Substituindo:

\rho^2\cos^2\varphi+\rho^2sen^2\varphi=\rho^2=R^2

, logo

\rho=R

Resposta: A

Erro comum. Confundir com o perímetro, $2\pi R$ (B), ou com a área, $\pi R^2$ (C).

Solução da questão 50

Resposta

D=a\sqrt3

Resolução

Diagonal de uma face:

a\sqrt2

Diagonal do cubo:

D=\sqrt{(a\sqrt2)^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt3

Resposta: B

Erro comum. Responder com a diagonal da face, $a\sqrt2$ (C).

Solução da questão 51

Resposta

2R^2

Resolução

Os extremos de dois diâmetros perpendiculares formam um quadrado com diagonais

2R

Área:

\frac{2R\cdot2R}{2}=2R^2

Resposta: B

Erro comum. Tomar $2R$ como lado do quadrado e obter $4R^2$ (C).

Solução da questão 52

Resposta

V=\frac{1}{3}\pi R^3tg\alpha

Resolução

A altura

H

, o raio

R

e a geratriz formam um triângulo rectângulo:

tg\alpha=\frac HR

, logo

H=R\,tg\alpha

V=\frac13\pi R^2H=\frac13\pi R^3tg\alpha

Resposta: C

Erro comum. Trocar os catetos e tomar $H=R\,ctg\alpha$ (A).

Solução da questão 53

Resposta

x=0

x=2

Resolução

f'(x)=\frac19(4x^3-12x^2)

f''(x)=\frac19(12x^2-24x)=\frac43x(x-2)

f''

anula-se em

x=0

x=2

e muda de sinal em ambos: são pontos de inflexão.

Resposta: A

Erro comum. Usar os zeros de $f'$ ( $x=0$ e $x=3$ ), que são pontos críticos, em vez dos de $f''$ .

Solução da questão 54

Resposta

A_V:x=1

;

A_H

não existe;

A_O:y=x+2

Resolução

O denominador anula-se em

x=1

e o numerador não: assíntota vertical

x=1

O grau do numerador excede o do denominador em 1: não há assíntota horizontal, há oblíqua.

x^3=(x+2)(x-1)^2+3x-2

, logo

f(x)=x+2+\frac{3x-2}{(x-1)^2}

e a oblíqua é

y=x+2

Resposta: B

Erro comum. Concluir que não há assíntota oblíqua e escolher A.

Solução da questão 55

Resposta

F(x)=-\frac{1}{2}\cos2x+C

Resolução

Uma primitiva de

sen(kx)

-\frac1k\cos(kx)

Com

k=2

F(x)=-\frac12\cos2x+C

Confirma-se:

F'(x)=-\frac12\cdot(-sen2x)\cdot2=sen2x

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o sinal menos e escolher $\frac12\cos2x+C$ (B).