Matemática 2021

UEM
40 questões
90 minutos
36 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de admissão de Matemática II₂ – 2021

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro à lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, à esferográfica (de cor azul ou preta).

Um dado mostra nas suas faces números de 1 a 6. A probabilidade de acertar num número menor do que 3 é:

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

\frac{1}{6}

\frac{2}{3}

\frac{5}{6}

A expressão $-4+2(\sqrt{27}+1)+2\sqrt{12}-4\sqrt{3}$ é equivalente a:

2(1-3\sqrt{3})

-2(1-3\sqrt{3})

2(1+3\sqrt{3})

-2(1+3\sqrt{3})

E.Nenhuma das alternativas

Sobre a sucessão $v_n=\dfrac{3n-2}{n+1}$ é falso afirmar que:

\frac{25}{10}

é termo de

v_n

\frac{1}{2}\leq v_n \leq 2

v_n

é crescente

\lim v_n = 3

v_5=\frac{13}{6}

A expressão $\dfrac{x}{2(x-y)} - \dfrac{(x+y)^2}{x^2-y^2}$ é equivalente a:

-\frac{x-2y}{2(x-y)}

\frac{x+2y}{2(x-y)}

-\frac{x+2y}{2(x-y)}

\frac{x-2y}{2(x-y)}

\frac{2y-x}{2(x-y)}

Dois números distam entre si 5 unidades. Sabendo que um deles é 3, o outro será:

A.-2 ou 8

B.2 ou -8

C.5 ou 3

D.-2 ou -8

E.-3 ou 2

$|\sqrt{5}-3|$ é igual a:

\sqrt{5}-3

-\sqrt{5}-3

\sqrt{5}+3

3-\sqrt{5}

E.Nenhuma das alternativas

Se $x^y=3$ então $x^{3y}+2$ é igual a:

A.11

B.5

C.29

D.6

E.28

O termo geral da sucessão $4,9,16,25,\dots$ é:

u_n=n^2

u_n=n^2+1

u_n=(n-1)^2

u_n=(n+1)^2

u_n=2n^2

A soma dos 8 primeiros termos da sucessão $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\dots$ é:

-\frac{255}{128}

\frac{126}{255}

\frac{128}{255}

-\frac{128}{255}

\frac{255}{128}

10.

Numa progressão aritmética o quinto e o décimo segundo termo são respectivamente iguais a 23 e 51. O sétimo termo é:

A.30

B.31

C.32

D.33

E.34

11.

Dado o gráfico da função $y=h(x)$ no domínio $\mathbb{R}$ , ao lado, o domínio da função $g(x)=\sqrt{h(x)}$ é:

]-2;0[\cup]1;+\infty[

]-\infty;-2[\cup]0;1[

]-\infty,-2]\cup[0;1]

]-2;0[

[-2;0]\cup[1;+\infty[

12.

Dadas as funções $h(x)=x^2-5$ e $g(x)=\sqrt{x+1}$ , a função $(g\circ h)(x)$ será:

\sqrt{4-x^2}

|x-4|

x-2

\sqrt{x^2-4}

x-4

13.

A solução da inequação $x^2-5\leq 4$ é:

-1<x<1

x<-1 \vee x>1

x\leq -1 \vee x\geq 1

x\leq \pm 1

-1\leq x \leq 1

14.

A recta tangente à curva $H(x) = x^2 - 5$ em $x = -2$ é:

y = 4x - 9

y = -4x - 9

y = -4x - 7

y = -4x - 8

y = -4x + 7

15.

Seja uma função $g$ , contínua em $\mathbb{R}/\{0\}$ tal que: $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$ , $\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$ e $g(0) = 2$ . O gráfico da função $g$ pode ser:

16.

Sabe-se que $f(x+2) = 2x + 7$ , então $f(x)$ será:

f(x) = 2x + 5

f(x) = 2x + 9

f(x) = 2x - 5

f(x) = 2x - 9

f(x) = 2x + 3

17.

O limite $\lim_{x \to 9} \dfrac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ é igual a:

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{6}

0

+\infty

-\infty

18.

A derivada de $y = (x^2 - 4)^2$ é igual a:

4x

2(x^2 - 4)

4x(x^2 - 4)

2x^2 - 4

2(x^2-4)(2x^2=4x)

19.

Se $\cos\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ com $0 \le \theta \le 2\pi$ , então $\theta$ é igual a:

\dfrac{\pi}{3}

\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{3} \vee \dfrac{5}{3}\pi

\dfrac{\pi}{6} \vee \dfrac{11}{6}\pi

\dfrac{\pi}{3} \vee \dfrac{\pi}{6}

20.

Seja $f$ uma função tal que $f'(a) > 0$ e $f''(a) = 0$ . Uma representação gráfica possível de $f$ na vizinhança do ponto $a$ é:

E.Nenhuma das alternativas

21.

Supondo que o gráfico da função derivada $f'$ é dado pela figura abaixo, então o gráfico da função $f$ será:

E.Nenhuma das alternativas

22.

Se $x^y = 1$ é correcto afirmar que:

y = 0

x

é um número qualquer

x = -1

y

é um número ímpar

x = 1

y

é um número qualquer

y = 0

x = 0

x = 0

y

é um número qualquer diferente de zero

23.

Seja $g$ uma função definida por $g(x) = \left(\dfrac{\pi}{2}\right)^3$ , então $g'(2)$ é igual a:

g(x) = \dfrac{3\pi^2}{2}

g(x) = \dfrac{3\pi^2}{4}

3

0

6

24.

O limite $\lim_{x \to 0} f(x)$ da função representada no gráfico abaixo é:

0

2

0

7

0

7

E.Não existe

25.

O valor de $f(-5)$ é:

-3

22

7

3

-28

26.

O valor de $\lim_{x \to 2} f(x)$ é:

7

0

0

2

0

2

E.Não existe

27.

O gráfico de $f(x)$ é:

E.Nenhuma das alternativas

28.

As assíntotas da função são:

x=1

y=1

x=0

y=0

y=0

x=1

y=0

x=0

29.

Comparando as derivadas da função em $x=2$ e em $x=3$ , pode dizer-se que:

g'(2)>g'(3)

g'(2)<g'(3)

g'(2)=g'(3)

g'(2)=-g'(3)

E.Nenhuma das alternativas

30.

O limite $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{h(x)}$ é:

+\infty

0

-\infty

1

-1

31.

A expressão analítica da função é:

y=\frac{1}{x+1}

y=-\frac{1}{x+1}

y=\frac{1}{x}-1

y=-\frac{1}{x-1}

y=\frac{1}{x-1}

32.

Os valores das funções são iguais em:

y=1

y=0,5

x=0,5

x=1

x=1,5

33.

O valor de $g(1)$ é igual a:

A.1

B.0,5

C.1,5

D.-1

E.2

34.

O produto $g(x)\cdot h(x)$ é negativo para:

x\in[1,5;+\infty[

x\in\,]-\infty,1]

x\in\,]1,5;+\infty[

x\in\,]1,+\infty]

x\in\,]1,+\infty[

35.

A condição $h(x)\le g(x)$ verifica-se para:

x\in\,]-\infty,1]

x\in\,]1,+\infty[

x\in\,]-\infty,0[

x\in\,]-\infty,0]

x\in[1,+\infty[

Questões 36, 37 e 38

Dado o gráfico da função $y=f(x)$ responda às questões 36, 37 e 38.

36.

A função $y=f(x)$ não admite derivada em:

x=1

x=2

x\in\,]-\infty,2]

x\in\,]2,+\infty]

x=1\vee x=2

37.

O valor de $f(2)$ é igual a:

A.2

B.2 ou 1

C.1

D.Não existe

E.0

38.

O valor de $f'(3)$ é igual a:

A.0

B.1

C.2

D.1 ou 3

E.Não existe

39.

Integrando $\int\left(\frac{1}{x}-x^3\right)dx$ obtém-se:

-\frac{3x^2}{2}+c

\ln|x|-\frac{x^4}{4}+c

-\frac{1}{x}-\frac{x^4}{4}+c

-\frac{1}{x^2}+\frac{x^4}{4}+c

x-\frac{x^4}{4}+c

40.

A expressão $(2+i)^2$ é equivalente à:

2+4i

3-4i

4i-1

3+4i

5+4i

Respostas

Matemática 2021 · UEM · admitela.com

1B
2B
3B
4C
5A
6D
7C
8D
9E
10B
11—
12D
13—
14B
15A
16E
17B
18C
19D
20—
21—
22C
23D
24E
25—
26—
27—
28—
29—
30—
31—
32—
33—
34—
35—
36E
37—
38—
39B
40D

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-2021/

Solução da questão 1

Resposta

\frac{1}{3}

Resolução

Os números menores do que 3 são o 1 e o 2: 2 casos favoráveis em 6 possíveis.

P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}

Resposta: B

Erro comum. Contar também o 3 e obter $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ (A).

Solução da questão 2

Resposta

-2(1-3\sqrt{3})

Resolução

\sqrt{27}=3\sqrt3

\sqrt{12}=2\sqrt3

-4+2(3\sqrt3+1)+4\sqrt3-4\sqrt3=-4+6\sqrt3+2=-2+6\sqrt3

Pondo

-2

em evidência:

-2+6\sqrt3=-2(1-3\sqrt3)

Resposta: B

Erro comum. Pôr o $2$ em evidência sem o sinal e escolher $2(1-3\sqrt3)=2-6\sqrt3$ (A).

Solução da questão 3

Resposta

\frac{1}{2}\leq v_n \leq 2

Resolução

v_n=\dfrac{3n-2}{n+1}=3-\dfrac{5}{n+1}

: é crescente e tende para

3

, por isso C e D são verdadeiras.

v_5=\dfrac{13}{6}

(E verdadeira) e

v_9=\dfrac{25}{10}

(A verdadeira).

Como

v_5=\dfrac{13}{6}>2

, a desigualdade

v_n\le2

falha: a B é falsa.

Resposta: B

Erro comum. Esquecer que se pede a afirmação falsa e escolher uma das verdadeiras.

Solução da questão 4

Resposta

-\frac{x+2y}{2(x-y)}

Resolução

x^2-y^2=(x-y)(x+y)

, logo

\dfrac{(x+y)^2}{x^2-y^2}=\dfrac{x+y}{x-y}

\dfrac{x}{2(x-y)}-\dfrac{2(x+y)}{2(x-y)}=\dfrac{x-2x-2y}{2(x-y)}=\dfrac{-x-2y}{2(x-y)}

Isto é

-\dfrac{x+2y}{2(x-y)}

Resposta: C

Erro comum. Não distribuir o sinal menos pelo $2y$ e obter $\frac{2y-x}{2(x-y)}$ (E).

Solução da questão 5

Resposta

A.-2 ou 8

Resolução

Se o outro número é

x

, a distância entre os dois é

|x-3|=5

x-3=5

dá

x=8

;

x-3=-5

dá

x=-2

Resposta: A

Erro comum. Trocar os sinais e escolher $2$ ou $-8$ (B), que distam 5 de $-3$ e não de $3$ .

Solução da questão 6

Resposta

3-\sqrt{5}

Resolução

\sqrt5\approx2{,}24<3

, logo

\sqrt5-3<0

O módulo de um número negativo é o seu simétrico:

|\sqrt5-3|=3-\sqrt5

Resposta: D

Erro comum. Tirar só as barras e escolher $\sqrt5-3$ (A), que é negativo.

Solução da questão 7

Resposta

C.29

Resolução

x^{3y}=(x^y)^3=3^3=27

x^{3y}+2=27+2=29

Resposta: C

Erro comum. Multiplicar em vez de elevar ao cubo: $3\cdot3+2=11$ (A).

Solução da questão 8

Resposta

u_n=(n+1)^2

Resolução

4=2^2

9=3^2

16=4^2

25=5^2

: o termo de ordem

n

é o quadrado de

n+1

u_n=(n+1)^2

; confere:

u_1=4

u_2=9

Resposta: D

Erro comum. Escolher $u_n=n^2$ (A), que começa em $u_1=1$ e não em $4$ .

Solução da questão 9

Resposta

\frac{255}{128}

Resolução

É uma progressão geométrica com

u_1=1

e razão

r=\dfrac12

S_8=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^8}{1-\frac12}=2\left(1-\dfrac{1}{256}\right)=\dfrac{255}{128}

Resposta: E

Erro comum. Inverter a fracção e escolher $\frac{128}{255}$ (C).

Solução da questão 10

Resposta

B.31

Resolução

Do 5.º ao 12.º termo há 7 razões:

51-23=7r

, logo

r=4

u_7=u_5+2r=23+8=31

Resposta: B

Erro comum. Contar 6 razões entre o 5.º e o 12.º termo, ou somar só uma razão ao 5.º termo.

Solução da questão 11

Resposta

Nenhuma alternativa serve

O PDF não traz o gráfico de $h$ : a questão diz «ao lado», mas ao lado só estão as alternativas. Sem ele não se sabe onde $h(x)\ge0$ .

Porquê

O domínio de

g(x)=\sqrt{h(x)}

é o conjunto dos

x

com

h(x)\ge0

, que se lê no gráfico de

h

A prova não traz esse gráfico, e as alternativas dão conjuntos diferentes: nenhuma se pode justificar.

Solução da questão 12

Resposta

\sqrt{x^2-4}

Resolução

(g\circ h)(x)=g(h(x))=\sqrt{h(x)+1}

\sqrt{x^2-5+1}=\sqrt{x^2-4}

Resposta: D

Erro comum. Trocar a ordem da composição: $h(g(x))=(\sqrt{x+1})^2-5=x-4$ (E).

Solução da questão 13

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A solução de $x^2-5\le4$ é $-3\le x\le3$ , que não está nas alternativas. A E, $-1\le x\le1$ , só seria a solução de $x^2-5\le-4$ .

Porquê

x^2-5\le4\iff x^2\le9

x^2\le9\iff-3\le x\le3

Nenhuma alternativa dá este intervalo: todas usam

\pm1

, e a E deixa de fora soluções como

x=2

(

4-5=-1\le4

Solução da questão 14

Resposta

y = -4x - 9

Resolução

H(-2)=4-5=-1

: o ponto de tangência é

(-2,-1)

H'(x)=2x

, logo o declive é

H'(-2)=-4

y+1=-4(x+2)\iff y=-4x-9

Resposta: B

Erro comum. Usar o declive $4$ em vez de $-4$ e escolher A.

Solução da questão 15

Resposta

Resolução

g(0)=2

: o ponto

(0,2)

tem de ser cheio. Isso exclui B e D, onde a bola cheia está em

(0,-2)

\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty

: à direita o gráfico desce sem parar. Isso exclui C e E, onde sobe.

Em A, quando

x\to-\infty

o gráfico sobe sem parar, e a bola aberta em

(0,-2)

só marca o salto em

x=0

Resposta: A

Erro comum. Trocar a bola cheia pela aberta e escolher B, onde $g(0)=-2$ .

Solução da questão 16

Resposta

f(x) = 2x + 3

Resolução

Faz-se

t=x+2

, isto é,

x=t-2

f(t)=2(t-2)+7=2t+3

Logo

f(x)=2x+3

Resposta: E

Erro comum. Somar 2 ao resultado, $2x+7+2=2x+9$ (B), em vez de substituir $x$ por $x-2$ .

Solução da questão 17

Resposta

\dfrac{1}{6}

Resolução

x=9

dá

\frac00

. Como

x-9=(\sqrt x-3)(\sqrt x+3)

, a fracção simplifica-se.

\dfrac{\sqrt x-3}{x-9}=\dfrac{1}{\sqrt x+3}

\lim\limits_{x\to9}\dfrac{1}{\sqrt x+3}=\dfrac{1}{3+3}=\dfrac16

Resposta: B

Erro comum. Ver o numerador a anular-se e responder $0$ (C), quando o denominador também se anula.

Solução da questão 18

Resposta

4x(x^2 - 4)

Resolução

Regra da cadeia:

y'=2(x^2-4)\cdot(x^2-4)'

y'=2(x^2-4)\cdot2x=4x(x^2-4)

Resposta: C

Erro comum. Esquecer a derivada de dentro e ficar com $2(x^2-4)$ (B).

Solução da questão 19

Resposta

\dfrac{\pi}{6} \vee \dfrac{11}{6}\pi

Resolução

\cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}

no 1.º quadrante dá

\theta=\dfrac{\pi}{6}

O co-seno também é positivo no 4.º quadrante:

\theta=2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}

Resposta: D

Erro comum. Confundir com o seno e pensar em $\frac{\pi}{3}$ , ou dar só uma das soluções (B).

Solução da questão 22

Resposta

x = 1

y

é um número qualquer

Resolução

1^y=1

para qualquer

y

: a C é sempre verdadeira.

A A falha em

x=0

, porque

0^0

não está definido, e a D é esse mesmo caso. Na B,

(-1)^y=-1

para

y

ímpar; na E,

0^y=0

Resposta: C

Erro comum. Escolher A, esquecendo que $x^0=1$ só vale para $x\ne0$ .

Solução da questão 23

Resposta

0

Resolução

g(x)=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^3

não depende de

x

: é uma constante.

A derivada de uma constante é

0

, logo

g'(2)=0

Resposta: D

Erro comum. Derivar como se fosse $x^3$ e obter $3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2=\frac{3\pi^2}{4}$ (B).

Solução da questão 24

Resposta

E.Não existe

Resolução

À esquerda de

0

o gráfico é a semi-recta horizontal

y=2

\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=2

À direita de

0

o gráfico sai da origem:

\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=0

Os limites laterais são diferentes, logo o limite não existe.

Resposta: E

Erro comum. Responder com o valor da função, $f(0)=2$ (B), que não é o limite.

Solução da questão 25

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A prova não define a função $f$ das questões 25 a 27: não há expressão nem gráfico antes delas, por isso $f(-5)$ não se pode calcular.

Porquê

A questão pede

f(-5)

, mas a prova não diz que função é

f

Sem

f

, nenhuma das alternativas se pode justificar.

Solução da questão 26

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A prova não define a função $f$ das questões 25 a 27: não há expressão nem gráfico antes delas, por isso o limite em $x=2$ não se pode calcular.

Porquê

O limite depende dos valores de

f

perto de

x=2

, e a prova não define

f

Sem

f

não se pode escolher entre as alternativas; «0 e 2» e «0 ou 2» nem são valores possíveis para um limite, que é um só número.

Solução da questão 27

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A prova não define a função $f$ das questões 25 a 27: não há expressão nem gráfico antes delas, por isso não se pode dizer qual dos gráficos é o dela.

Porquê

Para escolher o gráfico era preciso a expressão de

f

, que a prova não dá.

Os quatro gráficos são de funções diferentes, e nada no enunciado permite eliminar nenhum.

Solução da questão 28

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A prova não diz de que função se fala nas questões 28 a 31: não há expressão nem gráfico, por isso as assíntotas não se podem determinar.

Porquê

As assíntotas dependem da função, e a prova não a dá.

Sem ela, nenhuma das alternativas se pode justificar.

Solução da questão 29

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A prova não define a função $g$ (nem expressão nem gráfico), por isso não se podem comparar $g'(2)$ e $g'(3)$ .

Porquê

Comparar

g'(2)

com

g'(3)

exige conhecer

g

ou o seu gráfico.

A prova não dá nenhum dos dois: nenhuma alternativa se pode justificar.

Solução da questão 30

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A prova não define a função $h$ (nem expressão nem gráfico), por isso o limite não se pode calcular.

Porquê

\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{h(x)}

depende do comportamento de

h

quando

x\to+\infty

A prova não dá

h

: nenhuma alternativa se pode justificar.

Solução da questão 31

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A prova não traz o gráfico da função cuja expressão se pede, por isso não se pode escolher entre as alternativas.

Porquê

Para identificar a expressão analítica era preciso o gráfico da função, que a prova não traz.

As cinco expressões dão funções diferentes, e nada permite escolher uma.

Solução da questão 32

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A prova não define as funções $g$ e $h$ das questões 32 a 35: não há expressões nem gráficos antes delas, por isso não se sabe onde os seus valores são iguais.

Porquê

Os valores de

g

e de

h

são iguais onde os gráficos se cruzam, e a prova não traz as funções.

Sem elas, nenhuma das alternativas se pode justificar.

Solução da questão 33

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A prova não define as funções $g$ e $h$ das questões 32 a 35: não há expressões nem gráficos antes delas, por isso $g(1)$ não se pode calcular.

Porquê

A questão pede

g(1)

, mas a prova não diz que função é

g

Sem

g

, nenhuma das alternativas se pode justificar.

Solução da questão 34

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A prova não define as funções $g$ e $h$ das questões 32 a 35: não há expressões nem gráficos antes delas, por isso não se sabe onde o produto é negativo.

Porquê

O produto

g(x)\cdot h(x)

é negativo onde

g

h

têm sinais contrários, o que só se lê nas funções.

A prova não as dá: nenhuma das alternativas se pode justificar.

Solução da questão 35

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A prova não define as funções $g$ e $h$ das questões 32 a 35: não há expressões nem gráficos antes delas, por isso a condição $h(x)\le g(x)$ não se pode resolver.

Porquê

A condição

h(x)\le g(x)

verifica-se onde o gráfico de

h

está abaixo do de

g

, e a prova não traz nenhum dos dois.

Sem as funções, nenhuma das alternativas se pode justificar.

Solução da questão 36

Resposta

x=1\vee x=2

Resolução

x=1

o gráfico faz um bico: os declives à esquerda e à direita são

-1

1

, logo não há derivada.

x=2

a função é descontínua (

f(2)=1

, mas o gráfico chega a

2

dos dois lados), logo também não há derivada.

Nos outros pontos o gráfico é feito de segmentos de recta e tem derivada.

Resposta: E

Erro comum. Ver só o bico em $x=1$ (A) e esquecer que onde há descontinuidade também não há derivada.

Solução da questão 39

Resposta

\ln|x|-\frac{x^4}{4}+c

Resolução

\int\dfrac1x\,dx=\ln|x|

\int x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}

\int\left(\dfrac1x-x^3\right)dx=\ln|x|-\dfrac{x^4}{4}+c

Resposta: B

Erro comum. Derivar $\frac1x$ em vez de a primitivar e escrever $-\frac{1}{x^2}$ (D).

Solução da questão 40

Resposta

3+4i

Resolução

(2+i)^2=4+4i+i^2

Como

i^2=-1

4+4i-1=3+4i

Resposta: D

Erro comum. Tomar $i^2=1$ e obter $5+4i$ (E).