Matematica II 2022

UEM
40 questões
90 minutos
38 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de admissão de Matemática II

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro à lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, à esferográfica (de cor azul ou preta).

Seja o conjunto dos números naturais $N=\{1,2,3,\ldots n,\ldots\}$ . A expressão falsa é:

N

é o conjunto infinito

N

é o conjunto ordenado

\forall n,p\in N

s=n+p

em conjunto

N

definida soma de dois números naturais

\forall n,p\in N

r=n-p

em conjunto

N

definida diferença de dois números naturais

N

contém o elemento mais pequeno

Três números $a=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$ , $b=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ , $c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ , onde $\pi\approx 3{,}14$ ; $e\approx 2{,}72$ , satisfazem a desigualdade dupla:

a<b<c

c<a<b

c<a>b

c<b<a

a<c<b

Um táxi andou $1500$ metros com uma velocidade de $15$ quilómetros por hora; depois $3$ quilómetros durante $9$ minutos e o resto do caminho com uma velocidade de $30$ km/h durante meia hora. Então, a velocidade média de viagem em quilómetros por hora é:

41

65/3

30{,}5

26

21

Qual é o aumento percentual da área de um círculo cujo raio $R$ é aumentado por $50\%$ ?

50\%

100\%

125\%

150\%

200\%

Segundo o inquérito, numa turma de $25$ alunos foi registado que $18$ alunos praticam basquetebol e $20$ alunos futebol. Quantos alunos praticam basquetebol e futebol?

2

13

38

7

19

As possibilidades de eleger $3$ representantes de uma turma que contém $20$ alunos são de:

60

4520

8000

800

1140

O resultado da operação da negação da expressão lógica $(P\to Q)\wedge Q\vee R$ é:

\neg P

P\wedge R

\neg P\wedge\neg R

\neg P\vee\neg R

\neg R

A probabilidade de ocasiões que num número aleatório de três algarismos todos sejam distintos, é de:

0{,}31

0{,}45

0{,}54

0{,}72

0{,}83

O termo $a_1$ e a razão $d$ duma progressão aritmética cujos termos $a_{21}=62$ e $a_{31}=92$ , são:

a_1=2;\ d=5

a_1=2;\ d=4

a_1=3;\ d=3

a_1=2;\ d=3

a_1=3;\ d=2

10.

A soma de todos os números da sucessão numérica $5;\ 1;\ 0{,}2;\ 0{,}04;\ \ldots$ é igual a:

5

5{,}75

6{,}25

7

\infty

11.

Um viajante andou numa planície $6$ quilómetros na direcção de Norte e depois $8$ quilómetros na direcção de Leste. A distância recta entre o ponto inicial e o ponto final da viagem é igual a:

14

10

8

6

2

12.

O módulo do vector $\overrightarrow{AB}$ cujos pontos inicial e final são $A(1,3,0)$ e $B(4,7,2\sqrt{6})$ é igual a:

15+2\sqrt{6}

8+2\sqrt{6}

5

7

8

13.

A função $h(x)=x^2-5|x|+1$ definida em $\mathbb{R}$ é:

A.ímpar

B.par

C.não é par, nem ímpar

D.par para

x>0

E.ímpar para

x<0

14.

O preço dum produto de uma fábrica varia diariamente, segundo a função $q(t)=at^2+b$ , ( $t$ dias). Sendo o preço inicial $30{,}00$ Mt por unidade e depois de três dias $21{,}00$ Mt, qual será o preço de uma unidade do produto passando mais dois dias?

15

12

10

7

5

15.

A função inversa $y=f^{-1}(x)$ da função $f(x)=\sqrt{x-1}$ é:

y=-x^2+1

y=-x^2-1

y=x^2-1

y=x^2+1

E.não existe

16.

O domínio de definição da função $f(x)=\dfrac{\log_2(|x|-1)}{\sqrt{4-x^2}}$ é:

\varnothing

x\in\,]-1,1[

x\in\,]-2,-1[\,\cup\,]1,2[

x\in[-2,2]

x\in\mathbb{R}

17.

PASSE PARA A PERGUNTA SEGUINTE

18.

A lei de movimento de um ponto material sob a acção do seu próprio peso no campo de gravidade da Terra (o problema do pêndulo matemático) define-se pela função $S(t)=s_0\,\operatorname{sen}\!\left(t\cdot\sqrt{\dfrac{g}{l}}\right)$ , onde $s_0$ e $l$ são os parâmetros geométricos do pêndulo, $g$ é aceleração da força de gravidade, $t$ é o tempo. Determine o período $T$ de oscilações harmónicas de pêndulo.

T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{l}{g}}

T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{g}{l}}

T=\dfrac{2\pi}{s_0}

T=2\pi

T=2\pi gl

19.

O valor de $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}4x^2}{\operatorname{tg}\,9x^2}$ é igual a:

\dfrac{9}{4}

\dfrac{4}{9}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{2}

1

20.

Para que a função $f(x)=\begin{cases}-x^2+x+1; & x\in\,]-\infty,0]\\ e^{x-b}; & x\in\,]0,\infty[\end{cases}$ seja contínua no ponto $x=0$ , o parâmetro $b$ deve ser igual a:

-1

0

1

2

\forall\, b\in\mathbb{R}

21.

A soma das raízes da equação $x^4-13x^2+36=0$ é igual a:

0

10

-5

7

13

22.

Simplificando a expressão $\dfrac{\operatorname{sen}\alpha}{1+\cos\alpha}+\dfrac{1+\cos\alpha}{\operatorname{sen}\alpha}$ obtém-se a expressão:

\dfrac{2}{\operatorname{sen}\alpha}

\dfrac{1}{2}\operatorname{sen}\alpha

\dfrac{1}{2}\cos^2\alpha

2

\dfrac{1}{2}

23.

Quantos pontos de intersecção ( $k$ ) têm os gráficos de funções $y=\operatorname{sen}x$ e $g=|\operatorname{sen}2x|$ no intervalo $[0,\pi]$ ?

k=4

k=3

k=2

k=1

k=0

24.

Resolvendo a equação $\log_x(2x-1)=-1$ a resposta é:

x=-0{,}5

x=1

x=2

x=0{,}5

\varnothing

25.

A solução da inequação $\dfrac{x^2-1}{x-5}\ge0$ é o intervalo:

\mathbb{R}

[1,5[

[-1,1]\cup\,]5,\infty[

]-\infty,-1]

\mathbb{R}\setminus\{5\}

26.

Resolvendo a inequação $\sqrt{4-3x}\le\sqrt{7x+2}$ a resposta é o intervalo:

x\in\,]-\infty,-\dfrac{2}{7}[

x\in\,]-\dfrac{2}{7},0[

x\in\left[\dfrac15,\dfrac43\right]

x\in\left[\dfrac53,\dfrac{11}{3}\right]

x\in\left[\dfrac{11}{3},\infty\right]

27.

A curva, cujo gráfico está representado na figura, tem a seguinte equação:

y(x)=\dfrac{2-x}{x-1}

y(x)=\dfrac{-x}{x+1}

y(x)=\dfrac{x+2}{x+1}

y(x)=\dfrac{2-x}{1-x}

y(x)=\dfrac{x}{1-x}

28.

A curva representada geometricamente na figura, tem a seguinte equação:

y(x)=(x-1)^2-1

y(x)=(x-1)^2+1

y(x)=-(x+1)^2+1

y(x)=-(x-1)^2-1

y(x)=-(x+1)^2-1

29.

As assíntotas verticais $A_V$ , horizontais $A_H$ , oblíquas $A_O$ da função $f(x)=e^{T}$ , $T=\dfrac{1}{x}$ são:

A_V

: x = 1;

A_H

y=e

;

A_O

y=x+1

A_V

: x = 1;

A_H

y=1

;

A_O

y=x

A_V

: x = 0;

A_H

y=0

;

A_O

: não existe

A_V

: x = 0;

A_H

y=1

;

A_O

: não existe

E.a função não tem assintotas

30.

Na figura ao lado estão representados os fragmentos dos gráficos de uma função $y=f(x)$ e de uma tangente à curva no ponto P. Compare os valores da derivada da função nos pontos P e Q. Então:

f'(-2)>f'(-4)

f'(-2)<f'(-4)

f'(-2)=f'(-4)

D.Nenhuma das alternativas

E.Os valores de

f'(-2)

f'(-4)

são não comparáveis

31.

Um ponto material move-se pelo eixo recto segundo a lei $R(t)=-\dfrac16t^3+3t^2-5$ , ( $t$ - segundos, $R$ - metros). A velocidade de movimento $v(t)$ em $(m/s)$ e o instante do tempo $T$ em $(s)$ quando a aceleração de movimento é nula correspondem a:

v(1)=3

;

T=1

v(3)=9

;

T=3

v(4)=12

;

T=4

v(5)=16

;

T=5

v(6)=18

;

T=6

32.

PASSE PARA A PERGUNTA SEGUINTE

33.

Resolvendo o sistema linear $\begin{cases}x+y=5(x-y)\\ 2x-3y=5\end{cases}$ a soma dos valores de x e y é igual a:

0

1

5

3

E.nenhuma das alternativas

34.

As rectas no plano cartesiano $y=\dfrac12x+5$ e $y=k\cdot x-b$ são perpendiculares quando:

k=2,\ b=5

k=2,\ b=-5

k=-0{,}5,\ b\in R

k=1,\ b\in R

k=-2,\ b\in R

35.

Que figura no plano cartesiano é descrita pela equação $z\cdot\bar z=4$ , onde $z$ e $\bar z$ (conjugado do $z$ ) são os números complexos?

A.círculo fechado

B.círculo aberto

C.circunferência

D.elipse

E.duas rectas intersectadas

36.

O raio da circunferência cujo centro é o ponto $O'(\sqrt{18},0)$ e as rectas $y=x$ e $y=-x$ são suas tangentes, é igual a:

1

2

3

4

5

37.

O resultado de multiplicação da matriz $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\-1&-2&-3\end{pmatrix}$ por $B=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ é a matriz:

\begin{pmatrix}-1&-2&-3\\0&0&0\\-1&-2&-3\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}-1&0&-3\\-1&0&-3\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}-1&-1\\-2&-2\\-3&-3\end{pmatrix}

E.não existe

38.

No $\triangle$ ABC o lado $a=6$ cm, o lado $c=3$ cm, o ângulo $\angle B=60^\circ$ . A medida do lado $b$ é igual a:

5

5\sqrt{3}

4

3\sqrt{3}

\sqrt{3}

39.

O raio de base dum cone circular é igual a $R$ ; a geratriz faz um ângulo $\alpha=60^\circ$ com a base. O ângulo $\alpha$ seja diminuído por $15^\circ$ . Em quantas vezes diminuirá o volume $V$ do cone?

6\sqrt3

vezes

4\sqrt3

vezes

2\sqrt3

vezes

0{,}5\sqrt3

vezes

\sqrt3

vezes

40.

A primitiva $F(x)$ da função $f(x)=\operatorname{sen}3x$ , sendo $C$ uma constante arbitrária é:

F(x)=-\cos3x+C

F(x)=\dfrac13\cos3x+C

F(x)=-\dfrac13\cos3x+C

F(x)=3\cos3x+C

F(x)=3\cos x+C

Respostas

Matematica II 2022 · UEM · admitela.com

1D
2E
3D
4C
5B
6E
7—
8D
9D
10C
11B
12D
13B
14E
15D
16C
18A
19B
20B
21A
22A
23A
24E
25C
26C
27E
28D
29D
30B
31E
33E
34E
35C
36C
37B
38D
39E
40C

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-ii-2022/

Solução da questão 1

Resposta

\forall n,p\in N

r=n-p

em conjunto

N

definida diferença de dois números naturais

Resolução

N

, a soma de dois números naturais é sempre um número natural: C é verdadeira.

A diferença nem sempre é:

2-5=-3\notin N

. A subtracção não está definida em todo o

N

A, B e E são verdadeiras:

N

é infinito, é ordenado e tem o menor elemento, o

1

Resposta: D

Erro comum. Julgar E falsa por $N$ não ter um maior elemento; o que falta é o máximo, o mínimo é $1$ .

Solução da questão 2

Resposta

a<c<b

Resolução

Para números positivos, quanto maior o denominador, menor a fracção: basta comparar

\sqrt e

\sqrt3

\sqrt\pi

Como

e<3<\pi

, vem

\sqrt e<\sqrt3<\sqrt\pi

Invertendo,

\dfrac{1}{\sqrt\pi}<\dfrac{1}{\sqrt3}<\dfrac{1}{\sqrt e}

, isto é,

a<c<b

Resposta: E

Erro comum. Esquecer que inverter troca o sentido das desigualdades e escolher D.

Solução da questão 3

Resposta

26

Resolução

1.º troço:

1{,}5

km a

15

km/h levam

\dfrac{1{,}5}{15}=0{,}1

2.º troço:

3

km em

9

min

=0{,}15

h. 3.º troço:

30\times0{,}5=15

km em

0{,}5

v_m=\dfrac{1{,}5+3+15}{0{,}1+0{,}15+0{,}5}=\dfrac{19{,}5}{0{,}75}=26

km/h.

Resposta: D

Erro comum. Fazer a média simples das três velocidades, $\frac{15+20+30}{3}=\frac{65}{3}$ (B), em vez de dividir a distância total pelo tempo total.

Solução da questão 4

Resposta

125\%

Resolução

A área é

\pi R^2

; com o raio

1{,}5R

passa a

\pi(1{,}5R)^2=2{,}25\,\pi R^2

O aumento é

2{,}25-1=1{,}25

, ou seja,

125\%

Resposta: C

Erro comum. Responder $50\%$ (A), esquecendo que a área depende do quadrado do raio.

Solução da questão 5

Resposta

13

Resolução

Supõe-se, como o exame pretende, que cada aluno pratica pelo menos um dos dois desportos:

n(B\cup F)=25

n(B\cap F)=n(B)+n(F)-n(B\cup F)=18+20-25=13

Resposta: B

Erro comum. Somar $18+20=38$ (C) sem descontar os alunos contados duas vezes.

Solução da questão 6

Resposta

1140

Resolução

3

representantes não têm cargos diferentes: a ordem não conta e são combinações.

C_3^{20}=\dfrac{20\cdot19\cdot18}{3!}=\dfrac{6840}{6}=1140

Resposta: E

Erro comum. Usar arranjos, $20\cdot19\cdot18=6840$ , que contam a mesma escolha seis vezes.

Solução da questão 7

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A negação é $\neg Q\wedge\neg R$ , que não está entre as alternativas (nenhuma delas depende de $Q$ ). Lida como $(P\to Q)\wedge(Q\vee R)$ , a negação é $\neg Q\wedge(P\vee\neg R)$ , que também não está.

Porquê

(P\to Q)\wedge Q\equiv(\neg P\vee Q)\wedge Q\equiv Q

(absorção), por isso a expressão é

Q\vee R

Pelas leis de De Morgan,

\neg(Q\vee R)\equiv\neg Q\wedge\neg R

Com

P

R

falsas e

Q

verdadeira, a negação é falsa, mas A, D e E são verdadeiras; com

P

verdadeira e

Q

R

falsas, a negação é verdadeira, mas B e C são falsas.

Nenhuma alternativa é equivalente a

\neg Q\wedge\neg R

: a questão fica anulada.

Solução da questão 8

Resposta

0{,}72

Resolução

Os números de três algarismos vão de

100

999

900

casos possíveis.

Todos distintos:

9

escolhas para as centenas (sem o

0

9

para as dezenas e

8

para as unidades,

9\cdot9\cdot8=648

P=\dfrac{648}{900}=0{,}72

Resposta: D

Erro comum. Aceitar o $0$ nas centenas, $10\cdot9\cdot8=720$ , e dividir pelos $900$ números de três algarismos.

Solução da questão 9

Resposta

a_1=2;\ d=3

Resolução

a_{31}-a_{21}=10d

, logo

10d=92-62=30

d=3

a_{21}=a_1+20d\Rightarrow a_1=62-60=2

Resposta: D

Erro comum. Usar $a_n=a_1+nd$ em vez de $a_n=a_1+(n-1)d$ , o que dá $a_1=-1$ .

Solução da questão 10

Resposta

6{,}25

Resolução

Cada termo é o anterior a dividir por

5

: progressão geométrica com

u_1=5

r=\frac15

Como

|r|<1

, a soma é finita:

S=\dfrac{u_1}{1-r}=\dfrac{5}{1-0{,}2}=\dfrac{5}{0{,}8}=6{,}25

Resposta: C

Erro comum. Responder $\infty$ (E) por a sucessão ter infinitos termos.

Solução da questão 11

Resposta

10

Resolução

Norte e Leste são direcções perpendiculares: os dois percursos são os catetos de um triângulo rectângulo.

d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10

km.

Resposta: B

Erro comum. Somar $6+8=14$ km (A), que é o caminho percorrido e não a distância em linha recta.

Solução da questão 12

Resposta

7

Resolução

\overrightarrow{AB}=B-A=(3,\ 4,\ 2\sqrt6)

|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2+(2\sqrt6)^2}=\sqrt{9+16+24}=\sqrt{49}=7

Resposta: D

Erro comum. Somar coordenadas em vez de calcular $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ , como em A.

Solução da questão 13

Resposta

B.par

Resolução

h(-x)=(-x)^2-5|-x|+1=x^2-5|x|+1=h(x)

para todo o

x\in\mathbb{R}

Logo

h

é par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo

Oy

Resposta: B

Erro comum. Ver o termo $-5|x|$ e tratá-lo como $-5x$ , concluindo que a função não é par nem ímpar (C).

Solução da questão 14

Resposta

5

Resolução

q(0)=b=30

q(3)=9a+30=21\Rightarrow a=-1

, logo

q(t)=-t^2+30

Dois dias depois do 3.º dia:

q(5)=-25+30=5

Mt.

Resposta: E

Erro comum. Supor uma descida constante de $3$ Mt por dia e obter $21-6=15$ (A).

Solução da questão 15

Resposta

y=x^2+1

Resolução

y=\sqrt{x-1}

tem domínio

x\ge1

e contradomínio

y\ge0

Trocando

x

com

y

x=\sqrt{y-1}\Rightarrow y-1=x^2\Rightarrow y=x^2+1

, com

x\ge0

Resposta: D

Erro comum. Passar o $1$ para o outro lado sem trocar o sinal e obter $y=x^2-1$ (C).

Solução da questão 16

Resposta

x\in\,]-2,-1[\,\cup\,]1,2[

Resolução

O logaritmo exige

|x|-1>0

, isto é,

x<-1

x>1

A raiz no denominador exige

4-x^2>0

, isto é,

-2<x<2

Intersecção:

x\in\,]-2,-1[\,\cup\,]1,2[

Resposta: C

Erro comum. Aceitar $4-x^2\ge0$ e fechar os extremos em $\pm2$ , onde o denominador se anula.

Solução da questão 18

Resposta

T=2\pi\cdot\sqrt{\dfrac{l}{g}}

Resolução

S(t)=s_0\operatorname{sen}(\omega t)

, com

\omega=\sqrt{\dfrac{g}{l}}

O seno repete-se quando

\omega t

avança

2\pi

T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}

Resposta: A

Erro comum. Multiplicar $2\pi$ por $\omega$ em vez de dividir e obter $2\pi\sqrt{\frac{g}{l}}$ (B).

Solução da questão 19

Resposta

\dfrac{4}{9}

Resolução

Quando

u\to0

\operatorname{sen}u\sim u

\operatorname{tg}u\sim u

; aqui

u=4x^2

u=9x^2

\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}4x^2}{\operatorname{tg}9x^2}=\lim_{x\to0}\dfrac{4x^2}{9x^2}=\dfrac49

Resposta: B

Erro comum. Trocar o numerador com o denominador e responder $\frac94$ (A).

Solução da questão 20

Resposta

0

Resolução

À esquerda e no próprio ponto:

f(0)=-0^2+0+1=1

À direita:

\displaystyle\lim_{x\to0^+}e^{x-b}=e^{-b}

Continuidade:

e^{-b}=1\iff b=0

Resposta: B

Erro comum. Igualar o expoente $-b$ a $1$ em vez de $0$ e obter $b=-1$ (A).

Solução da questão 21

Resposta

0

Resolução

Com

y=x^2

y^2-13y+36=0\iff y=4\ \vee\ y=9

x^2=4\Rightarrow x=\pm2

x^2=9\Rightarrow x=\pm3

Soma:

-3-2+2+3=0

Resposta: A

Erro comum. Somar só as soluções em $y$ , $4+9=13$ (E).

Solução da questão 22

Resposta

\dfrac{2}{\operatorname{sen}\alpha}

Resolução

Com o denominador comum

(1+\cos\alpha)\operatorname{sen}\alpha

, o numerador é

\operatorname{sen}^2\alpha+(1+\cos\alpha)^2

\operatorname{sen}^2\alpha+1+2\cos\alpha+\cos^2\alpha=2+2\cos\alpha=2(1+\cos\alpha)

\dfrac{2(1+\cos\alpha)}{(1+\cos\alpha)\operatorname{sen}\alpha}=\dfrac{2}{\operatorname{sen}\alpha}

Resposta: A

Erro comum. Esquecer o termo $2\cos\alpha$ ao desenvolver $(1+\cos\alpha)^2$ .

Solução da questão 23

Resposta

k=4

Resolução

[0,\pi]

\operatorname{sen}x\ge0

, logo

|\operatorname{sen}2x|=2\operatorname{sen}x\,|\cos x|

\operatorname{sen}x=2\operatorname{sen}x\,|\cos x|\iff\operatorname{sen}x=0\ \vee\ |\cos x|=\frac12

\operatorname{sen}x=0

dá

x=0

x=\pi

;

|\cos x|=\frac12

dá

x=\frac\pi3

x=\frac{2\pi}3

. São

4

pontos.

Resposta: A

Erro comum. Dividir por $\operatorname{sen}x$ e perder os pontos $x=0$ e $x=\pi$ , ficando com $2$ (C).

Solução da questão 24

Resposta

\varnothing

Resolução

Condições: a base exige

x>0

x\ne1

, e o logaritmando

2x-1>0

, isto é,

x>\frac12

\log_x(2x-1)=-1\iff2x-1=\dfrac1x\iff2x^2-x-1=0\iff x=1\ \vee\ x=-\frac12

x=1

não pode ser base e

x=-\frac12

é negativo: a solução é

\varnothing

Resposta: E

Erro comum. Aceitar $x=1$ (B) sem verificar que a base de um logaritmo não pode ser $1$ .

Solução da questão 25

Resposta

[-1,1]\cup\,]5,\infty[

Resolução

O numerador anula-se em

x=\pm1

; o denominador anula-se em

x=5

, que fica de fora.

Sinal da fracção:

-

]-\infty,-1[

+

]-1,1[

-

]1,5[

+

]5,\infty[

Juntando os zeros:

[-1,1]\cup\,]5,\infty[

Resposta: C

Erro comum. Olhar só para o sinal do numerador e esquecer que o denominador é negativo para $x<5$ .

Solução da questão 26

Resposta

x\in\left[\dfrac15,\dfrac43\right]

Resolução

Domínio:

4-3x\ge0

7x+2\ge0

, isto é,

-\frac27\le x\le\frac43

Os dois lados são não negativos; elevando ao quadrado,

4-3x\le7x+2\iff x\ge\frac15

Intersecção:

x\in\left[\frac15,\frac43\right]

Resposta: C

Erro comum. Resolver só $4-3x\le7x+2$ e esquecer a condição $x\le\frac43$ , sem a qual a raiz da esquerda não existe.

Solução da questão 27

Resposta

y(x)=\dfrac{x}{1-x}

Resolução

Na figura: assíntota vertical

x=1

, assíntota horizontal

y=-1

, e a curva passa pela origem.

x=0

, A dá

-2

, C e D dão

2

: ficam B e E. B não existe em

x=-1

, não em

x=1

y=\dfrac{x}{1-x}

anula-se em

x=0

, não existe em

x=1

e tende para

\dfrac{1}{-1}=-1

quando

x\to\pm\infty

Resposta: E

Erro comum. Escolher B, que também passa pela origem mas tem a assíntota vertical em $x=-1$ .

Solução da questão 28

Resposta

y(x)=-(x-1)^2-1

Resolução

A concavidade está voltada para baixo: o coeficiente de

x^2

é negativo (C, D ou E).

O vértice está em

(1,-1)

, por isso

y=-(x-1)^2-1

Confirmação: em

x=0

y=-1-1=-2

, onde a curva corta o eixo

Oy

Resposta: D

Erro comum. Trocar o sinal dentro do parêntesis: $(x+1)^2$ põe o vértice em $x=-1$ (E).

Solução da questão 29

Resposta

A_V

: x = 0;

A_H

y=1

;

A_O

: não existe

Resolução

f(x)=e^{1/x}

não existe em

x=0

; quando

x\to0^+

\frac1x\to+\infty

f(x)\to+\infty

x=0

é assíntota vertical.

Quando

x\to\pm\infty

\frac1x\to0

f(x)\to e^0=1

y=1

é assíntota horizontal.

Com assíntota horizontal dos dois lados, não há oblíqua.

Resposta: D

Erro comum. Pensar que $e^{1/x}\to0$ quando $x\to\pm\infty$ e escolher C; o expoente é que tende para $0$ .

Solução da questão 30

Resposta

f'(-2)<f'(-4)

Resolução

A derivada num ponto é o declive da tangente ao gráfico nesse ponto;

P

Q

são os pontos da curva de abcissas

-4

-2

A tangente em

P

passa por

(-4,2)

(4,0)

f'(-4)=\dfrac{0-2}{4-(-4)}=-\dfrac14

P

para

Q

a curva desce cada vez mais a pique: em

x=-2

o declive é mais negativo,

f'(-2)<-\frac14=f'(-4)

Resposta: B

Erro comum. Ver que a curva é mais inclinada em $Q$ e escolher A, esquecendo que os declives são negativos.

Solução da questão 31

Resposta

v(6)=18

;

T=6

Resolução

v(t)=R'(t)=-\frac12t^2+6t

a(t)=v'(t)=-t+6

a(T)=0\iff T=6

v(6)=-\frac12\cdot36+36=18

m/s.

Resposta: E

Erro comum. Procurar o instante em que a velocidade, e não a aceleração, se anula.

Solução da questão 33

Resposta

E.nenhuma das alternativas

Resolução

Da 1.ª equação:

x+y=5x-5y\iff4x=6y\iff2x=3y

Então

2x-3y=0

, o que contradiz

2x-3y=5

: o sistema é impossível.

Sem solução, não há soma

x+y

; nenhuma das alternativas numéricas serve.

Resposta: E

Erro comum. Não reparar na contradição $0=5$ e forçar um valor para $x+y$ .

Solução da questão 34

Resposta

k=-2,\ b\in R

Resolução

Duas rectas não verticais são perpendiculares quando o produto dos declives é

-1

\dfrac12\cdot k=-1\iff k=-2

; a ordenada na origem não conta, por isso

b\in\mathbb{R}

Resposta: E

Erro comum. Usar só o inverso, $k=2$ (A ou B), sem trocar o sinal.

Solução da questão 35

Resposta

C.circunferência

Resolução

Com

z=x+yi

z\cdot\bar z=(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2

x^2+y^2=4

é a circunferência de centro na origem e raio

2

Resposta: C

Erro comum. Confundir a circunferência com o círculo (A), que seria $x^2+y^2\le4$ .

Solução da questão 36

Resposta

3

Resolução

O raio é a distância do centro a uma das tangentes;

y=x

escreve-se

x-y=0

r=\dfrac{|\sqrt{18}-0|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\dfrac{3\sqrt2}{\sqrt2}=3

Por simetria, a distância à recta

y=-x

é a mesma.

Resposta: C

Erro comum. Esquecer de dividir por $\sqrt{1^2+1^2}$ na fórmula da distância de um ponto a uma recta.

Solução da questão 37

Resposta

\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}

Resolução

A

2\times3

B

3\times1

: o produto existe e é

2\times1

1.ª linha:

1\cdot(-1)+2\cdot0+3\cdot1=2

; 2.ª linha:

(-1)(-1)+(-2)\cdot0+(-3)\cdot1=-2

AB=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}

Resposta: B

Erro comum. Multiplicar elemento a elemento e obter uma matriz $2\times3$ , como em C.

Solução da questão 38

Resposta

3\sqrt{3}

Resolução

Conhecem-se dois lados e o ângulo entre eles: lei dos cossenos,

b^2=a^2+c^2-2ac\cos B

b^2=36+9-2\cdot6\cdot3\cdot\frac12=45-18=27

b=\sqrt{27}=3\sqrt3

cm.

Resposta: D

Erro comum. Somar o termo $2ac\cos B$ em vez de o subtrair.

Solução da questão 39

Resposta

\sqrt3

vezes

Resolução

O raio

R

não muda e a altura é

h=R\operatorname{tg}\alpha

, logo

V=\frac13\pi R^3\operatorname{tg}\alpha

Com

\alpha=60^\circ

h=R\sqrt3

; com

\alpha=60^\circ-15^\circ=45^\circ

h=R

\dfrac{V_{60^\circ}}{V_{45^\circ}}=\dfrac{\operatorname{tg}60^\circ}{\operatorname{tg}45^\circ}=\sqrt3

: o volume diminui

\sqrt3

vezes.

Resposta: E

Erro comum. Usar o seno ou o cosseno de $\alpha$ em vez da tangente para obter a altura.

Solução da questão 40

Resposta

F(x)=-\dfrac13\cos3x+C

Resolução

Uma primitiva de

\operatorname{sen}(kx)

-\dfrac1k\cos(kx)

Com

k=3

F(x)=-\dfrac13\cos3x+C

Confirmação:

F'(x)=-\dfrac13\cdot(-3\operatorname{sen}3x)=\operatorname{sen}3x

Resposta: C

Erro comum. Multiplicar por $3$ em vez de dividir (D) ou esquecer o sinal menos (B).