Matemática 2023

UEM
40 questões
90 minutos
39 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de Admissão – 2023 | Parte – 1: Matemática II

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro a lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, à esferográfica (de cor azul ou preta).

Considere a seguinte expressão: $|-4| + |\sqrt{2}| - |\sqrt{2} - 3|$ . O seu valor corresponde a qual das seguintes opções:

-7

7 + 2\sqrt{2}

1

7

1 + 2\sqrt{2}

Indique as soluções da equação $|x^2 - 2x - 1| = x - 1$ :

x = -1 \vee x = 0

x = 2 \vee x = 3

x = -1 \vee x = 2

x = 0 \vee x = 3

x = -2 \vee x = 1

Qual o conjunto de soluções da inequação $1 \leq |x - 3| \leq 2$ :

[1,2] \cup [4,5]

[-5,4] \cup [-2,1] \cup [1,2] \cup [4,5]

]-\infty,-2] \cup [5,+\infty[

[2,5]

[1,2] \cup [5,+\infty[

Para que valores de $a$ e $b$ a função $f(x) = |x-a| + b$ é simétrica em relação ao eixo dos YY?

a = 0; b \in \mathbb{R}

a \in ]-\infty,0[; b = 0

a,b \in ]0,+\infty[

a,b \in \mathbb{R}\setminus\{0\}

a,b \in ]-\infty,0[

Considere as funções $f(x) = |x|^2 - 4$ e $g(x) = |x^2 - 4|$ . Indique a afirmação incorrecta:

A.Ambas funções têm o mesmo domínio.

B.Ambas funções têm o mesmo contradomínio.

C.Os zeros de

f(x)

coincidem com os zeros de

g(x)

f(x) \geq 0

para

x \in \mathbb{R}\setminus]-2,2[

g(x) \geq 0

para

x \in \mathbb{R}

f(x)

é crescente em

]0,+\infty[

g(x)

é crescente em

]-2,0[ \cup ]2,+\infty[

O número de arranjos de 3 rapazes e 4 raparigas numa fila, se as raparigas têm que ficar juntas é:

4! \times 4!

3! \times 4!

3! \times 2!

4! \times 4! \times 2!

3! \times 4! \times 2!

De entre 35 alunos de uma turma, de quantos modos diferentes é possível escolher um chefe, um sub-chefe e um secretário?

C_3^{35} \times 35!

C_3^{35}

A_3^{35} \times A_3^{34} \times A_1^{33}

A_3^{35}

A_3^{35} \times C_{32}^{35}

Numa perfumaria quer-se colocar na montra, em fila, 3 frascos de perfume de homem e 5 frascos de perfume de mulher, escolhidos de entre 10 perfumes de homem e 12 perfumes de mulher. De quantas formas se pode formar a fila de perfumes?

C_3^{10} \times C_5^{12}

A_3^{10} \times A_5^{11}

C_3^{10} \times C_5^{12} \times A_8^8

A_3^{10} \times A_5^{12} \times 8!

C_3^{10} \times C_5^{12} \times 22

Considere os acontecimentos $M$ e $N$ de uma experiência $X$ , tal que $P(M) = 0{,}2$ e $P(N) = 0{,}6$ . Qual dos seguintes valores pode ser o de $P(M \cup N)$ ?

A.0,1

B.0,4

C.0,5

D.0,7

E.0,9

10.

Sabe-se que num país, a probabilidade de nascer rapaz é metade da probabilidade de nascer rapariga. A probabilidade de um casal com dois filhos ter dois rapazes é:

A.1/9

B.1/4

C.2/3

D.1/2

E.1/3

11.

O coeficiente de $x^2$ no desenvolvimento do binómio $(2x-3)^5$ é igual a:

A.1080

B.540

C.-10

D.-540

E.-1080

12.

A soma dos primeiro, segundo, penúltimo e último elementos de uma linha do Triângulo de Pascal é 20. Então o sexto elemento dessa linha é:

A.84

B.126

C.220

D.278

E.332

13.

Qual dos seguintes conjuntos descreve o domínio da função real de variável real $f(x) = \dfrac{x - \log(x)}{x}$ ?

]-\infty,1[

]-\infty,0[

]0,+\infty[

\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}

\mathbb{R} \setminus ]-1,1[

14.

De uma função quadrática $f$ sabe-se que $(1,3)$ são as coordenadas do vértice da parábola que a representa graficamente e que $f(-2) = -4$ . Então pode afirmar-se que a função:

A.É par.

B.Tem um único zero.

C.É injectiva.

D.É monótona.

E.Tem contradomínio

]-\infty, 3]

15.

Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$ , estritamente crescente. Qual das afirmações pode estar incorrecta?

f

não pode ter mais que um zero.

B.A função é injectiva.

C.A função não é par.

f(x-1) < f(x)

E.O contradomínio é

\mathbb{R}^+

16.

Seja dada $f(x) = x^2 - 2x - 3$ . Qual dos seguintes gráficos representa esta função?

17.

Seja $f$ a função real de variável real definida por $f(x) = 2^x - 2$ . Para um certo número real $k$ , o gráfico da função $g$ , definida por $g(x) = f(x+k)$ , passa no ponto de coordenadas $(-4; -3/2)$ . Qual é o valor de $k$ ?

A.3

B.2/3

C.2

D.5

E.-4

18.

Considere a função $f(x) = \text{sen}(x/2) + 3$ . Qual das seguintes opções representa o conjunto dos zeros de $f(x)$ ?

\{x \in \mathbb{R}: x = 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}

\{x = \pi/2\}

\{x = -3\}

\{x \in \mathbb{R}: x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}

\emptyset

19.

Sejam $f$ e $g$ funções lineares de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ , dadas por $f(x) = 2x - 3$ e $f(g(x)) = -4x + 1$ . Nestas condições, $g(-1)$ é igual a:

A.-5

B.0

C.4

D.5

E.-4

20.

Considere a soma $1 + a^1 + a^2 + \cdots + a^{2022}$ . O seu valor é dado por:

\frac{1+a^{2019}}{2} \times 2022

\frac{1+a^{2022}}{2} \times 2023

\frac{1-a^{2022}}{1-a}

\frac{1-a^{2023}}{1-a}

\frac{1+a^{2022}}{1-a}

21.

A soma duma série aritmética é 100 vezes o valor do seu primeiro termo e o último termo é 9 vezes o valor do seu primeiro termo. Quantos termos tem a série?

A.91

B.20

C.15

D.11

E.50

22.

De uma progressão geométrica $(u_n)$ sabe-se que $\frac{u_{2022}}{u_{2023}} = \frac{1}{2}$ e que a soma dos 5 primeiros termos é 93. O décimo termo é:

93 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{10}

3 \times 2^{10}

5 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{9}

3 \times 2^9

\frac{93}{5} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{9}

23.

Os 3 primeiros termos de uma série geométrica são $m+2, m$ e $2m-3$ . Sobre a série podemos dizer que:

A.É crescente com

m=0

B.É decrescente com

m=-3

m=2

C.É crescente com

m=-1

m=1

D.Não monótona com

m=-2

E.Decrescente, com

m=-2

m=3

24.

Se $a_k = 3^{-2k}$ $(k \in \mathbb{N})$ , então a soma infinita $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ é igual a:

A.0,1

B.0,125

C.0,2

D.1,125

E.1,2

25.

Considere as seguintes sucessões, representadas pelo seu termo geral $a_n$ $(n \in \mathbb{N})$ . Qual delas é convergente?

a_n = \frac{n^2-4}{n^2}

a_n = \frac{3n^3+5n}{n^2-5}

a_n = \left(\frac{5}{2}\right)^n

a_n = n^2 - 3

E.Nenhuma.

26.

Determine o $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{3+n}{n-1}\right)^{2n}$ , $n \in \mathbb{N}$ ?

+\infty

e^3

C.1

D.0

e^8

27.

Indique o valor do $\lim_{x \to 1} \frac{x^4-5x^2+4}{x^2+x-2}$ :

A.-2

B.0

C.1

+\infty

-\infty

28.

Qual o limite, quando $x \to 5$ , da função $\frac{2x^2-50}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}$ ?

40\sqrt{5}

25\sqrt{10}

\infty

D.0

E.2/5

29.

De uma função $g$ , de domínio $\mathbb{R}$ , sabe-se que $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ existe e que $\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x^2} = k$ , $k \in \mathbb{R}\backslash\{0\}$ . Qual poderá ser $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ ?

A.0

B.-1

C.1

\pm 2

\pm \infty

30.

Para certos números reais $a$ e $b$ , é contínua a função definida por $f(x)=\begin{cases} a, & \text{se } x \leq 0 \\ \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}, & \text{se } 0<x<4 \\ b, & \text{se } x \geq 4 \end{cases}$ Determine $a$ e $b$ .

a=b=1

a=4; b=\dfrac{1}{2}

a=\dfrac{1}{4}; b=0

a=\dfrac{1}{2}; b=\dfrac{1}{4}

a=0; b=4

31.

Considere a função $f(x)=\ln\left(\dfrac{x^2-2}{2}\right)$ . Determine a sua derivada:

\dfrac{2x}{x^2-2}

\dfrac{4x}{x^2-2}

2x

\dfrac{2(x-1)}{x^2-2}

\ln\left(\dfrac{x^2-2}{2x}\right)

32.

Sejam $f$ e $g$ funções tais que $f(2)=4, f'(2)=-2, g(2)=-3$ e $g'(2)=1$ . Determine o valor de $\left(\dfrac{1}{f+g}\right)'$ no ponto $x=2$ .

0

-1

1

-2

2

33.

Considere a função $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ definida em $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ . Determine o(s) ponto(s) do gráfico de $f$ nos quais a recta tangente é paralela à recta $y=x$ .

(0,0)

(1,-1)

(1,1)

(0,1)

(0,0)

(-2,2)

(1,2)

(2,1)

34.

Considere a função $f(x)=x^3-3x^2+3$ . Os seus máximos e mínimos são:

A.Máx.

M(3,3)

; Mín.

P(0,0)

B.Máx.

M(0,3)

; Mín.

P(2,-1)

C.Máx.

M(3,0)

; Mín.

P(2,-1)

D.Máx.

M(-1,2)

; Mín.

P(0,3)

E.Máx.

M(2,-1)

; Mín.

P(0,3)

35.

Seja $f(x)$ uma função cujo gráfico tem um ponto máximo de abcissa $x=2$ . Qual dos seguintes gráficos poderá representar o da sua primeira derivada:

E.Nenhuma das opções anteriores.

36.

Seja $h(x)=(x^2-1)(x+1)$ uma função de domínio $\mathbb{R}$ . Indique qual das afirmações está correcta:

h(x)

tem 3 zeros em

x=-1, x=0

x=1

h(x)

tem um mínimo e não tem máximo.

h(x)

é crescente em todo o seu domínio.

h(x)

tem um ponto de inflexão em

x=-3

E.O gráfico de

h(x)

apresenta a concavidade voltada para cima no intervalo

\left]\dfrac{1}{3},+\infty\right[

37.

Considere o número complexo $z=i(i+1)$ . Qual o resultado da sua simplificação?

1-i

i+1

-2i

i-1

-1-i

38.

Considere a equação $z^3-4z^2+5z=0$ , onde $z$ pertence ao conjunto dos números complexos, $\mathbb{C}$ . Qual dos conjuntos representa as soluções da equação?

\{0,2+i,2-i\}

\{0,i,-i\}

\varnothing

\{1+i,-1+i\}

\{-i,i,-1,1\}

39.

Seja $f'(x)=\dfrac{1}{3}\operatorname{sen}\left(\dfrac{x}{2}\right)+3x^2$ a derivada de uma função real $f(x)$ . Sabendo que $f(0)=1$ , determine a primitiva de $f'(x)$ .

f(x)=-\dfrac{2}{3}\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)+x^3+\dfrac{5}{3}

f(x)=\dfrac{2}{3}\operatorname{sen}\left(\dfrac{x^2}{4}\right)+x^3+1

f(x)=\dfrac{2}{3}\cos\left(\dfrac{x^2}{4}\right)+x^3+\dfrac{2}{3}

f(x)=-\dfrac{1}{6}\operatorname{sen}\left(\dfrac{x}{2}\right)+\dfrac{3x^2}{2}

f(x)=-\dfrac{2}{3}\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)+x^3+1

40.

Seja $g(x)=(9x^2)(3x^3-2)^6$ a derivada de uma função $G(x)$ e $c \in \mathbb{R}$ . Qual a possível expressão de $G(x)$ ?

G(x)=(3x^3)\left(\dfrac{3}{4}x^4-2\right)^6

G(x)=(3x^3-2x)^7

G(x)=\dfrac{(3x^3)}{7}\left(\dfrac{3}{4}x^4-2\right)^7+c

G(x)=\dfrac{1}{7}(3x^3-2)^7+c

G(x)=(3x^3)\left(\dfrac{3}{4}x^4-2x\right)^7+c

Respostas

Matemática 2023 · UEM · admitela.com

1E
2B
3A
4A
5B
6A
7D
8C
9D
10A
11E
12B
13C
14E
15E
16—
17A
18E
19C
20D
21B
22D
23B
24B
25A
26E
27A
28A
29E
30D
31A
32C
33D
34B
35C
36E
37D
38A
39A
40D

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-2023/

Solução da questão 1

Resposta

1 + 2\sqrt{2}

Resolução

|-4|=4

|\sqrt2|=\sqrt2

\sqrt2<3

, logo

\sqrt2-3<0

|\sqrt2-3|=3-\sqrt2

4+\sqrt2-(3-\sqrt2)=1+2\sqrt2

Resposta: E

Erro comum. Tirar o módulo de $\sqrt2-3$ sem trocar o sinal e chegar a $4+\sqrt2-\sqrt2+3=7$ (D).

Solução da questão 2

Resposta

x = 2 \vee x = 3

Resolução

Um módulo nunca é negativo, por isso só servem os

x

com

x-1\geq0

, isto é,

x\geq1

x^2-2x-1=x-1\iff x^2-3x=0\iff x=0\vee x=3

; só

x=3

cumpre

x\geq1

x^2-2x-1=-(x-1)\iff x^2-x-2=0\iff x=-1\vee x=2

; só

x=2

cumpre

x\geq1

Resposta: B

Erro comum. Aceitar $x=0$ ou $x=-1$ sem verificar que $x-1$ tem de ser positivo ou nulo.

Solução da questão 3

Resposta

[1,2] \cup [4,5]

Resolução

|x-3|\leq2\iff-2\leq x-3\leq2\iff1\leq x\leq5

|x-3|\geq1\iff x-3\leq-1\vee x-3\geq1\iff x\leq2\vee x\geq4

A intersecção é

[1,2]\cup[4,5]

Resposta: A

Erro comum. Resolver só $|x-3|\leq2$ e ficar com $[1,5]$ inteiro, esquecendo que $|x-3|\geq1$ tira o intervalo $]2,4[$ .

Solução da questão 4

Resposta

a = 0; b \in \mathbb{R}

Resolução

O gráfico de

|x-a|

é um «V» com o vértice em

x=a

; é simétrico em relação ao eixo dos YY só se o vértice estiver nesse eixo, isto é,

a=0

Somar

b

desloca o gráfico na vertical e não estraga a simetria:

b

pode ser qualquer real.

Resposta: A

Erro comum. Pensar que $b$ também tem de ser $0$ .

Solução da questão 5

Resposta

B.Ambas funções têm o mesmo contradomínio.

Resolução

f(x)=|x|^2-4=x^2-4

tem contradomínio

[-4,+\infty[

g(x)=|x^2-4|

nunca é negativa e anula-se em

\pm2

: contradomínio

[0,+\infty[

Os contradomínios são diferentes, logo B é a afirmação incorrecta; as outras verificam-se.

Resposta: B

Em rigor, $g$ é crescente em $]-2,0[$ e em $]2,+\infty[$ separadamente, não na reunião dos dois; a afirmação E lê-se intervalo a intervalo.

Erro comum. Ver que os zeros coincidem ( $\pm2$ ) e concluir que os contradomínios também.

Solução da questão 6

Resposta

4! \times 4!

Resolução

As 4 raparigas juntas formam um bloco, que se arruma com os 3 rapazes: são 4 elementos,

4!

maneiras.

Dentro do bloco, as raparigas trocam entre si de

4!

maneiras.

Total:

4!\times4!

Resposta: A

Erro comum. Esquecer que o bloco das raparigas também muda de lugar entre os rapazes e ficar com $3!\times4!$ (B).

Solução da questão 7

Resposta

A_3^{35}

Resolução

Os cargos são diferentes, por isso a ordem conta: são arranjos de 35 alunos 3 a 3.

A_3^{35}=35\times34\times33

Resposta: D

Erro comum. Usar combinações, $C_3^{35}$ (B), como se os três cargos fossem iguais.

Solução da questão 8

Resposta

C_3^{10} \times C_5^{12} \times A_8^8

Resolução

Escolhem-se 3 dos 10 perfumes de homem,

C_3^{10}

, e 5 dos 12 de mulher,

C_5^{12}

Os 8 frascos escolhidos arrumam-se na fila de

8!=A_8^8

maneiras.

Total:

C_3^{10}\times C_5^{12}\times A_8^8

Resposta: C

Erro comum. Esquecer a ordem na fila e ficar com $C_3^{10}\times C_5^{12}$ (A), ou contá-la duas vezes com arranjos e $8!$ (D).

Solução da questão 9

Resposta

D.0,7

Resolução

P(M\cup N)\geq P(N)=0{,}6

, porque

N\subset M\cup N

P(M\cup N)=P(M)+P(N)-P(M\cap N)\leq0{,}2+0{,}6=0{,}8

Das opções, só

0{,}7

está em

[0{,}6;\,0{,}8]

Resposta: D

Erro comum. Esquecer que a reunião tem pelo menos a probabilidade de $N$ e escolher $0{,}4$ ou $0{,}5$ .

Solução da questão 10

Resposta

A.1/9

Resolução

p

é a probabilidade de rapaz, a de rapariga é

2p

, e

p+2p=1

dá

p=\frac13

Os dois nascimentos são independentes:

\frac13\times\frac13=\frac19

Resposta: A

Erro comum. Tomar a probabilidade de rapaz como $\frac12$ e responder $\frac14$ (B).

Solução da questão 11

Resposta

E.-1080

Resolução

O termo geral é

C_p^5(2x)^{5-p}(-3)^p

; para

x^2

é preciso

5-p=2

, isto é,

p=3

C_3^5\times2^2\times(-3)^3=10\times4\times(-27)=-1080

Resposta: E

Erro comum. Esquecer o sinal de $(-3)^3$ e responder $1080$ (A).

Solução da questão 12

Resposta

B.126

Resolução

Na linha

n

, os elementos são

C_0^n,C_1^n,\ldots,C_n^n

; os dois primeiros e os dois últimos somam

1+n+n+1=2n+2

2n+2=20\Rightarrow n=9

O sexto elemento é

C_5^9=126

Resposta: B

Erro comum. Contar o sexto elemento como $C_6^9=84$ (A), esquecendo que a linha começa em $C_0^9$ .

Solução da questão 13

Resposta

]0,+\infty[

Resolução

\log(x)

só existe para

x>0

O denominador exige

x\neq0

, que já fica excluído.

Domínio:

]0,+\infty[

Resposta: C

Erro comum. Olhar só para o denominador e esquecer que o logaritmo exige $x>0$ .

Solução da questão 14

Resposta

E.Tem contradomínio

]-\infty, 3]

Resolução

f(x)=a(x-1)^2+3

f(-2)=9a+3=-4

, logo

a=-\frac79<0

A parábola tem a concavidade para baixo e o vértice

(1,3)

é o ponto mais alto.

Logo o contradomínio é

]-\infty,3]

; não é par (o eixo é

x=1

), tem dois zeros e não é injectiva nem monótona.

Resposta: E

Erro comum. Pensar que a parábola só toca o eixo $x$ uma vez (B); com o vértice acima do eixo e a concavidade para baixo, corta-o duas vezes.

Solução da questão 15

Resposta

E.O contradomínio é

\mathbb{R}^+

Resolução

Estritamente crescente implica injectiva, logo no máximo um zero (A e B certas).

x-1<x\Rightarrow f(x-1)<f(x)

(D certa); e

f(-1)<f(1)

impede que seja par (C certa).

O contradomínio não tem de ser

\mathbb{R}^+

f(x)=x

é estritamente crescente e tem contradomínio

\mathbb{R}

Resposta: E

Erro comum. Achar que uma função crescente só toma valores positivos.

Solução da questão 17

Resposta

A.3

Resolução

g(x)=2^{x+k}-2

, e

g(-4)=-\frac32

dá

2^{k-4}-2=-\frac32

2^{k-4}=\frac12=2^{-1}\Rightarrow k-4=-1\Rightarrow k=3

Resposta: A

Erro comum. Resolver $2^{k-4}=\frac12$ como $k-4=1$ e obter $k=5$ (D).

Solução da questão 18

Resposta

\emptyset

Resolução

-1\leq\operatorname{sen}\frac{x}{2}\leq1

, logo

2\leq f(x)\leq4

f

nunca se anula: o conjunto dos zeros é

\emptyset

Resposta: E

Erro comum. Resolver $\operatorname{sen}\frac{x}{2}=0$ em vez de $\operatorname{sen}\frac{x}{2}=-3$ e escolher A.

Solução da questão 19

Resposta

C.4

Resolução

f(g(x))=2g(x)-3=-4x+1

, logo

g(x)=-2x+2

g(-1)=2+2=4

Resposta: C

Erro comum. Calcular $f(g(-1))=5$ (D) em vez de $g(-1)$ .

Solução da questão 20

Resposta

\frac{1-a^{2023}}{1-a}

Resolução

É a soma de uma progressão geométrica de primeiro termo

1

e razão

a

(com

a\neq1

a^0

a^{2022}

há

2023

parcelas:

S=\frac{1-a^{2023}}{1-a}

Resposta: D

Erro comum. Contar 2022 parcelas em vez de 2023 e escolher C.

Solução da questão 21

Resposta

B.20

Resolução

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(a_1+9a_1)}{2}=5n\,a_1

5n\,a_1=100a_1\Rightarrow n=20

Resposta: B

Erro comum. Esquecer o $2$ do denominador de $S_n$ e chegar a $n=10$ .

Solução da questão 22

Resposta

3 \times 2^9

Resolução

\frac{u_{2022}}{u_{2023}}=\frac12

, logo a razão é

r=2

S_5=u_1\frac{2^5-1}{2-1}=31u_1=93\Rightarrow u_1=3

u_{10}=u_1r^9=3\times2^9

Resposta: D

Erro comum. Tomar a razão como $\frac12$ : o quociente dado é o inverso da razão.

Solução da questão 23

Resposta

B.É decrescente com

m=-3

m=2

Resolução

Numa progressão geométrica,

m^2=(m+2)(2m-3)

, isto é,

m^2+m-6=0

, com

m=2

m=-3

m=2

4,\,2,\,1

, de razão

\frac12

, decrescente.

m=-3

-1,\,-3,\,-9

, de razão

3

e termos negativos, também decrescente.

Resposta: B

Erro comum. Ver a razão $3$ em $-1,-3,-9$ e achar que a progressão é crescente.

Solução da questão 24

Resposta

B.0,125

Resolução

a_k=3^{-2k}=\left(\frac19\right)^k

: progressão geométrica de primeiro termo

\frac19

e razão

\frac19

Soma:

\frac{1/9}{1-1/9}=\frac18=0{,}125

Resposta: B

Erro comum. Começar a soma em $k=0$ e obter $1+0{,}125=1{,}125$ (D).

Solução da questão 25

Resposta

a_n = \frac{n^2-4}{n^2}

Resolução

\frac{n^2-4}{n^2}=1-\frac{4}{n^2}\to1

: converge.

B, C e D tendem para

+\infty

Resposta: A

Erro comum. Achar que B converge por ser uma fracção; o numerador tem grau maior.

Solução da questão 26

Resposta

e^8

Resolução

\frac{3+n}{n-1}=1+\frac{4}{n-1}

: indeterminação

1^\infty

O limite é

e^{\lim 2n\cdot\frac{4}{n-1}}=e^{8}

Resposta: E

Erro comum. Ver que a base tende para 1 e responder $1$ (C).

Solução da questão 27

Resposta

A.-2

Resolução

x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x^2-4)

x^2+x-2=(x-1)(x+2)

Simplificando:

\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x^2-4)}{x+2}=\frac{2\times(-3)}{3}=-2

Resposta: A

Erro comum. Substituir directamente, obter $\frac00$ e responder $0$ (B).

Solução da questão 28

Resposta

40\sqrt{5}

Resolução

2x^2-50=2(x-5)(x+5)

x-5=(\sqrt x-\sqrt5)(\sqrt x+\sqrt5)

Simplificando:

\lim_{x\to5}2(x+5)(\sqrt x+\sqrt5)=2\times10\times2\sqrt5=40\sqrt5

Resposta: A

Erro comum. Parar na indeterminação $\frac00$ e responder $0$ ou $\infty$ .

Solução da questão 29

Resposta

\pm \infty

Resolução

g(x)

tendesse para um número

L

, teríamos

\frac{g(x)}{x^2}\to0

, contra

k\neq0

Logo

g(x)\to+\infty

(se

k>0

) ou

g(x)\to-\infty

(se

k<0

Resposta: E

Aqui «o limite existe» inclui limites infinitos; é a única leitura compatível com $k\neq0$ .

Erro comum. Ler «existe» como «é finito» e escolher um número.

Solução da questão 30

Resposta

a=\dfrac{1}{2}; b=\dfrac{1}{4}

Resolução

x=0

a=\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt x-2}{x-4}=\frac{-2}{-4}=\frac12

x=4

\frac{\sqrt x-2}{x-4}=\frac{\sqrt x-2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)}=\frac{1}{\sqrt x+2}\to\frac14

, logo

b=\frac14

Resposta: D

Erro comum. Trocar os dois limites e dar a $a$ o valor $\frac14$ , que é o de $x=4$ .

Solução da questão 31

Resposta

\dfrac{2x}{x^2-2}

Resolução

f(x)=\ln u

com

u=\frac{x^2-2}{2}

u'=x

f'(x)=\frac{u'}{u}=\frac{x}{\frac{x^2-2}{2}}=\frac{2x}{x^2-2}

Resposta: A

Erro comum. Tomar $u'=2x$ , esquecendo o $\frac12$ , e chegar a $\frac{4x}{x^2-2}$ (B).

Solução da questão 32

Resposta

1

Resolução

\left(\frac{1}{f+g}\right)'=-\frac{f'+g'}{(f+g)^2}

x=2

f+g=4-3=1

f'+g'=-2+1=-1

-\frac{-1}{1^2}=1

Resposta: C

Erro comum. Esquecer o sinal menos da derivada de $\frac1u$ e obter $-1$ (B).

Solução da questão 33

Resposta

(0,0)

(-2,2)

Resolução

f'(x)=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}

Paralela a

y=x

f'(x)=1\iff(x+1)^2=1\iff x=0\vee x=-2

f(0)=0

f(-2)=\frac{-2}{-1}=2

: pontos

(0,0)

(-2,2)

Resposta: D

Erro comum. Resolver $f(x)=x$ em vez de $f'(x)=1$ e ficar só com $(0,0)$ (A).

Solução da questão 34

Resposta

B.Máx.

M(0,3)

; Mín.

P(2,-1)

Resolução

f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)

, que se anula em

x=0

x=2

f'

passa de positiva a negativa em

0

e de negativa a positiva em

2

Máximo

f(0)=3

, em

(0,3)

; mínimo

f(2)=8-12+3=-1

, em

(2,-1)

Resposta: B

Erro comum. Trocar o máximo com o mínimo e escolher E.

Solução da questão 35

Resposta

Resolução

Num máximo em

x=2

f

passa de crescente a decrescente:

f'

é positiva antes de

2

e negativa depois.

No gráfico C,

f'

é uma recta decrescente que corta o eixo em

x=2

: muda de

+

para

-

Em A muda de

-

para

+

(mínimo); em B e D anula-se em

2

sem mudar de sinal.

Resposta: C

Erro comum. Escolher B ou D só porque $f'(2)=0$ , sem ver que $f'$ não muda de sinal.

Solução da questão 36

Resposta

E.O gráfico de

h(x)

apresenta a concavidade voltada para cima no intervalo

\left]\dfrac{1}{3},+\infty\right[

Resolução

h(x)=x^3+x^2-x-1=(x-1)(x+1)^2

: zeros só em

-1

1

(A falsa).

h'(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)

: máximo em

x=-1

e mínimo em

x=\frac13

(B e C falsas).

h''(x)=6x+2

anula-se em

x=-\frac13

(D falsa) e é positiva para

x>-\frac13

, logo também em

\left]\frac13,+\infty\right[

Resposta: E

Erro comum. Contar $x=0$ como zero (A); $(x^2-1)(x+1)$ só se anula em $-1$ e $1$ .

Solução da questão 37

Resposta

i-1

Resolução

z=i^2+i=-1+i=i-1

Resposta: D

Erro comum. Tomar $i^2=1$ e chegar a $1+i$ (B).

Solução da questão 38

Resposta

\{0,2+i,2-i\}

Resolução

z^3-4z^2+5z=z(z^2-4z+5)=0

z=0

z^2-4z+5=0

z=\frac{4\pm\sqrt{16-20}}{2}=\frac{4\pm2i}{2}=2\pm i

Resposta: A

Erro comum. Dividir por $z$ e perder a solução $z=0$ .

Solução da questão 39

Resposta

f(x)=-\dfrac{2}{3}\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)+x^3+\dfrac{5}{3}

Resolução

Uma primitiva de

\frac13\operatorname{sen}\frac{x}{2}

-\frac23\cos\frac{x}{2}

, e de

3x^2

x^3

f(x)=-\frac23\cos\frac{x}{2}+x^3+c

f(0)=-\frac23+c=1

, logo

c=\frac53

Resposta: A

Erro comum. Esquecer a constante e escolher E, que dá $f(0)=\frac13$ .

Solução da questão 40

Resposta

G(x)=\dfrac{1}{7}(3x^3-2)^7+c

Resolução

Com

u=3x^3-2

u'=9x^2

g(x)=u'\,u^6

Uma primitiva de

u'u^6

\frac{u^7}{7}

G(x)=\frac17(3x^3-2)^7+c

Resposta: D

Erro comum. Primitivar cada factor em separado, como em A, C ou E.