Matemática 2024

UEM
40 questões
180 minutos
39 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de Admissão de Matemática I | 2024

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro à lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, à esferográfica (de cor azul ou preta).

Indique as soluções da inequação: $|x-2|\geq 6$ :

x\in]-\infty,0]

x=2

x=6

x\in]-\infty,-4]\cup[8,+\infty[

x\in[2,6]

[1,2]\cup[5,+\infty[

Indique as soluções da equação $|x^2-x+1|=2x-1$ :

x=-1\vee x=1

x=0\vee x=1

x=-1\vee x=2

x=1\vee x=2

x=-2\vee x=2

A igualdade $-x=|-x|$ é válida para:

x\in]-\infty,0]

x\in]0,+\infty[

\forall x\in\mathbb{R}

x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}

x\in\emptyset

Seja $f(x)=|x-2|$ e $g(x)=x-2$ . Para que valores $f(x)-g(x)=0$ ?

x=-4, x=4

x=0

x\in[-2,2]

x\in[2,+\infty[

x=-2

Seja $|x-2|\leq 5$ e $|y-2|=1$ . Determine o valor máximo de $|x-y|$ se $x$ e $y$ são soluções das expressões acima.

A.4

-1

C.5

D.3

E.6

Considere a função $f(x)=|x^2-4|$ . Para que valores de $x$ a função é crescente?

x\in]-2,0[\cup]2,+\infty[

x\in]0,+\infty[

\forall x\in\mathbb{R}

x\in[-2,2]

x\in]-\infty,-2[\cup]2,+\infty[

O Paulo e a Luísa vão a um teatro com quatro amigos. Qual a probabilidade do Paulo e da Luísa se sentarem juntos?

\dfrac{2\times4!}{6!}

4!/6!

1/3

2/3

4!\times2!

Numa caixa com 12 compartimentos, vão arrumar-se 10 copos: 7 amarelos, 1 verde, 1 azul e 1 roxo. Em cada compartimento cabe apenas um copo. De quantas maneiras diferentes se podem arrumar os 10 copos nessa caixa?

A_7^{12}\times3!

C_7^{12}\times A_3^5

A_7^{12}\times C_3^5

A_3^{35}

A_3^{35}\times C_{32}^{35}

De quantas maneiras podem ser escolhidos um presidente e um vice-presidente de entre um grupo de 20 pessoas?

A.190

B.40

C.400

D.380

E.480

10.

Uma empresa pretende oferecer 3 telefones aos seus funcionários, escolhendo aleatoriamente duas mulheres e um homem. Sabendo que na empresa trabalham 50 mulheres e 20 homens de quantas formas podem ser dados os telefones?

C_3^{70}-C_2^{50}

C_2^{50}-20

C_2^{50}

C_2^{50}\times20

C_3^{70}

11.

Uma linha do Triângulo de Pascal é constituída por todos os elementos da forma $C_p^{14}$ . Escolhido, ao acaso, um elemento dessa linha, qual a probabilidade de ele ser o número 14?

1/15

1/14

2/15

4/15

3/14

12.

No desenvolvimento do binómio $(x-a/x)^6$ , o coeficiente do termo $x^4$ é 12. Qual o valor de $a$ ?

\sqrt{15}

B.3

C.1

D.6

E.2

13.

Seja $U$ o espaço de resultados de uma experiência aleatória e $A$ e $B$ dois acontecimentos. Sabendo que $P(A)=30\%$ , $P(A\cup B)=70\%$ e que $A$ e $B$ são incompatíveis, qual o valor de $P(B)$ ?

A.21%

B.40%

C.60%

D.61%

E.100%

14.

Qual dos seguintes conjuntos descreve o domínio da função real de variável real $f(x)=\dfrac{\sqrt{18-2x^2}}{x^3}$ ?

[-3,3]

]-3,0[

]-\infty,-3]\cup[3,+\infty[

\mathbb{R}\setminus\{0\}

[-3,0[\cup]0,3]

15.

O contradomínio da função $f(x)=\frac12\cos(x)$ é:

[-2,2]

[-1/2,\,1/2]

]-1/2,1/2]

[-1,1]

\mathbb{R}

16.

Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$ , definida por $f(x)=e^{x+1}$ . Qual dos pontos pertence ao gráfico de $f$ ?

(-1,0)

(\ln 2,\;2e)

(\ln5,\;6)

(-2,\;e)

(0,1)

17.

O gráfico ao lado representa a função?

y=1-|x-1|

y=1-|x+1|

y=-1+|x+1|

y=-1+|x-1|

y=-1-|x-1|

18.

Indique a opção que representa todas as soluções da equação $4x^2-4x+1=0$ :

1/2

0

1/2

1/2-\sqrt2/2

1/2+\sqrt2/2

1

4

E.Não existem soluções válidas.

19.

De entre as seguintes funções, qual aquela que não é injectiva (onde não se encontra indicado $x\in\mathbb{R}$ ):

y=e^x

y=\ln(x),\ x>0

y=\operatorname{sen}(x)

y=\dfrac1x,\ x\neq0

y=x^3

20.

Considere as funções $f(x)=x^2-2$ e $g(x)=x+1$ . A composição $f\circ g(x)$ resulta na função:

y=x^2+2x-1

y=x^2-1

y=x^2-2x+1

y=x^2

y=x^2-x-1

21.

A soma de todos os números naturais ímpares menores que 100 é:

A.50

B.495

C.2450

D.2500

E.5500

22.

A soma dos 5 primeiros termos de uma progressão geométrica de razão $2/3$ é 211. Indique o $5^\circ$ termo da progressão:

A.16

B.20

C.15

D.105

E.48

23.

A progressão de termo geral $u_n=2^{-2n}$ é uma progressão:

A.Aritmética de razão 2

B.Aritmética de razão 1/4

C.Geométrica de razão 2

D.Geométrica de razão 1/4

E.Nenhuma das opções anteriores

24.

Seja $(u_n)$ uma sucessão definida por $u_n=2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$ . Quantos termos de ordem ímpar pertencem ao intervalo $\left[\dfrac{83}{41},\dfrac{67}{33}\right]$ ?

A.1

B.3

C.4

D.5

E.8

25.

Em relação à sucessão $(u_n)$ de termo geral $u_n=3+1/n$ pode afirmar-se que:

\lim_{n\to\infty}u_n=0

u_n

é uma sucessão divergente

u_n

é uma sucessão convergente

\lim_{n\to\infty}u_n=\infty

u_n

é uma sucessão decrescente

26.

Indique o limite, quando $n\to\infty$ da sucessão de termo geral $u_n=\dfrac{10n+1}{n/2-4}$ :

A.1/4

B.1/2

C.5

D.10

E.20

27.

Indique o limite, quando $n\to\infty$ da sucessão de termo geral $u_n=1+e^{-2n}$ :

-\infty

B.2

C.1

D.0

+\infty

28.

A figura representa parte do gráfico de uma função $f$ de domínio $\mathbb{R}$ , sendo $y=1$ a única assíntota do seu gráfico. Qual o valor de $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3}{f(x)}$ ?

-\infty

-3

-1

D.3

E.0

29.

Para que número real positivo $k$ é contínua a função definida por $f(x)=\begin{cases}\log_2(k+x),&x\geq0\\ \dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x},&x<0\end{cases}$ ?

A.0

B.1

C.2

D.3

E.4

30.

De uma função $h$ , de domínio $\mathbb{R}$ , sabe-se que $h$ é par e $\lim_{x\to+\infty}(h(x)-2x)=0$ . Qual o valor de $\lim_{x\to+\infty}h(x)$ ?

-\infty

-2

C.0

D.2

+\infty

31.

Qual o valor de $\lim_{x\to4}\dfrac{x^2-x-12}{16-x^2}$ ?

-7/8

-3/4

C.1

D.5/3

E.2

32.

De uma função sabe-se que $f(2)=1$ , $\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$ e $\lim_{x\to+\infty}f(x)=3^-$ . Então:

f(x)

não tem assímptotas.

f(x)

só tem assímptota horizontal.

C.As assímptotas são

y=3,x=2

D.As assimptotas são

y=3,x=2

f(x)

só tem assímptota vertical.

33.

O valor da derivada de $f(x)=\operatorname{sen}(\pi x)$ no ponto $x=1$ é:

A.0

-1

\pi

D.1

-\pi

34.

Indique a equação da recta tangente a $f(x)=xe^{1-x}$ no ponto $x=-1$ :

y=(1-x)e^{1-x}

y=-xe^{x-1}

y=2e^{2x}+3e^2

y=xe^2

y=e^2(2x+1)

35.

Qual das seguintes funções não possui tangente horizontal no ponto dado:

f(x)=-x^2-1,\ x=0

f(x)=x^2-1,\ x=1

f(x)=x^3-6x,\ x=\sqrt2

f(x)=\operatorname{sen}(x),\ x=\pi/2

f(x)=x^3/3-x^2,\ x=2

36.

A figura representa uma parte do gráfico de $f'$ . Seja $a\in\mathbb{R}^+$ , tal que $f'(a)=0$ . Qual das afirmações é verdadeira:

A.A função

f

tem um mínimo para

x=0

B.A função

f

tem um ponto de inflexão para

x=0

C.A função

f

não apresenta extremos.

D.A função

f

é crescente em

]0,a[

E.A função

f

é decrescente em

\mathbb{R}

37.

Seja $f(x)=-x^3+3x^2-4$ uma função de domínio $\mathbb{R}$ . Indique qual das afirmações está correcta:

f(x)

tem mínimo em

x=0

e máximo em

x=2

f(x)

tem dois máximos em

x=-4

x=3

f(x)

é crescente em todo o seu domínio.

f(x)

não possui extremos.

f(x)

é decrescente se

x<0

e crescente se

x>0

38.

Seja $f$ uma função definida em $]2,6[$ . A função tem primeira e segunda derivadas finitas e $f'(x)>0,\ f''(x)\leq0,\ \forall x\in]2,6[$ . Qual dos gráficos representa a função?

E.Nenhuma das opções anteriores.

39.

Seja $k$ um número real e $z=(k-i)(3-2i)$ um número complexo. Qual o valor de $k$ para que a parte real de $z$ seja 0?

A.3/2

-2/3

C.2/3

-3/2

E.0

40.

Uma das funções que cumprem a condição $f'(x)=4x^3+x^2$ é:

f(x)=x^4+x^3

f(x)=x^4+\frac13x^3

f(x)=x^3+\frac13x^2+3

f(x)=4x^4+x^3+4

f(x)=-x^4+\frac13x^3+4

Respostas

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1C
2D
3A
4D
5E
6A
7C
8B
9D
10D
11C
12—
13B
14E
15B
16B
17B
18A
19C
20A
21D
22A
23D
24D
25—
26E
27C
28B
29E
30E
31A
32—
33E
34E
35B
36D
37A
38D
39C
40B

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-2024/

Solução da questão 1

Resposta

x\in]-\infty,-4]\cup[8,+\infty[

Resolução

|x-2|\geq6

quer dizer

x-2\leq-6

x-2\geq6

Daí

x\leq-4

x\geq8

, isto é,

x\in\,]-\infty,-4]\cup[8,+\infty[

Resposta: C

Erro comum. Resolver como se fosse $|x-2|\leq6$ e ficar com o intervalo entre $-4$ e $8$ .

Solução da questão 2

Resposta

x=1\vee x=2

Resolução

O discriminante de

x^2-x+1

1-4<0

, logo

x^2-x+1>0

e o módulo sai:

x^2-x+1=2x-1

x^2-3x+2=0\iff(x-1)(x-2)=0\iff x=1\vee x=2

As duas dão

2x-1>0

, por isso servem.

Resposta: D

Erro comum. Aceitar as raízes do caso $x^2-x+1=-(2x-1)$ , $x=0$ e $x=-1$ , que dão $2x-1<0$ e não servem.

Solução da questão 3

Resposta

x\in]-\infty,0]

Resolução

|-x|=|x|

, logo a igualdade é

-x=|x|

|x|=-x

exactamente quando

x\leq0

: para

x>0

-x

é negativo e não pode igualar um módulo.

Resposta: A

Erro comum. Pensar que $-x$ é sempre negativo e escolher o conjunto vazio (E).

Solução da questão 4

Resposta

x\in[2,+\infty[

Resolução

f(x)-g(x)=0\iff|x-2|=x-2

Um número é igual ao seu módulo quando é não negativo:

x-2\geq0\iff x\geq2

Resposta: D

Erro comum. Procurar só valores isolados e esquecer que a igualdade vale em todo o intervalo $[2,+\infty[$ .

Solução da questão 5

Resposta

E.6

Resolução

|x-2|\leq5\iff-3\leq x\leq7

|y-2|=1\iff y=1\vee y=3

|x-y|

é máximo nas pontas:

|7-1|=6

|-3-3|=6

Resposta: E

Erro comum. Usar $x=7$ só com $y=3$ e obter $4$ (A), sem experimentar $y=1$ .

Solução da questão 6

Resposta

x\in]-2,0[\cup]2,+\infty[

Resolução

]-2,2[

x^2-4<0

f(x)=4-x^2

: cresce em

]-2,0[

e decresce em

]0,2[

Fora de

[-2,2]

f(x)=x^2-4

: decresce em

]-\infty,-2[

e cresce em

]2,+\infty[

Logo

f

é crescente em

]-2,0[\,\cup\,]2,+\infty[

Resposta: A

Erro comum. Olhar só para a parábola $x^2-4$ e esquecer que o módulo vira para cima a parte entre $-2$ e $2$ .

Solução da questão 7

Resposta

1/3

Resolução

Supõe-se que os seis se sentam numa fila de seis lugares: há

6!

ordens possíveis.

Juntos, o Paulo e a Luísa formam um bloco: o bloco e os 4 amigos dão

5!

ordens, e dentro do bloco há

2!

P=\dfrac{2\times5!}{6!}=\dfrac{2}{6}=\dfrac13

Resposta: C

Erro comum. Usar $4!$ em vez de $5!$ , esquecendo que o bloco conta como mais um lugar na fila (A).

Solução da questão 8

Resposta

C_7^{12}\times A_3^5

Resolução

Os 7 copos amarelos são iguais: só importa que compartimentos ocupam,

C_7^{12}

escolhas.

Os 3 copos de cores diferentes vão para 3 dos 5 compartimentos que sobram, e a ordem conta:

A_3^5

Total:

C_7^{12}\times A_3^5

Resposta: B

Erro comum. Usar $A_7^{12}$ para os amarelos, como se fossem todos diferentes (A ou C).

Solução da questão 9

Resposta

D.380

Resolução

Os cargos são diferentes, por isso a ordem conta: arranjos de 20, 2 a 2.

A_2^{20}=20\times19=380

Resposta: D

Erro comum. Usar combinações, $C_2^{20}=190$ (A), como se os dois cargos fossem iguais.

Solução da questão 10

Resposta

C_2^{50}\times20

Resolução

Escolhem-se 2 das 50 mulheres, de

C_2^{50}

maneiras, e 1 dos 20 homens, de 20 maneiras.

Pelo princípio da multiplicação:

C_2^{50}\times20

Resposta: D

Erro comum. Escolher 3 pessoas quaisquer de entre 70, $C_3^{70}$ (E), sem exigir duas mulheres e um homem.

Solução da questão 11

Resposta

2/15

Resolução

A linha tem os elementos

C_0^{14},C_1^{14},\dots,C_{14}^{14}

: são 15.

Valem 14 só

C_1^{14}

C_{13}^{14}

: 2 casos favoráveis.

P=\dfrac{2}{15}

Resposta: C

Erro comum. Contar só um elemento igual a 14 e responder $\frac1{15}$ (A), esquecendo a simetria $C_1^{14}=C_{13}^{14}$ .

Solução da questão 13

Resposta

B.40%

Resolução

Incompatíveis:

A\cap B=\emptyset

, logo

P(A\cup B)=P(A)+P(B)

70\%=30\%+P(B)\iff P(B)=40\%

Resposta: B

Erro comum. Somar $P(A)$ e $P(A\cup B)$ em vez de os subtrair, e chegar a $100\%$ (E).

Solução da questão 14

Resposta

[-3,0[\cup]0,3]

Resolução

A raiz exige

18-2x^2\geq0\iff x^2\leq9\iff-3\leq x\leq3

O denominador exige

x^3\neq0\iff x\neq0

Domínio:

[-3,0[\,\cup\,]0,3]

Resposta: E

Erro comum. Esquecer o denominador e responder $[-3,3]$ (A).

Solução da questão 15

Resposta

[-1/2,\,1/2]

Resolução

-1\leq\cos x\leq1

para todo o

x

, e o co-seno atinge

-1

1

Multiplicando por

\frac12

-\frac12\leq f(x)\leq\frac12

Resposta: B

Erro comum. Multiplicar por 2 em vez de dividir e responder $[-2,2]$ (A).

Solução da questão 16

Resposta

(\ln 2,\;2e)

Resolução

Um ponto

(a,b)

está no gráfico se

f(a)=b

f(\ln2)=e^{\ln2+1}=e^{\ln2}\cdot e=2e

: o ponto de B pertence.

Nos outros:

f(-1)=1

f(\ln5)=5e

f(-2)=e^{-1}

f(0)=e

Resposta: B

Erro comum. Ler $e^{x+1}$ como $e^x+1$ , o que daria $f(\ln5)=6$ (C).

Solução da questão 17

Resposta

y=1-|x+1|

Resolução

O gráfico é um V invertido com vértice em

(-1,1)

e zeros em

x=-2

x=0

y=1-|x+1|

tem máximo

1

x+1=0

, isto é,

x=-1

, e anula-se quando

|x+1|=1

x=-2

x=0

Resposta: B

Erro comum. Trocar $x+1$ por $x-1$ (A), o que põe o vértice em $x=1$ .

Solução da questão 18

Resposta

1/2

Resolução

4x^2-4x+1=(2x-1)^2

(2x-1)^2=0\iff x=\frac12

, uma raiz dupla.

Resposta: A

Erro comum. Errar o discriminante, que é $16-16=0$ , e procurar duas raízes diferentes.

Solução da questão 19

Resposta

y=\operatorname{sen}(x)

Resolução

Injectiva: objectos diferentes têm imagens diferentes.

\operatorname{sen}0=\operatorname{sen}\pi=0

: o seno repete valores, logo não é injectiva.

e^x

\ln x

x^3

são estritamente crescentes, e

\frac1a=\frac1b

só se

a=b

: todas essas são injectivas.

Resposta: C

Erro comum. Achar que $\frac1x$ não é injectiva por ter dois ramos; nunca repete um valor.

Solução da questão 20

Resposta

y=x^2+2x-1

Resolução

f\circ g(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1)^2-2

(x+1)^2-2=x^2+2x+1-2=x^2+2x-1

Resposta: A

Erro comum. Calcular $g\circ f(x)=x^2-1$ (B), pela ordem trocada.

Solução da questão 21

Resposta

D.2500

Resolução

Os ímpares menores que 100 são

1,3,\dots,99

: uma progressão aritmética de razão 2 com 50 termos.

S=\dfrac{1+99}{2}\times50=2500

Resposta: D

Erro comum. Contar 49 termos em vez de 50, o que dá $2450$ (C).

Solução da questão 22

Resposta

A.16

Resolução

S_5=u_1\cdot\dfrac{1-r^5}{1-r}=u_1\cdot\dfrac{1-\frac{32}{243}}{\frac13}=u_1\cdot\dfrac{211}{81}

u_1\cdot\dfrac{211}{81}=211\iff u_1=81

u_5=u_1r^4=81\cdot\dfrac{16}{81}=16

Resposta: A

Erro comum. Usar $r^5$ em vez de $r^4$ no cálculo do 5.º termo.

Solução da questão 23

Resposta

D.Geométrica de razão 1/4

Resolução

u_n=2^{-2n}=\left(\frac14\right)^n

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{-2n-2}}{2^{-2n}}=2^{-2}=\dfrac14

, constante: é geométrica de razão

\frac14

Resposta: D

Erro comum. Calcular a diferença $u_{n+1}-u_n$ , que não é constante, e procurar uma razão aritmética.

Solução da questão 24

Resposta

D.5

Resolução

Para

n

ímpar,

(-1)^{n+1}=1

u_n=2+\frac1n

\frac{83}{41}=2+\frac1{41}

\frac{67}{33}=2+\frac1{33}

, logo

2+\frac1{41}\leq2+\frac1n\leq2+\frac1{33}\iff33\leq n\leq41

Ímpares de 33 a 41: 33, 35, 37, 39 e 41, que são 5.

Resposta: D

Erro comum. Deixar de fora os extremos 33 e 41, que pertencem ao intervalo fechado, e contar 3 (B).

Solução da questão 25

Resposta

Nenhuma alternativa serve

As alternativas C e E estão ambas certas: $u_n=3+\frac1n$ converge para 3 e é decrescente.

Porquê

u_n=3+\frac1n\to3

: a sucessão é convergente, por isso C está certa e A, B e D estão erradas.

u_{n+1}-u_n=\frac1{n+1}-\frac1n=-\frac1{n(n+1)}<0

: a sucessão é decrescente, por isso E também está certa.

Há duas alternativas certas, C e E.

Solução da questão 26

Resposta

E.20

Resolução

Divide-se tudo por

n

u_n=\dfrac{10+\frac1n}{\frac12-\frac4n}

Quando

n\to\infty

\dfrac{10}{\frac12}=20

Resposta: E

Erro comum. Fazer $10\times\frac12=5$ (C) em vez de dividir por $\frac12$ .

Solução da questão 27

Resposta

C.1

Resolução

e^{-2n}=\dfrac{1}{e^{2n}}\to0

quando

n\to\infty

Logo

u_n\to1+0=1

Resposta: C

Erro comum. Pensar que $e^{-2n}\to1$ , por causa de $e^0=1$ , e responder 2 (B).

Solução da questão 28

Resposta

-3

Resolução

Na figura, quando

x\to-\infty

, o gráfico aproxima-se da recta a tracejado

y=-1

\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1

\lim_{x\to-\infty}\dfrac{3}{f(x)}=\dfrac{3}{-1}=-3

Resposta: B

O enunciado diz $y=1$ , mas a assimptota desenhada é $y=-1$ , e é dela que sai a resposta pretendida. Com $y=1$ o limite seria $3$ (D).

Erro comum. Responder com o limite de $f$ , $-1$ (C), em vez de calcular o de $\frac{3}{f(x)}$ .

Solução da questão 29

Resposta

E.4

Resolução

À esquerda de 0:

\lim_{x\to0^-}\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x}=2\lim_{x\to0^-}\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}=2

x=0

vale o primeiro ramo:

f(0)=\log_2k

, que é também o limite à direita.

Contínua em 0:

\log_2k=2\iff k=4

Resposta: E

Erro comum. Esquecer o factor 2 do limite notável, obter $\log_2k=1$ e responder $k=2$ (C).

Solução da questão 30

Resposta

+\infty

Resolução

\lim_{x\to+\infty}(h(x)-2x)=0

: para

x

grande,

h(x)

fica tão perto de

2x

quanto se queira.

Como

2x\to+\infty

, também

h(x)=(h(x)-2x)+2x\to0+\infty=+\infty

A paridade de

h

não muda isto: só diz o que se passa em

-\infty

Resposta: E

Erro comum. Confundir o declive da assimptota oblíqua, 2, com o limite da função (D).

Solução da questão 31

Resposta

-7/8

Resolução

x=4

dá

\frac00

. Factoriza-se:

x^2-x-12=(x-4)(x+3)

16-x^2=-(x-4)(x+4)

Simplifica-se:

\dfrac{(x-4)(x+3)}{-(x-4)(x+4)}=-\dfrac{x+3}{x+4}

No limite:

-\dfrac{4+3}{4+4}=-\dfrac78

Resposta: A

Erro comum. Escrever $16-x^2=(x-4)(x+4)$ , sem o sinal menos, e obter $\frac78$ .

Solução da questão 32

Resposta

Nenhuma alternativa serve

As alternativas C e D dizem o mesmo, e ambas estão certas: as assimptotas são $y=3$ e $x=2$ .

Porquê

\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty

: a recta

x=2

é assimptota vertical, mesmo com

f(2)=1

\lim_{x\to+\infty}f(x)=3

: a recta

y=3

é assimptota horizontal.

As assimptotas são

y=3

x=2

, que é o que dizem C e, com as mesmas palavras, D.

Solução da questão 33

Resposta

-\pi

Resolução

Pela regra da cadeia,

f'(x)=\pi\cos(\pi x)

f'(1)=\pi\cos\pi=\pi\cdot(-1)=-\pi

Resposta: E

Erro comum. Esquecer o factor $\pi$ da derivada interna e responder $-1$ (B).

Solução da questão 34

Resposta

y=e^2(2x+1)

Resolução

f(-1)=-1\cdot e^{2}=-e^2

: o ponto de tangência é

(-1,-e^2)

f'(x)=e^{1-x}-xe^{1-x}=(1-x)e^{1-x}

, e o declive é

f'(-1)=2e^2

y=-e^2+2e^2(x+1)=2e^2x+e^2=e^2(2x+1)

Resposta: E

Erro comum. Dar a derivada $(1-x)e^{1-x}$ (A) como se fosse a recta tangente.

Solução da questão 35

Resposta

f(x)=x^2-1,\ x=1

Resolução

Tangente horizontal em

x=a

quer dizer

f'(a)=0

-2\cdot0=0

; C:

3(\sqrt2)^2-6=0

; D:

\cos\frac\pi2=0

; E:

2^2-2\cdot2=0

f'(x)=2x

f'(1)=2\neq0

, logo a tangente não é horizontal.

Resposta: B

Erro comum. Calcular $f(1)=0$ em vez de $f'(1)$ e julgar que a tangente é horizontal.

Solução da questão 36

Resposta

D.A função

f

é crescente em

]0,a[

Resolução

A figura é o gráfico de

f'

: uma recta decrescente que corta o eixo

Ox

a

Para

x<a

f'(x)>0

, logo

f

é crescente em

]0,a[

; para

x>a

f'(x)<0

f

decresce, com máximo em

a

x=0

f'(0)>0

: não há extremo. E

f''

, o declive da recta, é sempre negativo: não há inflexão.

Resposta: D

Erro comum. Ler a figura como se fosse o gráfico de $f$ e concluir que $f$ é decrescente (E).

Solução da questão 37

Resposta

f(x)

tem mínimo em

x=0

e máximo em

x=2

Resolução

f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)

, que se anula em

x=0

x=2

f'<0

antes de 0,

f'>0

entre 0 e 2 e

f'<0

depois de 2.

Logo

f

tem mínimo em

x=0

e máximo em

x=2

Resposta: A

Erro comum. Trocar o mínimo pelo máximo por ler mal o sinal de $-3x^2+6x$ .

Solução da questão 38

Resposta

Resolução

f'(x)>0

f

é crescente em

]2,6[

, o que afasta A e C, que descem.

f''(x)\leq0

: a concavidade está voltada para baixo, e a subida é cada vez mais lenta.

B sobe cada vez mais depressa (concavidade para cima); D sobe cada vez mais devagar.

Resposta: D

Erro comum. Confundir $f''\leq0$ com $f$ decrescente e escolher C.

Solução da questão 39

Resposta

C.2/3

Resolução

z=(k-i)(3-2i)=3k-2ki-3i+2i^2=(3k-2)-(2k+3)i

Parte real nula:

3k-2=0\iff k=\frac23

Resposta: C

Erro comum. Esquecer que $i^2=-1$ e tomar a parte real como $3k+2$ , o que dá $-\frac23$ (B).

Solução da questão 40

Resposta

f(x)=x^4+\frac13x^3

Resolução

Procura-se uma primitiva de

4x^3+x^2

x^4+\frac13x^3+c

Confirma-se:

\left(x^4+\frac13x^3\right)'=4x^3+x^2

Resposta: B

Erro comum. Escolher A, cuja derivada é $4x^3+3x^2$ : o $x^3$ não é primitiva de $x^2$ .