Matematica II 2020

UEM
60 questões
120 minutos
60 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de admissão de Matemática-II – 2020

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro à lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, à esferográfica (de cor azul ou preta).

O número $\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{9^{1/2}}}$ corresponde a qual das seguintes alternativas:

\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{9/2}}

\dfrac{\sqrt{12}}{3}

C.2

\left(\dfrac{4}{3}\right)^{1/2}

\dfrac{4}{3}

Qual o valor de $\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2 \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 + 8 : 8^{1/3}$ ?

A.2,21

B.5,56

C.1,25

D.4,16

E.3,84

O Carlos e o Rui trabalham como animadores de festas. O Carlos cobra uma taxa inicial de 400 meticais e mais 80 meticais por cada hora adicional, enquanto o Rui cobra uma taxa inicial de 230 meticais e mais 140 meticais por hora adicional. Qual o tempo mínimo que deve durar a festa para ser mais vantajoso contratar o Carlos que o Rui?

A.7

B.4

C.2

D.6

E.9

Seja $x^2+y^2=60$ . Qual o valor positivo de $x+y$ sabendo que $xy=20$ :

A.5

B.10

C.15

D.20

E.25

Sendo $x-y\neq 0$ , a expressão $\dfrac{x^2-y^2}{x-y}$ é equivalente a:

x+y-2xy

x+y

x-y

x^2+y^2+2

2xy

Indique a opção que apresenta todas as soluções da equação $4x^2-4x+1=0$ :

A.1/2

B.0 e 1/2

\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}

D.1 e 4

E.Não existem soluções válidas.

Uma parede tem $9600\ cm^2$ de área. Sabendo que a largura da parede é uma vez e meia a sua altura, quais são, em metros, as dimensões da parede?

A.1,6 e 2,4

B.80 e 100

C.1920 e 2880

D.0,6 e 1,2

E.0,8 e 1,2

Seja $f(x)=x^2-2x-3$ . Qual dos seguintes gráficos representa esta função?

Um comerciante obtém, pela venda de garrafas de água, um lucro dado pela função $L(x)=-5x^2+100x-80$ , onde $x$ é o número de garrafas vendidas e $L(x)$ o lucro em meticais. Indique qual o lucro máximo obtido pelo comerciante na venda das garrafas de água e qual o número de garrafas que se devem vender para alcançar esse valor?

A.2317 e 148

B.1680 e 20

C.420 e 10

D.12 e 20

E.580 e 12

10.

Considere os seguintes conjuntos: $A=[-3,7]$ , $B=]-3,9]$ e $C=\{1,7\}$ . O conjunto $(A\cap B)\setminus C$ é dado por?

]-3,9]

]-3,7[\ \cup\ \{1,7\}

\emptyset

]-3,1[\ \cup\ ]1,7[

]-3,1[\ \cup\ ]1,7[\ \cup\ ]7,9[

11.

Num bairro 1800 pessoas lêem o Jornal Azul ou o Jornal Verde. Destas, 1200 pessoas lêem o Jornal Azul e 800 pessoas lêem o Jornal Verde. Quantas pessoas lêem o Jornal Azul, mas não o Jornal Verde?

A.600

B.400

C.200

D.800

E.1000

12.

Os valores de $x$ que satisfazem a inequação $(x+2)^2<-1+10x$ correspondem ao conjunto definido por:

1<x<5

2<x<5

2<x<10

x<5

1<x<2

13.

A solução da equação $x^2-9\geq 0$ é:

x\leq -3\ \vee\ x\geq 3

x\geq\pm 3

-3\leq x\leq 3

x\leq\pm 3

\emptyset

14.

Tendo em conta as medidas dos lados dos triângulos apresentadas na figura e considerando $\alpha_1=\alpha_2$ e $\beta_1=\beta_2$ , indique a medida do perímetro do triângulo DEF:

A.11,5

B.8

C.23/3

D.6,25

E.17/3

15.

Considere um triângulo isósceles ABC com base $|AB|=12$ e $|BC|=|AC|=10$ . Qual a área deste triângulo?

A.120

B.57

C.60

D.18

E.48

16.

Quais as soluções da equação $\cos^2(\theta)+\text{sen}(\theta)-1=0$ , em radianos, onde $\theta\in[0,2\pi[$ ?

\theta=0\ \vee\ \theta=1

\theta=\pi/4\ \vee\ \theta=\pi/3\ \vee\ \theta=\pi/2

\theta=0\ \vee\ \theta=\pi/2\ \vee\ \theta=\pi

\theta=0\ \vee\ \theta=\pi

\theta=0\ \vee\ \theta=\pi/2\ \vee\ \theta=\pi\ \vee\ \theta=3\pi/2

17.

Simplificando a expressão $\cos(7680^\circ)$ , obtemos:

A.0

-1/2

\sqrt{3}/2

D.1

-\sqrt{2}/2

18.

A negação da afirmação “Hoje é Sábado e amanhã não irá chover” é:

A.Hoje é Sábado ou amanhã irá chover.

B.Hoje não é Sábado e amanhã irá chover.

C.Hoje não é Sábado ou amanhã irá chover.

D.Hoje não é Sábado ou amanhã não irá chover.

E.Hoje é Sábado e amanhã não irá chover.

19.

Considere a afirmação “Todos os alunos da professora Paula tiveram positiva no exame de Matemática.”. Qual das seguintes opções é necessariamente verdadeira?

A.Se a Eduarda não é aluna da professora Paula, então ela não teve positiva no exame de Matemática.

B.Se o Carlos não teve positiva no exame de Matemática, então ele não é aluno da professora Paula.

C.Se a Márcia teve positiva no exame de Matemática, então ela é aluna da professora Paula.

D.Se a Luísa não teve positiva no exame de Matemática, então ela é aluna da professora Paula.

E.Se o Leonel teve positiva e Justino teve negativa no exame de Matemática, então eles têm professores diferentes.

20.

Racionalize o denominador da expressão $\dfrac{x}{\sqrt{x+9}-3}$ e simplifique-a. O resultado será:

\sqrt{x}

x/(\sqrt{x+9})

\sqrt{x+9}+3

(x-3)/(x-3)

E.Nenhum dos anteriores.

21.

Quais os valores que satisfazem a inequação $\sqrt{2x^2+x}>1$ :

x\in\,]-\infty,1[\,\cup\,]4,\infty[

x\in\,]-\infty,-2[\,\cup\,]-2,-1[

x\in\,]-\infty,-1[\,\cup\,]1/2,\infty[

x\in\,]-2,1[

x\in\,]-\infty,-2[\,\cup\,]-2,1[\,\cup\,]1,\infty[

22.

Considere o sistema de equações lineares $\begin{cases}3x+2y-z=0\\ x+3y+z=1\\ 2x+2y-2z=2\end{cases}$ Qual é solução do sistema?

(x,y,z)=(-1,2,3)

(x,y,z)=(0,0,0)

(x,y,z)=(-1,1,-1)

D.Não existem soluções.

(x,y,z)=(4,-5,2)

23.

Sabendo que uma das raízes da equação $x^3+x^2-4x=4$ é $x=-2$ , qual será o valor do produto das outras raízes?

A.3

B.-2

\sqrt{3}

D.1

E.Nenhum dos anteriores.

24.

Resolva a inequação $(1/2)^{3x-x^2}>1$ . Qual a solução?

x\in\,]-\infty,0[

x\in\,]-\infty,0[\,\cup\,]3,\infty[

x\in\,]0,3[

x\in\,]-3,3[

x\in\,]-\infty,-3[\,\cup\,]0,\infty[

25.

Considere a proposição $a^{2x+3}>a^8$ na qual $x$ é uma variável real e $a$ é uma constante real positiva. A proposição é verdadeira se:

x=2;\ a>1

x=-2;\ a<1

x=3;\ a<1

x=-3;\ a>1

x=4;\ a<1

26.

Qual das seguintes opções representa a solução da equação $3^{2x}=3^x+12$ ?

x=0

x=\log_3 4

x=\log_3 12

x=\log_3 3

E.Nenhuma das anteriores.

27.

Para que valores de $x$ é válida a inequação $25^{2x+1}>\sqrt{5^{6+x}}$ ?

x\in\mathbb{R}

x<1/9

x>2/7

x<-6

E.Nenhum dos anteriores.

28.

Que valores de $x$ representam a solução da equação $\log_5(x+1)+\log_5(2x+3)=0$ ?

x\in\{-3;-2\}

x\in\{-3/2;-1\}

x=-3/2

x\in[-2,-1]

x=-1/2

29.

Indique o conjunto que representa as soluções da inequação $\log_{1/2}(3x)>\log_{1/2}(2x+5)$ .

x\in\,]0,5[

x\in\,]-5/2,0[

x\in\,]-\infty,5[

x\in[2,5]

x\in\,]2,3[

30.

A equação $\log_3 x=1+\log_x 9$ tem duas raízes reais. O seu produto é:

A.0

B.1/3

C.9

D.6

E.3

31.

Qual a solução da equação $\sqrt{x^2-4}\cdot\log_3(x+5)\leq 0$ ?

\emptyset

x\in\mathbb{R}

x\in\,]-5,-4]

x\in\,]-\infty,-4]

x=\pm 2

32.

Qual das seguintes expressões descreve a equação da recta $r$ que é perpendicular à recta $t$ : $y=2x+2$ , sabendo que as rectas se intersectam no ponto $(-6/5;-2/5)$ ?

y=-\dfrac{x}{2}-1

y=4x-3

y=2

y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}

y=-x

33.

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções lineares, com coeficientes angulares $k_f$ e $k_g$ , respectivamente. Considere os pontos $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$ tal que $x_1<x_2$ . Se $f(x_1)<g(x_1)$ e $f(x_2)=g(x_2)$ então:

k_f=k_g

k_f<k_g

k_f>k_g

D.Nada se conclui.

k_g=2k_f

34.

Considere a circunferência de centro $(-3,-2)$ e raio 4. Qual dos seguintes pontos pertence à circunferência?

(-3,-2)

(1,1)

(0,3)

(1,0)

(-1,-3/2)

35.

Seja $C$ a circunferência $C:(x-1)^2+(y+2)^2=3$ e $r$ a recta $r:2x-6y+3=0$ . $C$ e $r$ intersectam-se:

A.Em 1 ponto.

B.Num número infinito de pontos.

C.Em 2 pontos.

D.Em 0 pontos.

E.Em nenhuma das alternativas anteriores.

36.

Se $x\in[0,\pi]$ , determine o conjunto no qual $2\cos(2x)-1\geq 0$ .

x\in[0,\pi/2[\,\cup\,[2\pi/3,\pi]

x=\pi/6

x=\pi/3

x\in[0,\pi]

x\in[0,\pi/6]

x=k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

37.

O período da função $y=2\,\text{sen}\left(\dfrac{3}{2}x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ é:

3\pi/4

2\pi/3

3\pi/2

4\pi/3

7\pi/6

38.

As raízes da equação $\tan(x)\cdot\cot(x)+\text{sen}(4x)=1$ , definem-se pela fórmula (onde $n\in\mathbb{Z}$ ):

\dfrac{\pi}{4}n

\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi n

\dfrac{\pi}{2}n

\pi n

\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}n

39.

Observe a seguinte figura. Quanto medem o ângulo $\theta$ e o segmento $\overline{AC}$ , sabendo que $|CD|=\sqrt{12}$ ?

\theta=45^\circ

|AC|=8

\theta=30^\circ

|AC|=6

\theta=15^\circ

|AC|=6

\theta=30^\circ

|AC|=8

\theta=15^\circ

|AC|=8

40.

Para que valores de $x$ é válida a equação $|x+\pi|=-(x+\pi)$ ?

x>0

x=-\pi

x>\pi

x=0

x<-\pi

41.

Qual o conjunto $S$ , das soluções da inequação $|2x+1|+4-3x>0$ ?

S=\,]-\infty,5[

S=[0,2]

S=\,]3,\infty[

\emptyset

S=\{0,1,7\}

42.

Considerando todos os divisores do número 60, determine a probabilidade de se escolher, ao acaso um número primo.

A.0,25

B.0,3

C.1,2

D.0,6

E.0,75

43.

Para o registo num site é necessária uma palavra passe formada por 2 algarismos e 2 letras (maiúsculas e minúsculas). Considerando que na palavra passe as letras maiúsculas e minúsculas são diferentes, quantas palavras passe podem existir?

10^2\,26^2\,(4!/2!)

10^2\,26^2

10^2\,52\,(4!/2!)

10^2\,52^2

10^2\,52^2\,(4!/(2!\,2!))

44.

Numa equipa de futebol de salão composta por 12 jogadores, de quantas formas diferentes pode o treinador escolher os cinco jogadores que participarão num jogo?

A.60

B.792

C.453

D.826

E.144

45.

Qual é o quarto termo do desenvolvimento binomial de $(a+b)^n$ , sendo $n=5$ ?

10a^3b^2

10a^2b^3

5a^2b^2

15a^2b^2

15a^3b^2

46.

Indique a função inversa de $f(x)=(2x-5)/(-3x+11)$ .

y=\dfrac{-3x+11}{2x-5}

y=\dfrac{-2x+5}{3x+11}

y=\dfrac{11x+5}{3x+2}

y=\dfrac{2x+11}{-3x-5}

y=\dfrac{2-5x}{-3+11x}

47.

Observe o gráfico. Qual das expressões corresponde à expressão da função representada no gráfico?

y=\dfrac{-2x+1}{x+2}

y=\dfrac{2x+1}{x+2}

y=\dfrac{-2x+1}{x-2}

y=\dfrac{-2x-1}{x+1}

y=\dfrac{2x+1}{x-2}

48.

A sequência $a_1,a_2,a_3,\ldots$ em que $a_k=-(0{,}5)^{-k}$ , com $k\in\mathbb{N}$ é:

A.Progressão aritmética crescente.

B.Progressão geométrica crescente.

C.Progressão geométrica decrescente.

D.Progressão geométrica que não é crescente nem decrescente.

E.Sequência que não é progressão aritmética nem geométrica.

49.

Na progressão $1,3,9,27,81,\ldots$ a soma dos $n$ primeiros termos é $364$ . Qual o $n$ ?

A.6

B.72

C.4

D.16

E.7

50.

Qual o limite da sucessão de termo geral $u_n=1+e^{-2n}$ , $n\in\mathbb{N}$ ?

-\infty

B.2

C.1

D.2

\infty

51.

Indique qual é o $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{3n}\right)^{2n}$ .

2/3

e^{2/3}

\pi

\infty

E.1

52.

O $\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-3x}{x^2-5x+6}$ é:

A.2

\infty

C.Não existe

D.6

E.3

53.

Qual o valor de $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x-\sqrt{2x}}$ ?

A.4

\infty

C.2

D.-2

E.0

54.

Na função $f(x)=\begin{cases}2, & x\leq-1\\ ax+b, & -1<x<3\\ -2, & x\geq 3\end{cases}$ , que valores devem assumir $a$ e $b$ para que $f(x)$ seja contínua?

a=2,\ b=-1

a=1,\ b=1

a=0,\ b=2

a=-1,\ b=1

a=-2,\ b=3

55.

Indique a derivada de $f(x)=2\sqrt{x}+(3/x)$ .

\sqrt{x}-\dfrac{3}{x}

\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{3}{x^2}

\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{3}{x^2}

\dfrac{2}{\sqrt{x}}-\dfrac{3}{x^2}

2\sqrt{x^3}-\dfrac{3}{x^2}

56.

Seja $f$ uma função real de variável real tal que $f(x)=f'(x)$ , para todo e qualquer número real. Qual das seguintes expressões pode definir a função $f$ ?

3x^2

\text{sen}(x)

e^{5x}

2e^x

\ln(x)

57.

Qual das seguintes funções não possui tangente horizontal no ponto dado?

f(x)=-x^2-1,\ x=0

f(x)=x^2-1,\ x=1

f(x)=x^3-6x,\ x=\sqrt{2}

f(x)=\text{sen}(x),\ x=\pi/2

f(x)=x^3/3-x^2,\ x=2

58.

Seja $f'(x)=\sqrt{x}$ . A primitiva de $f'(x)$ é dada por:

\dfrac{2}{3}x^{3/2}

\dfrac{3}{x^2}

\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

\dfrac{2}{\sqrt{x^3}}

\sqrt{x^3}

59.

Sejam $f$ , $g$ e $h$ três funções deriváveis em $\mathbb{R}$ tais que $h'(x)-(f'\times g)(x)=(f\times g')(x)$ , $f(2)=g(2)=3$ e $h(2)=(f(2)-1)^2$ . Qual das seguintes afirmações é a correcta?

h(x)=(f\times g)(x)+5

h(x)=(f/g)(x)+3

h(x)=(f/g)(x)-3

h(x)=(f\times g)(x)-5

h(x)=(f\times g)(x)-1

60.

Considere a igualdade $x+(4+y)i=(6-x)+2yi$ , em que $x$ e $y$ são números reais e $i$ é a unidade imaginária. O módulo do número complexo $z=x+iy$ , é um número:

A.Maior que 10.

B.Quadrado perfeito.

C.Irracional.

D.Racional não inteiro.

E.Primo.

Respostas

Matematica II 2020 · UEM · admitela.com

1C
2D
3B
4B
5B
6A
7E
8C
9C
10D
11E
12A
13A
14C
15E
16C
17B
18C
19B
20C
21C
22C
23B
24B
25B
26B
27C
28E
29A
30E
31—
32A
33C
34—
35D
36—
37D
38E
39B
40—
41A
42A
43E
44B
45B
46C
47A
48C
49A
50C
51B
52E
53C
54D
55B
56D
57B
58A
59D
60E

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-ii-2020/

Solução da questão 1

Resposta

C.2

Resolução

9^{1/2}=\sqrt9=3

, logo

\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{9^{1/2}}}=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt3}

\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt3}=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=\sqrt4=2

Resposta: C

Erro comum. Ler $\sqrt{9^{1/2}}$ como $\sqrt{9/2}$ (A), ou como $\sqrt9=3$ (B), e perder uma das raízes.

Solução da questão 2

Resposta

D.4,16

Resolução

\left(-\dfrac35\right)^2\cdot\left(\dfrac23\right)^2=\dfrac{9}{25}\cdot\dfrac49=\dfrac{4}{25}=0{,}16

8^{1/3}=\sqrt[3]8=2

, logo

8:8^{1/3}=8:2=4

0{,}16+4=4{,}16

Resposta: D

Erro comum. Tomar $8^{1/3}$ como $\dfrac83$ em vez de $\sqrt[3]8=2$ .

Solução da questão 3

Resposta

B.4

Resolução

Assume-se que a taxa inicial cobre a primeira hora: numa festa de

t

horas há

t-1

horas adicionais.

O Carlos é mais barato se

400+80(t-1)<230+140(t-1)

, ou seja

60(t-1)>170

t-1>2{,}83

O menor número inteiro de horas é

t=4

: o Carlos cobra

640

e o Rui

650

(com

3

horas,

560

contra

510

Resposta: B

Erro comum. Escolher $2$ (C) sem verificar: com $2$ horas o Carlos cobra $480$ e o Rui só $370$ .

Solução da questão 4

Resposta

B.10

Resolução

(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=60+2\cdot20=100

x+y=\pm10

; o valor positivo é

10

Resposta: B

Erro comum. Esquecer o termo $2xy$ e ficar com $(x+y)^2=60$ .

Solução da questão 5

Resposta

x+y

Resolução

x^2-y^2=(x-y)(x+y)

Como

x-y\neq0

, simplifica-se:

\dfrac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y

Resposta: B

Erro comum. Confundir $x^2-y^2$ com $(x-y)^2$ e responder $x-y$ (C).

Solução da questão 6

Resposta

A.1/2

Resolução

4x^2-4x+1=(2x-1)^2

(2x-1)^2=0\iff x=\dfrac12

, raiz dupla (

\Delta=16-16=0

Resposta: A

Erro comum. Pensar que $\Delta=0$ quer dizer «sem soluções» (E).

Solução da questão 7

Resposta

E.0,8 e 1,2

Resolução

9600\ \text{cm}^2=0{,}96\ \text{m}^2

, porque

1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2

Com altura

h

e largura

1{,}5h

1{,}5h^2=0{,}96

, logo

h^2=0{,}64

h=0{,}8

Largura:

1{,}5\cdot0{,}8=1{,}2

Resposta: E

Erro comum. Converter a área dividindo por $100$ : $1\ \text{m}=100\ \text{cm}$ , mas $1\ \text{m}^2=10\,000\ \text{cm}^2$ .

Solução da questão 8

Resposta

Resolução

O coeficiente de

x^2

é positivo: concavidade para cima, o que exclui B e E.

x^2-2x-3=(x+1)(x-3)

: zeros

-1

3

; e

f(0)=-3

O vértice é

(1,f(1))=(1,-4)

. A tem vértice

(1,1)

e D tem zeros

0

4

; só C serve.

Resposta: C

Erro comum. Escolher D, que também tem mínimo $-4$ , mas tem zeros $0$ e $4$ : é o gráfico de $x^2-4x$ .

Solução da questão 9

Resposta

C.420 e 10

Resolução

a=-5<0

: o máximo está no vértice, em

x=-\dfrac{100}{2\cdot(-5)}=10

L(10)=-500+1000-80=420

meticais.

Lucro máximo de

420

meticais, com

10

garrafas.

Resposta: C

Erro comum. Errar o sinal na abcissa do vértice, ou trocar a ordem dos dois valores pedidos.

Solução da questão 10

Resposta

]-3,1[\ \cup\ ]1,7[

Resolução

A\cap B=\,]-3,7]

: o

-3

não está em

B

e de

B

só ficam os pontos até

7

Retira-se

C=\{1,7\}

: o

1

abre um buraco e o

7

sai do extremo.

(A\cap B)\setminus C=\,]-3,1[\,\cup\,]1,7[

Resposta: D

Erro comum. Fazer a união $A\cup B$ em vez da intersecção e chegar à E.

Solução da questão 11

Resposta

E.1000

Resolução

n(A\cap V)=n(A)+n(V)-n(A\cup V)=1200+800-1800=200

Só o Azul:

1200-200=1000

Resposta: E

Erro comum. Responder $200$ (C), que é o número de pessoas que lêem os dois jornais.

Solução da questão 12

Resposta

1<x<5

Resolução

x^2+4x+4<-1+10x\iff x^2-6x+5<0

x^2-6x+5=(x-1)(x-5)

é negativo entre as raízes.

1<x<5

Resposta: A

Erro comum. Ficar com a parte de fora das raízes, que é a solução de $x^2-6x+5>0$ .

Solução da questão 13

Resposta

x\leq -3\ \vee\ x\geq 3

Resolução

x^2-9=(x-3)(x+3)

, com zeros

-3

3

A parábola abre para cima: é

\geq0

fora das raízes, incluindo-as.

x\leq-3\ \vee\ x\geq3

Resposta: A

Erro comum. Responder C, que é a solução de $x^2-9\leq0$ , ou escrever $x\geq\pm3$ (B), que não descreve o conjunto.

Solução da questão 14

Resposta

C.23/3

Resolução

Dois ângulos iguais: os triângulos são semelhantes, com

A\leftrightarrow D

B\leftrightarrow F

C\leftrightarrow E

AC=3

corresponde a

DE=2

: a razão é

k=\dfrac23

Perímetro de

ABC

3+4+4{,}5=11{,}5

; de

DEF

\dfrac23\cdot11{,}5=\dfrac{23}{3}

Resposta: C

Erro comum. Dar o perímetro de $ABC$ , $11{,}5$ (A), sem aplicar a razão de semelhança.

Solução da questão 15

Resposta

E.48

Resolução

A altura relativa à base cai no ponto médio de

AB

e divide-a em

6+6

h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8

Área

=\dfrac{12\cdot8}{2}=48

Resposta: E

Erro comum. Usar o lado $10$ como altura e obter $\dfrac{12\cdot10}{2}=60$ (C).

Solução da questão 16

Resposta

\theta=0\ \vee\ \theta=\pi/2\ \vee\ \theta=\pi

Resolução

\cos^2\theta=1-\text{sen}^2\theta

, e a equação fica

\text{sen}\,\theta-\text{sen}^2\theta=0

\text{sen}\,\theta\,(1-\text{sen}\,\theta)=0

\text{sen}\,\theta=0

\text{sen}\,\theta=1

[0,2\pi[

\theta=0

\theta=\pi

\theta=\dfrac{\pi}{2}

Resposta: C

Erro comum. Incluir $\dfrac{3\pi}{2}$ (E), onde $\text{sen}\,\theta=-1$ .

Solução da questão 17

Resposta

-1/2

Resolução

7680=21\cdot360+120

, logo

\cos7680^\circ=\cos120^\circ

\cos120^\circ=-\cos60^\circ=-\dfrac12

Resposta: B

Erro comum. Errar o resto da divisão por $360$ , ou esquecer que o cosseno é negativo no 2.º quadrante.

Solução da questão 18

Resposta

C.Hoje não é Sábado ou amanhã irá chover.

Resolução

Com

p

: «Hoje é Sábado» e

q

: «amanhã irá chover», a afirmação é

p\wedge\neg q

Pelas leis de De Morgan,

\neg(p\wedge\neg q)\equiv\neg p\vee q

«Hoje não é Sábado ou amanhã irá chover.»

Resposta: C

Erro comum. Trocar o «e» por «ou» sem negar a segunda parte (D).

Solução da questão 19

Resposta

B.Se o Carlos não teve positiva no exame de Matemática, então ele não é aluno da professora Paula.

Resolução

A afirmação diz: «se é aluno da professora Paula, então teve positiva».

Uma implicação equivale à sua contra-recíproca: «se não teve positiva, então não é aluno da professora Paula».

Resposta: B

Erro comum. Escolher C, que é a recíproca: ter positiva não prova que se é aluno da Paula.

Solução da questão 20

Resposta

\sqrt{x+9}+3

Resolução

Multiplica-se o numerador e o denominador por

\sqrt{x+9}+3

Denominador:

(\sqrt{x+9})^2-3^2=x+9-9=x

\dfrac{x(\sqrt{x+9}+3)}{x}=\sqrt{x+9}+3

Resposta: C

Erro comum. Escrever $(\sqrt{x+9})^2=x$ em vez de $x+9$ .

Solução da questão 21

Resposta

x\in\,]-\infty,-1[\,\cup\,]1/2,\infty[

Resolução

Os dois membros são positivos; elevando ao quadrado,

2x^2+x>1

2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)>0

fora das raízes

-1

\dfrac12

Aí

2x^2+x>1>0

, por isso a raiz existe:

x\in\,]-\infty,-1[\,\cup\,]\tfrac12,\infty[

Resposta: C

Erro comum. Ficar com a parte entre as raízes, que é a solução de $2x^2+x<1$ .

Solução da questão 22

Resposta

(x,y,z)=(-1,1,-1)

Resolução

A 3.ª equação dividida por

2

dá

x+y-z=1

; subtraindo-a da 1.ª,

2x+y=-1

Somando a 1.ª e a 2.ª,

4x+5y=1

. Com

y=-1-2x

4x-5-10x=1

, logo

x=-1

y=1

z=3x+2y=-3+2=-1

. Confere na 2.ª:

-1+3-1=1

Resposta: C

Erro comum. Testar só a 1.ª equação: $(4,-5,2)$ também a verifica, mas falha a 2.ª ( $4-15+2=-9$ ).

Solução da questão 23

Resposta

B.-2

Resolução

x^3+x^2-4x-4=x^2(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^2-4)

As raízes são

-1

2

-2

; as outras duas são

-1

2

Produto:

(-1)\cdot2=-2

Resposta: B

Erro comum. Dar o produto das três raízes, $4$ , em vez do das outras duas.

Solução da questão 24

Resposta

x\in\,]-\infty,0[\,\cup\,]3,\infty[

Resolução

1=\left(\tfrac12\right)^0

e a base

\tfrac12

é menor do que

1

: a desigualdade inverte-se,

3x-x^2<0

x(3-x)<0

para

x<0

x>3

Resposta: B

Erro comum. Não inverter a desigualdade e obter $]0,3[$ (C).

Solução da questão 25

Resposta

x=-2;\ a<1

Resolução

a>1

2x+3>8

, ou seja

x>\tfrac52

. Se

0<a<1

2x+3<8

, ou seja

x<\tfrac52

A e D têm

a>1

com

x<\tfrac52

; C e E têm

a<1

com

x>\tfrac52

: falham.

a<1

x=-2<\tfrac52

, por isso a proposição é verdadeira.

Resposta: B

Erro comum. Esquecer que a desigualdade se inverte quando $0<a<1$ .

Solução da questão 26

Resposta

x=\log_3 4

Resolução

Com

t=3^x>0

t^2=t+12

, ou seja

t^2-t-12=0

(t-4)(t+3)=0

; só

t=4

serve, porque

3^x>0

3^x=4

, logo

x=\log_3 4

Resposta: B

Erro comum. Aplicar logaritmos a $3^x+12$ como se fosse um produto e chegar a $\log_3 12$ (C).

Solução da questão 27

Resposta

x>2/7

Resolução

25^{2x+1}=5^{4x+2}

\sqrt{5^{6+x}}=5^{\frac{6+x}{2}}

A base

5

é maior do que

1

4x+2>\dfrac{6+x}{2}\iff8x+4>6+x\iff7x>2

x>\dfrac27

Resposta: C

Erro comum. Esquecer que $25=5^2$ e comparar directamente $2x+1$ com $\dfrac{6+x}{2}$ .

Solução da questão 28

Resposta

x=-1/2

Resolução

Domínio:

x+1>0

2x+3>0

, ou seja

x>-1

\log_5[(x+1)(2x+3)]=0

, logo

(x+1)(2x+3)=1

2x^2+5x+2=0

x=-2

x=-\dfrac12

; só

-\dfrac12

está no domínio.

Resposta: E

Erro comum. Aceitar $x=-2$ , onde $\log_5(x+1)$ não existe.

Solução da questão 29

Resposta

x\in\,]0,5[

Resolução

Domínio:

3x>0

2x+5>0

, ou seja

x>0

A base

\tfrac12

é menor do que

1

3x<2x+5

, logo

x<5

x\in\,]0,5[

Resposta: A

Erro comum. Esquecer o domínio e escolher $]-\infty,5[$ (C).

Solução da questão 30

Resposta

E.3

Resolução

Com

t=\log_3x

\log_x9=\dfrac{\log_39}{\log_3x}=\dfrac2t

t=1+\dfrac2t\iff t^2-t-2=0\iff t=2

t=-1

x=9

x=\dfrac13

; o produto é

9\cdot\dfrac13=3

Resposta: E

Erro comum. Multiplicar os valores de $t$ ( $-2$ ) em vez dos valores de $x$ .

Solução da questão 31

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A solução é $]-5,-4]\cup\{-2,2\}$ : a C esquece os pontos onde a raiz se anula, $x=\pm2$ , e a E fica só com eles.

Porquê

Domínio:

x^2-4\geq0

x+5>0

, ou seja

x\in\,]-5,-2]\cup[2,\infty[

O produto é

0

onde a raiz se anula:

x=-2

x=2

, ambos no domínio.

Nos outros pontos a raiz é positiva, e o produto é

\leq0

quando

\log_3(x+5)\leq0

0<x+5\leq1

, ou seja

-5<x\leq-4

Solução:

]-5,-4]\cup\{-2,2\}

. Nenhuma alternativa a dá inteira.

Solução da questão 32

Resposta

y=-\dfrac{x}{2}-1

Resolução

t

tem declive

2

; a perpendicular tem declive

-\dfrac12

y+\dfrac25=-\dfrac12\left(x+\dfrac65\right)

, ou seja

y=-\dfrac x2-\dfrac35-\dfrac25

y=-\dfrac x2-1

Resposta: A

Erro comum. Usar o declive $\dfrac12$ , sem trocar o sinal, e chegar à D.

Solução da questão 33

Resposta

k_f>k_g

Resolução

d(x)=f(x)-g(x)

é linear, com declive

k_f-k_g

d(x_1)<0

d(x_2)=0

com

x_1<x_2

d

é crescente.

k_f-k_g>0

, ou seja

k_f>k_g

Resposta: C

Erro comum. Pensar que, por começar abaixo de $g$ , $f$ tem o declive menor (B).

Solução da questão 34

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Nenhum dos cinco pontos está à distância $4$ do centro $(-3,-2)$ : os quadrados das distâncias são $0$ , $25$ , $34$ , $20$ e $\frac{17}{4}$ , e nenhum é $16$ .

Porquê

A circunferência é

(x+3)^2+(y+2)^2=16

0

(é o centro); B:

16+9=25

; C:

9+25=34

16+4=20

; E:

4+\frac14=\frac{17}{4}

Nenhum dá

16

: nenhum dos pontos pertence à circunferência.

Solução da questão 35

Resposta

D.Em 0 pontos.

Resolução

C

tem centro

(1,-2)

e raio

\sqrt3\approx1{,}73

Distância do centro à recta:

d=\dfrac{|2\cdot1-6\cdot(-2)+3|}{\sqrt{4+36}}=\dfrac{17}{\sqrt{40}}\approx2{,}69

d>r

: a recta não toca a circunferência.

Resposta: D

Erro comum. Comparar $d$ com $r^2=3$ em vez de $r=\sqrt3$ e concluir que se cortam em dois pontos (C).

Solução da questão 36

Resposta

Nenhuma alternativa serve

O conjunto é $[0,\pi/6]\cup[5\pi/6,\pi]$ : a D esquece o intervalo $[5\pi/6,\pi]$ , onde também $\cos(2x)\geq\frac12$ (em $x=\pi$ , por exemplo, $\cos2\pi=1$ ).

Porquê

2\cos(2x)-1\geq0\iff\cos(2x)\geq\dfrac12

, com

2x\in[0,2\pi]

[0,2\pi]

\cos t\geq\dfrac12

para

t\in[0,\frac\pi3]\cup[\frac{5\pi}3,2\pi]

Dividindo por

2

x\in[0,\frac\pi6]\cup[\frac{5\pi}6,\pi]

A D só tem a primeira parte; nenhuma alternativa dá o conjunto inteiro.

Solução da questão 37

Resposta

4\pi/3

Resolução

y=A\,\text{sen}(bx+c)

o período é

T=\dfrac{2\pi}{|b|}

; o

2

e o

-\dfrac\pi6

não o alteram.

T=\dfrac{2\pi}{3/2}=\dfrac{4\pi}{3}

Resposta: D

Erro comum. Dividir $2\pi$ por $3$ e esquecer o $2$ do denominador, o que dá $\dfrac{2\pi}{3}$ (B).

Solução da questão 38

Resposta

\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{2}n

Resolução

Onde

\tan x

\cot x

existem,

\tan x\cdot\cot x=1

, e fica

\text{sen}(4x)=0

, ou seja

x=\dfrac{\pi}{4}n

\tan x

\cot x

só existem se

x

não for múltiplo de

\dfrac\pi2

Restam os múltiplos ímpares de

\dfrac\pi4

x=\dfrac\pi4+\dfrac\pi2n

Resposta: E

Erro comum. Esquecer o domínio e responder $\dfrac\pi4n$ (A), que inclui $x=0$ , onde $\cot x$ não existe.

Solução da questão 39

Resposta

\theta=30^\circ

|AC|=6

Resolução

Na figura,

CD

é perpendicular a

AC

. No triângulo

BCD

\tan60^\circ=\dfrac{CD}{BC}

, logo

BC=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt3}=2

AC=AB+BC=4+2=6

\tan\theta=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{2\sqrt3}{6}=\dfrac{\sqrt3}{3}

, logo

\theta=30^\circ

Resposta: B

Erro comum. Usar $\text{sen}\,60^\circ=\dfrac{CD}{BC}$ , como se $BC$ fosse a hipotenusa; a hipotenusa de $BCD$ é $BD$ .

Solução da questão 40

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A solução é $x\leq-\pi$ : a E esquece $x=-\pi$ , onde os dois membros valem $0$ , e a B fica só com esse ponto.

Porquê

|a|=-a

exactamente quando

a\leq0

Com

a=x+\pi

x+\pi\leq0

, ou seja

x\leq-\pi

A E perde

x=-\pi

e a B só tem esse valor: nenhuma alternativa dá

x\leq-\pi

Solução da questão 41

Resposta

S=\,]-\infty,5[

Resolução

x\geq-\tfrac12

2x+1+4-3x>0\iff x<5

, o que dá

[-\tfrac12,5[

x<-\tfrac12

-2x-1+4-3x>0\iff x<\tfrac35

, verdadeiro para todo o

x<-\tfrac12

Juntando os dois casos,

S=\,]-\infty,5[

Resposta: A

Erro comum. Tratar só o caso $2x+1\geq0$ e esquecer os $x<-\tfrac12$ .

Solução da questão 42

Resposta

A.0,25

Resolução

Divisores de

60

1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60

, ou seja

12

Primos entre eles:

2

3

5

P=\dfrac{3}{12}=0{,}25

Resposta: A

Erro comum. Contar o $1$ como primo e obter $\dfrac4{12}\approx0{,}33$ .

Solução da questão 43

Resposta

10^2\,52^2\,(4!/(2!\,2!))

Resolução

Cada algarismo tem

10

escolhas e cada letra

26+26=52

10^2\cdot52^2

2

algarismos podem ocupar

2

das

4

posições de

\dfrac{4!}{2!\,2!}=6

maneiras.

Total:

10^2\cdot52^2\cdot\dfrac{4!}{2!\,2!}

Resposta: E

Erro comum. Esquecer que algarismos e letras podem trocar de posição e responder $10^2\cdot52^2$ (D).

Solução da questão 44

Resposta

B.792

Resolução

A ordem dos jogadores não conta: são combinações de

12

5

5

C^{12}_5=\dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=792

Resposta: B

Erro comum. Usar arranjos ( $95\,040$ ), em que a ordem conta.

Solução da questão 45

Resposta

10a^2b^3

Resolução

T_{k+1}=\binom5k a^{5-k}b^k

; o quarto termo tem

k=3

T_4=\binom53a^2b^3=10a^2b^3

Resposta: B

Erro comum. Trocar os expoentes e escolher $10a^3b^2$ (A), que é o terceiro termo.

Solução da questão 46

Resposta

y=\dfrac{11x+5}{3x+2}

Resolução

y=\dfrac{2x-5}{-3x+11}

, logo

-3xy+11y=2x-5

11y+5=x(2+3y)

, logo

x=\dfrac{11y+5}{3y+2}

Trocando as letras:

f^{-1}(x)=\dfrac{11x+5}{3x+2}

Resposta: C

Erro comum. Confundir a função inversa com $\dfrac1{f(x)}$ (A).

Solução da questão 47

Resposta

y=\dfrac{-2x+1}{x+2}

Resolução

No gráfico: assímptota vertical

x=-2

, horizontal

y=-2

, e o ramo da direita corta o eixo

y

acima da origem.

y=\dfrac{ax+b}{cx+d}

as assímptotas são

x=-\dfrac dc

y=\dfrac ac

: C e E têm

x=2

, D tem

x=-1

e B tem

y=2

y=\dfrac{-2x+1}{x+2}

tem

x=-2

y=-2

y(0)=\dfrac12>0

Resposta: A

Erro comum. Escolher D, que tem a mesma assímptota horizontal mas a vertical em $x=-1$ .

Solução da questão 48

Resposta

C.Progressão geométrica decrescente.

Resolução

(0{,}5)^{-k}=2^k

, logo

a_k=-2^k

-2,-4,-8,\ldots

\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=2

: é uma progressão geométrica.

Cada termo é menor do que o anterior: é decrescente.

Resposta: C

Erro comum. Achar que a razão $2>1$ a torna crescente (B), esquecendo que os termos são negativos.

Solução da questão 49

Resposta

A.6

Resolução

É uma progressão geométrica com

u_1=1

e razão

3

S_n=\dfrac{3^n-1}{2}

\dfrac{3^n-1}{2}=364\iff3^n=729=3^6

n=6

Resposta: A

Erro comum. Igualar $364$ ao termo geral $3^{n-1}$ em vez da soma.

Solução da questão 50

Resposta

C.1

Resolução

e^{-2n}=\dfrac1{e^{2n}}\to0

quando

n\to\infty

u_n\to1+0=1

Resposta: C

Erro comum. Pensar que, por o expoente ser negativo, $e^{-2n}\to-\infty$ (A).

Solução da questão 51

Resposta

e^{2/3}

Resolução

\left(1+\dfrac1{3n}\right)^{2n}=\left[\left(1+\dfrac1{3n}\right)^{3n}\right]^{2/3}

\left(1+\dfrac1{3n}\right)^{3n}\to e

, logo o limite é

e^{2/3}

Resposta: B

Erro comum. Fazer $1^\infty=1$ (E): $1^\infty$ é uma indeterminação.

Solução da questão 52

Resposta

E.3

Resolução

x=3

dá

\dfrac00

. Factoriza-se:

\dfrac{x(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x}{x-2}

\lim\limits_{x\to3}\dfrac{x}{x-2}=\dfrac31=3

Resposta: E

Erro comum. Ver o denominador a anular-se e responder que o limite não existe (C).

Solução da questão 53

Resposta

C.2

Resolução

x=2

dá

\dfrac00

. Multiplica-se pelo conjugado

x+\sqrt{2x}

: o denominador fica

x^2-2x=x(x-2)

O numerador é

(x-1)(x-2)(x+\sqrt{2x})

; simplificando

x-2

, fica

\dfrac{(x-1)(x+\sqrt{2x})}{x}

x=2

\dfrac{1\cdot(2+2)}{2}=2

Resposta: C

Erro comum. Parar na indeterminação $\dfrac00$ e responder $0$ ou $\infty$ .

Solução da questão 54

Resposta

a=-1,\ b=1

Resolução

x=-1

a\cdot(-1)+b=2

, ou seja

-a+b=2

x=3

3a+b=-2

Subtraindo,

4a=-4

a=-1

b=1

Resposta: D

Erro comum. Impor a continuidade só num dos dois pontos de junção.

Solução da questão 55

Resposta

\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{3}{x^2}

Resolução

f(x)=2x^{1/2}+3x^{-1}

f'(x)=2\cdot\dfrac12x^{-1/2}-3x^{-2}=\dfrac1{\sqrt x}-\dfrac3{x^2}

Resposta: B

Erro comum. Esquecer o $\dfrac12$ do expoente e ficar com $\dfrac2{\sqrt x}$ (D).

Solução da questão 56

Resposta

2e^x

Resolução

As funções iguais à sua derivada são da forma

Ce^x

(2e^x)'=2e^x

As outras não:

(3x^2)'=6x

(\text{sen}\,x)'=\cos x

(e^{5x})'=5e^{5x}

(\ln x)'=\dfrac1x

Resposta: D

Erro comum. Escolher $e^{5x}$ (C), esquecendo a regra da cadeia: a derivada é $5e^{5x}$ .

Solução da questão 57

Resposta

f(x)=x^2-1,\ x=1

Resolução

A tangente é horizontal quando

f'

se anula no ponto.

f'(0)=0

; C:

3\cdot2-6=0

; D:

\cos\dfrac\pi2=0

; E:

4-4=0

f'(x)=2x

f'(1)=2\neq0

Resposta: B

Erro comum. Confundir $f(1)=0$ com $f'(1)=0$ na B.

Solução da questão 58

Resposta

\dfrac{2}{3}x^{3/2}

Resolução

\sqrt x=x^{1/2}

\displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac23x^{3/2}

(mais uma constante).

Resposta: A

Erro comum. Derivar em vez de primitivar e obter $\dfrac1{2\sqrt x}$ (C).

Solução da questão 59

Resposta

h(x)=(f\times g)(x)-5

Resolução

h'=f'g+fg'=(f\times g)'

, logo

h=f\times g+c

h(2)=(3-1)^2=4

(f\times g)(2)=3\cdot3=9

4=9+c

c=-5

h(x)=(f\times g)(x)-5

Resposta: D

Erro comum. Trocar o sinal da constante e escolher $+5$ (A).

Solução da questão 60

Resposta

E.Primo.

Resolução

Partes reais:

x=6-x

, logo

x=3

. Partes imaginárias:

4+y=2y

, logo

y=4

|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5

5

é um número primo.

Resposta: E

Erro comum. Esquecer a raiz e ficar com $25$ , um quadrado perfeito (B).