Matematica II 2023

UEM
40 questões
90 minutos
40 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de Admissão – 2023 | Parte – 1: Matemática II

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro a lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, à esferográfica (de cor azul ou preta).

Considere a seguinte expressão: $|-4| + |\sqrt{2}| - |\sqrt{2}-3|$ . O seu valor corresponde a qual das seguintes opções:

-7

7+2\sqrt{2}

1

7

1+2\sqrt{2}

Indique as soluções da equação $|x^2-2x-1|=x-1$ :

x=-1 \vee x=0

x=2 \vee x=3

x=-1 \vee x=2

x=0 \vee x=3

x=-2 \vee x=1

Qual o conjunto de soluções da inequação $1\le|x-3|\le2$ :

[1,2]\cup[4,5]

[-5,4]\cup[-2,1]\cup[1,2]\cup[4,5]

]-\infty,-2]\cup[5,+\infty[

[2,5]

[1,2]\cup[5,+\infty[

Para que valores de $a$ e $b$ a função $f(x)=|x-a|+b$ é simétrica em relação ao eixo dos $YY$ ?

a=0;\ b\in\mathbb{R}

a\in]-\infty,0[;\ b=0

a,b\in]0,+\infty[

a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}

a,b\in]-\infty,0[

Considere as funções $f(x)=|x|^2-4$ e $g(x)=|x^2-4|$ . Indique a afirmação incorrecta:

A.Ambas funções têm o mesmo domínio.

B.Ambas funções têm o mesmo contradomínio.

C.Os zeros de

f(x)

coincidem com os zeros de

g(x)

f(x)\ge0

para

x\in\mathbb{R}\setminus]-2,2[

g(x)\ge0

para

x\in\mathbb{R}

f(x)

é crescente em

]0,+\infty[

g(x)

é crescente em

]-2,0[\cup]2,+\infty[

O número de arranjos de 3 rapazes e 4 raparigas numa fila, se as raparigas têm que ficar juntas é:

4!\times4!

3!\times4!

3!\times2!

4!\times4!\times2!

3!\times4!\times2!

De entre 35 alunos de uma turma, de quantos modos diferentes é possível escolher um chefe, um sub-chefe e um secretário?

C_3^{35}\times35!

C_3^{35}

A_3^{35}\times A_3^{34}\times A_1^{33}

A_3^{35}

A_3^{35}\times C_{32}^{35}

Numa perfumaria quer-se colocar na montra, em fila, 3 frascos de perfume de homem e 5 frascos de perfume de mulher, escolhidos de entre 10 perfumes de homem e 12 perfumes de mulher. De quantas formas se pode formar a fila de perfumes?

C_3^{10}\times C_5^{12}

A_3^{10}\times A_5^{11}

C_3^{10}\times C_5^{12}\times A_8^8

A_3^{10}\times A_5^{12}\times8!

C_3^{10}\times C_5^{12}\times22

Considere os acontecimentos $M$ e $N$ de uma experiência $X$ , tal que $P(M)=0{,}2$ e $P(N)=0{,}6$ . Qual dos seguintes valores pode ser o de $P(M\cup N)$ ?

A.0,1

B.0,4

C.0,5

D.0,7

E.0,9

10.

Sabe-se que num país, a probabilidade de nascer rapaz é metade da probabilidade de nascer rapariga. A probabilidade de um casal com dois filhos ter dois rapazes é:

\frac{1}{9}

\frac{1}{4}

\frac{2}{3}

\frac{1}{2}

\frac{1}{3}

11.

O coeficiente de $x^2$ no desenvolvimento do binómio $(2x-3)^5$ é igual a:

A.1080

B.540

-10

-540

-1080

12.

A soma dos primeiro, segundo, penúltimo e último elementos de uma linha do Triângulo de Pascal é 20. Então o sexto elemento dessa linha é:

A.84

B.126

C.220

D.278

E.332

13.

Qual dos seguintes conjuntos descreve o domínio da função real de variável real $f(x)=\dfrac{x-\log(x)}{x}$ ?

]-\infty,1[

]-\infty,0[

]0,+\infty[

\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}

\mathbb{R}\setminus]-1,1[

14.

De uma função quadrática $f$ sabe-se que $(1,3)$ são as coordenadas do vértice da parábola que a representa graficamente e que $f(-2)=-4$ . Então pode afirmar-se que a função:

A.É par.

B.Tem um único zero.

C.É injectiva.

D.É monótona.

E.Tem contradomínio

]-\infty,3]

15.

Seja $f$ uma função de domínio $\mathbb{R}$ , estritamente crescente. Qual das afirmações pode estar incorrecta?

f

não pode ter mais que um zero.

B.A função é injectiva.

C.A função não é par.

f(x-1)<f(x)

E.O contradomínio é

\mathbb{R}^+

16.

Seja dada $f(x)=x^2-2x-3$ . Qual dos seguintes gráficos representa esta função?

17.

Seja $f$ a função real de variável real definida por $f(x)=2^x-2$ . Para um certo número real $k$ , o gráfico da função $g$ , definida por $g(x)=f(x+k)$ , passa no ponto de coordenadas $\left(-4;\,-\frac{3}{2}\right)$ . Qual é o valor de $k$ ?

A.3

\frac{2}{3}

C.2

D.5

-4

18.

Considere a função $f(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)+3$ . Qual das seguintes opções representa o conjunto dos zeros de $f(x)$ ?

\{x\in\mathbb{R}: x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\}

\{x=\pi/2\}

\{x=-3\}

\left\{x\in\mathbb{R}: x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}

\emptyset

19.

Sejam $f$ e $g$ funções lineares de $\mathbb{R}$ em $\mathbb{R}$ , dadas por $f(x)=2x-3$ e $f(g(x))=-4x+1$ . Nestas condições, $g(-1)$ é igual a:

-5

B.0

C.4

D.5

-4

20.

Considere a soma $1+a^1+a^2+\cdots+a^{2022}$ . O seu valor é dado por:

\frac{1+a^{2019}}{2}\times2022

\frac{1+a^{2022}}{2}\times2023

\frac{1-a^{2022}}{1-a}

\frac{1-a^{2023}}{1-a}

\frac{1+a^{2022}}{1-a}

21.

A soma duma série aritmética é 100 vezes o valor do seu primeiro termo e o último termo é 9 vezes o valor do seu primeiro termo. Quantos termos tem a série?

A.91

B.20

C.15

D.11

E.50

22.

De uma progressão geométrica $(u_n)$ sabe-se que $\frac{u_{2022}}{u_{2023}}=\frac{1}{2}$ e que a soma dos 5 primeiros termos é 93. O décimo termo é:

93\times\left(\frac{1}{2}\right)^{10}

3\times2^{10}

5\times\left(\frac{1}{2}\right)^{9}

3\times2^{9}

\frac{93}{5}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{9}

23.

Os 3 primeiros termos de uma série geométrica são $m+2$ , $m$ e $2m-3$ . Sobre a série podemos dizer que:

A.É crescente com

m=0

B.É decrescente com

m=-3

m=2

C.É crescente com

m=-1

m=1

D.Não monótona com

m=-2

E.Decrescente, com

m=-2

m=3

24.

Se $a_k=3^{-2k}$ ( $k\in\mathbb{N}$ ), então a soma infinita $a_1+a_2+a_3+\cdots$ é igual a:

A.0,1

B.0,125

C.0,2

D.1,125

E.1,2

25.

Considere as seguintes sucessões, representadas pelo seu termo geral $a_n$ ( $n\in\mathbb{N}$ ). Qual delas é convergente?

a_n=\frac{n^2-4}{n^2}

a_n=\frac{3n^3+5n}{n^2-5}

a_n=\left(\frac{5}{2}\right)^n

a_n=n^2-3

E.Nenhuma.

26.

Determine o $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3+n}{n-1}\right)^{2n}$ , $n\in\mathbb{N}$ ?

+\infty

e^3

C.1

D.0

e^8

27.

Indique o valor do $\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^4-5x^2+4}{x^2+x-2}$ :

-2

B.0

C.1

+\infty

-\infty

28.

Qual o limite, quando $x\to5$ , da função $\dfrac{2x^2-50}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}$ ?

40\sqrt{5}

25\sqrt{10}

\infty

D.0

2/5

29.

De uma função $g$ , de domínio $\mathbb{R}$ , sabe-se que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)$ existe e que $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}{x^2}=k$ , $k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Qual poderá ser $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)$ ?

A.0

-1

C.1

\pm2

\pm\infty

30.

Para certos números reais $a$ e $b$ , é contínua a função definida por $f(x)=\begin{cases}a, & \text{se } x\le0\\[2pt] \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}, & \text{se } 0<x<4\\[2pt] b, & \text{se } x\ge4\end{cases}$ . Determine $a$ e $b$ .

a=b=1

a=4;\ b=\frac{1}{2}

a=\frac{1}{4};\ b=0

a=\frac{1}{2};\ b=\frac{1}{4}

a=0;\ b=4

31.

Considere a função $f(x)=\ln\left(\dfrac{x^2-2}{2}\right)$ . Determine a sua derivada:

\frac{2x}{x^2-2}

\frac{4x}{x^2-2}

2x

\frac{2(x-1)}{x^2-2}

\ln\left(\frac{x^2-2}{2x}\right)

32.

Sejam $f$ e $g$ funções tais que $f(2)=4$ , $f'(2)=-2$ , $g(2)=-3$ e $g'(2)=1$ . Determine o valor de $\left(\dfrac{1}{f+g}\right)'$ no ponto $x=2$ .

A.0

-1

C.1

-2

E.2

33.

Considere a função $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ definida em $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ . Determine o(s) ponto(s) do gráfico de $f$ nos quais a recta tangente é paralela à recta $y=x$ .

(0,0)

(1,-1)

(1,1)

(0,1)

(0,0)

(-2,2)

(1,2)

(2,1)

34.

Considere a função $f(x)=x^3-3x^2+3$ . Os seus máximos e mínimos são:

A.Máx.

M(3,3)

; Mín.

P(0,0)

B.Máx.

M(0,3)

; Mín.

P(2,-1)

C.Máx.

M(3,0)

; Mín.

P(2,-1)

D.Máx.

M(-1,2)

; Mín.

P(0,3)

E.Máx.

M(2,-1)

; Mín.

P(0,3)

35.

Seja $f(x)$ uma função cujo gráfico tem um ponto máximo de abcissa $x=2$ . Qual dos seguintes gráficos poderá representar o da sua primeira derivada:

E.Nenhuma das opções anteriores.

36.

Seja $h(x)=(x^2-1)(x+1)$ uma função de domínio $\mathbb{R}$ . Indique qual das afirmações está correcta:

h(x)

tem 3 zeros em

x=-1

x=0

x=1

h(x)

tem um mínimo e não tem máximo.

h(x)

é crescente em todo o seu domínio.

h(x)

tem um ponto de inflexão em

x=-3

E.O gráfico de

h(x)

apresenta a concavidade voltada para cima no intervalo

]\frac{1}{3},+\infty[

37.

Considere o número complexo $z=i(i+1)$ . Qual o resultado da sua simplificação?

1-i

i+1

-2i

i-1

-1-i

38.

Considere a equação $z^3-4z^2+5z=0$ , onde $z$ pertence ao conjunto dos números complexos, $\mathbb{C}$ . Qual dos conjuntos representa as soluções da equação?

\{0,\,2+i,\,2-i\}

\{0,\,i,\,-i\}

\emptyset

\{1+i,\,-1+i\}

\{-i,\,i,\,-1,\,1\}

39.

Seja $f'(x)=\frac{1}{3}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)+3x^2$ a derivada de uma função real $f(x)$ . Sabendo que $f(0)=1$ , determine a primitiva de $f'(x)$ .

f(x)=-\frac{2}{3}\cos\left(\frac{x}{2}\right)+x^3+\frac{5}{3}

f(x)=\frac{2}{3}\operatorname{sen}\left(\frac{x^2}{4}\right)+x^3+1

f(x)=\frac{2}{3}\cos\left(\frac{x^2}{4}\right)+x^3+\frac{7}{3}

f(x)=-\frac{1}{6}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3x^2}{2}

f(x)=-\frac{2}{3}\cos\left(\frac{x}{2}\right)+x^3+1

40.

Seja $g(x)=(9x^2)(3x^3-2)^6$ a derivada de uma função $G(x)$ e $c\in\mathbb{R}$ . Qual a possível expressão de $G(x)$ ?

G(x)=(3x^3)\left(\frac{3}{4}x^4-2\right)^6

G(x)=(3x^3-2x)^7

G(x)=\frac{(3x^3)}{7}\left(\frac{3}{4}x^4-2\right)^7+c

G(x)=\frac{1}{7}(3x^3-2)^7+c

G(x)=(3x^3)\left(\frac{3}{4}x^4-2x\right)^7+c

Respostas

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As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-ii-2023/

Solução da questão 1

Resposta

1+2\sqrt{2}

Resolução

|-4|=4

|\sqrt{2}|=\sqrt{2}

Como

\sqrt{2}<3

, o número

\sqrt{2}-3

é negativo e

|\sqrt{2}-3|=3-\sqrt{2}

4+\sqrt{2}-(3-\sqrt{2})=1+2\sqrt{2}

Resposta: E

Erro comum. Escrever $|\sqrt{2}-3|=\sqrt{2}-3$ e chegar a $7$ .

Solução da questão 2

Resposta

x=2 \vee x=3

Resolução

O módulo não é negativo, por isso

x-1\ge0

, isto é,

x\ge1

x^2-2x-1=x-1\iff x^2-3x=0\iff x=0\vee x=3

; só

x=3

serve.

x^2-2x-1=-(x-1)\iff x^2-x-2=0\iff x=-1\vee x=2

; só

x=2

serve.

Resposta: B

Erro comum. Aceitar $x=0$ ou $x=-1$ , que tornam $x-1$ negativo.

Solução da questão 3

Resposta

[1,2]\cup[4,5]

Resolução

|x-3|\le2\iff 1\le x\le5

|x-3|\ge1\iff x\le2\vee x\ge4

A intersecção das duas condições é

[1,2]\cup[4,5]

Resposta: A

Erro comum. Resolver só $x-3\ge1$ e perder o ramo $x\le2$ .

Solução da questão 4

Resposta

a=0;\ b\in\mathbb{R}

Resolução

Ser simétrica em relação ao eixo

YY

é ser par:

f(-x)=f(x)

O gráfico de

|x-a|

tem o vértice em

x=a

, que só fica sobre o eixo

YY

a=0

f(x)=|x|+b

é par para qualquer

b

, que só desloca o gráfico na vertical.

Resposta: A

Erro comum. Exigir também $b=0$ .

Solução da questão 5

Resposta

B.Ambas funções têm o mesmo contradomínio.

Resolução

|x|^2=x^2

, logo

f(x)=x^2-4

;

g

é a mesma parábola com a parte negativa reflectida para cima.

Ambas têm domínio

\mathbb{R}

e zeros

\pm2

; D e E também são verdadeiras.

O contradomínio de

f

[-4,+\infty[

e o de

g

[0,+\infty[

: B é falsa.

Resposta: B

Em E, «crescente em $]-2,0[\,\cup\,]2,+\infty[$ » lê-se como crescente em cada um dos dois intervalos.

Erro comum. Esquecer que o módulo elimina os valores negativos de $g$ e muda o contradomínio.

Solução da questão 6

Resposta

4!\times4!

Resolução

As 4 raparigas formam um bloco; o bloco e os 3 rapazes são 4 elementos, que se ordenam de

4!

maneiras.

Dentro do bloco, as raparigas trocam de lugar de

4!

maneiras.

Total:

4!\times4!

Resposta: A

Erro comum. Multiplicar ainda por $2!$ , quando a posição do bloco já está contada nas $4!$ ordenações.

Solução da questão 7

Resposta

A_3^{35}

Resolução

Os três cargos são diferentes, por isso a ordem conta: é um arranjo.

A_3^{35}=35\times34\times33

(chefe, sub-chefe e secretário).

Resposta: D

Erro comum. Usar $C_3^{35}$ , que não distingue quem fica com cada cargo.

Solução da questão 8

Resposta

C_3^{10}\times C_5^{12}\times A_8^8

Resolução

Escolhem-se os frascos sem ordem:

C_3^{10}

modos para os de homem e

C_5^{12}

para os de mulher.

Os 8 frascos escolhidos ordenam-se na fila de

8!=A_8^8

maneiras.

Total:

C_3^{10}\times C_5^{12}\times A_8^8

Resposta: C

Erro comum. Usar arranjos na escolha e ainda multiplicar por $8!$ , o que conta a ordem duas vezes.

Solução da questão 9

Resposta

D.0,7

Resolução

P(M\cup N)=0{,}2+0{,}6-P(M\cap N)

, com

0\le P(M\cap N)\le0{,}2

Logo

0{,}6\le P(M\cup N)\le0{,}8

Das opções, só

0{,}7

está nesse intervalo.

Resposta: D

Erro comum. Somar $0{,}2+0{,}6=0{,}8$ , o que só vale se os acontecimentos forem incompatíveis.

Solução da questão 10

Resposta

\frac{1}{9}

Resolução

p

é a probabilidade de rapaz, a de rapariga é

2p

, e

p+2p=1

, logo

p=\frac{1}{3}

Os dois nascimentos são independentes:

\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}

Resposta: A

Erro comum. Tomar $p=\frac{1}{2}$ e responder $\frac{1}{4}$ .

Solução da questão 11

Resposta

-1080

Resolução

Termo geral:

\binom{5}{k}(2x)^{5-k}(-3)^k

; para ter

x^2

k=3

\binom{5}{3}(2x)^2(-3)^3=10\times4x^2\times(-27)=-1080x^2

Resposta: E

Erro comum. Esquecer de elevar o $2$ ao quadrado ou perder o sinal de $(-3)^3$ .

Solução da questão 12

Resposta

B.126

Resolução

Na linha

n

, o primeiro e o último elementos valem

1

e o segundo e o penúltimo valem

n

2+2n=20

, logo

n=9

O primeiro elemento é

\binom{9}{0}

, por isso o sexto é

\binom{9}{5}=126

Resposta: B

Erro comum. Contar o primeiro elemento como $k=1$ e calcular $\binom{9}{6}=84$ .

Solução da questão 13

Resposta

]0,+\infty[

Resolução

\log(x)

só existe para

x>0

O denominador exige

x\ne0

, que já está incluído.

Domínio:

]0,+\infty[

Resposta: C

Erro comum. Excluir só $x=0$ e esquecer a condição do logaritmo.

Solução da questão 14

Resposta

E.Tem contradomínio

]-\infty,3]

Resolução

Pelo vértice,

f(x)=a(x-1)^2+3

; de

f(-2)=-4

vem

9a+3=-4

, logo

a=-\frac{7}{9}

Com

a<0

, a parábola tem a concavidade voltada para baixo e máximo

3

: contradomínio

]-\infty,3]

Tem dois zeros e eixo de simetria

x=1

; não é par, nem injectiva, nem monótona.

Resposta: E

Erro comum. Não ver o sinal de $a$ e tomar o contradomínio $[3,+\infty[$ .

Solução da questão 15

Resposta

E.O contradomínio é

\mathbb{R}^+

Resolução

Estritamente crescente implica injectiva, logo no máximo um zero; também não pode ser par.

Como

x-1<x

, tem-se

f(x-1)<f(x)

O contradomínio pode não ser

\mathbb{R}^+

f(x)=x

tem contradomínio

\mathbb{R}

Resposta: E

Erro comum. Julgar que uma função crescente tem de ser positiva.

Solução da questão 16

Resposta

Resolução

O coeficiente de

x^2

é positivo: concavidade voltada para cima, o que exclui B e E.

Vértice em

x=1

, com

f(1)=-4

; zeros

x=-1

x=3

;

f(0)=-3

Só o gráfico C tem vértice

(1,-4)

e zeros

-1

3

Resposta: C

Erro comum. Escolher D, que tem o mínimo $-4$ mas zeros em $0$ e $4$ : é o gráfico de $x^2-4x$ .

Solução da questão 17

Resposta

A.3

Resolução

g(x)=2^{x+k}-2

g(-4)=-\frac{3}{2}

2^{k-4}-2=-\frac{3}{2}\iff 2^{k-4}=\frac{1}{2}=2^{-1}

k-4=-1

, logo

k=3

Resposta: A

Erro comum. Substituir $x=-4$ em $f$ sem somar $k$ .

Solução da questão 18

Resposta

\emptyset

Resolução

f(x)=0\iff\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)=-3

O seno só toma valores em

[-1,1]

: a equação é impossível.

Resposta: E

Erro comum. Resolver $\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)=0$ , ignorando o $+3$ .

Solução da questão 19

Resposta

C.4

Resolução

f(g(x))=2g(x)-3=-4x+1

, logo

g(x)=-2x+2

g(-1)=2+2=4

Resposta: C

Erro comum. Calcular $f(-1)=-5$ em vez de $g(-1)$ .

Solução da questão 20

Resposta

\frac{1-a^{2023}}{1-a}

Resolução

É a soma de uma progressão geométrica de primeiro termo

1

e razão

a

Os expoentes vão de

0

2022

: são

2023

termos.

S=\frac{1-a^{2023}}{1-a}

(com

a\ne1

Resposta: D

Erro comum. Contar $2022$ termos e escolher C.

Solução da questão 21

Resposta

B.20

Resolução

Primeiro termo

a

, último

9a

S_n=\frac{a+9a}{2}\,n=5an

5an=100a

, logo

n=20

Resposta: B

Erro comum. Esquecer o $\frac{1}{2}$ da fórmula da soma e obter $n=10$ .

Solução da questão 22

Resposta

3\times2^{9}

Resolução

A razão é

r=\frac{u_{2023}}{u_{2022}}=2

S_5=u_1\frac{2^5-1}{2-1}=31u_1=93

, logo

u_1=3

u_{10}=u_1r^9=3\times2^9

Resposta: D

Erro comum. Usar o expoente $10$ em vez de $9$ e escolher B.

Solução da questão 23

Resposta

B.É decrescente com

m=-3

m=2

Resolução

m^2=(m+2)(2m-3)\iff m^2+m-6=0\iff m=2\vee m=-3

Com

m=2

4,\ 2,\ 1

, decrescente.

Com

m=-3

-1,\ -3,\ -9

, também decrescente (razão

3

e termos negativos).

Resposta: B

Erro comum. Achar que uma razão maior que $1$ dá sempre uma sucessão crescente.

Solução da questão 24

Resposta

B.0,125

Resolução

a_k=\left(\frac{1}{9}\right)^k

: progressão geométrica com

a_1=\frac{1}{9}

r=\frac{1}{9}

S=\frac{a_1}{1-r}=\frac{1/9}{8/9}=\frac{1}{8}=0{,}125

Resposta: B

Erro comum. Começar em $k=0$ e obter $1{,}125$ .

Solução da questão 25

Resposta

a_n=\frac{n^2-4}{n^2}

Resolução

\frac{n^2-4}{n^2}=1-\frac{4}{n^2}\to1

, converge.

B, C e D tendem para

+\infty

Resposta: A

Erro comum. Escolher «Nenhuma» sem calcular o limite de A.

Solução da questão 26

Resposta

e^8

Resolução

\frac{3+n}{n-1}=1+\frac{4}{n-1}

: indeterminação

1^\infty

\left(1+\frac{4}{n-1}\right)^{2n}=\left[\left(1+\frac{4}{n-1}\right)^{n-1}\right]^{\frac{2n}{n-1}}\to\left(e^4\right)^2

O limite é

e^8

Resposta: E

Erro comum. Ver a base a tender para $1$ e responder $1$ .

Solução da questão 27

Resposta

-2

Resolução

x=1

dá

\frac{0}{0}

: factoriza-se.

\frac{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+2)}=(x+1)(x-2)

x=1

2\times(-1)=-2

Resposta: A

Erro comum. Parar em $\frac{0}{0}$ e responder $0$ ou infinito.

Solução da questão 28

Resposta

40\sqrt{5}

Resolução

2x^2-50=2(x-5)(x+5)

x-5=(\sqrt{x}-\sqrt{5})(\sqrt{x}+\sqrt{5})

A fracção fica

2(x+5)(\sqrt{x}+\sqrt{5})

x=5

2\times10\times2\sqrt{5}=40\sqrt{5}

Resposta: A

Erro comum. Perder o factor $\sqrt{x}+\sqrt{5}$ ao simplificar.

Solução da questão 29

Resposta

\pm\infty

Resolução

\lim g(x)=L

fosse finito,

\frac{g(x)}{x^2}\to0

, o que contradiz

k\ne0

Então

g(x)

comporta-se como

kx^2

: tende para

+\infty

k>0

e para

-\infty

k<0

Resposta: E

Aqui «existe» inclui o limite infinito; $\pm\infty$ quer dizer $+\infty$ ou $-\infty$ , conforme o sinal de $k$ .

Erro comum. Escolher um valor finito por ler «existe» como «é finito».

Solução da questão 30

Resposta

a=\frac{1}{2};\ b=\frac{1}{4}

Resolução

Para

0<x<4

\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}

Continuidade em

0

a=\lim_{x\to0^+}\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{2}

Continuidade em

4

b=\lim_{x\to4^-}\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{4}

Resposta: D

Erro comum. Trocar os dois pontos e obter $a=\frac{1}{4}$ .

Solução da questão 31

Resposta

\frac{2x}{x^2-2}

Resolução

f(x)=\ln(x^2-2)-\ln2

f'(x)=\frac{2x}{x^2-2}

(a constante

\ln2

desaparece).

Resposta: A

Erro comum. Usar $u'=2x$ com $u=\frac{x^2-2}{2}$ e obter $\frac{4x}{x^2-2}$ .

Solução da questão 32

Resposta

C.1

Resolução

\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}

, com

u=f+g

u(2)=4-3=1

u'(2)=-2+1=-1

Valor:

-\frac{-1}{1^2}=1

Resposta: C

Erro comum. Esquecer o sinal menos da derivada de $\frac{1}{u}$ e responder $-1$ .

Solução da questão 33

Resposta

(0,0)

(-2,2)

Resolução

Paralela a

y=x

quer dizer declive

1

f'(x)=1

f'(x)=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}=1\iff x+1=\pm1\iff x=0\vee x=-2

f(0)=0

f(-2)=\frac{-2}{-1}=2

: pontos

(0,0)

(-2,2)

Resposta: D

Erro comum. Considerar só $x+1=1$ e escolher A.

Solução da questão 34

Resposta

B.Máx.

M(0,3)

; Mín.

P(2,-1)

Resolução

f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)

, que se anula em

x=0

x=2

f'

é positiva antes de

0

, negativa em

]0,2[

e positiva depois de

2

Máximo

f(0)=3

, em

(0,3)

; mínimo

f(2)=8-12+3=-1

, em

(2,-1)

Resposta: B

Erro comum. Trocar o máximo com o mínimo.

Solução da questão 35

Resposta

Resolução

Num máximo em

x=2

f'(2)=0

f'

passa de positiva a negativa.

C é uma recta decrescente que corta o eixo em

2

, de cima para baixo.

A passa de negativa a positiva (mínimo); B e D tocam o eixo em

2

sem mudar de sinal.

Resposta: C

Erro comum. Escolher B, que tem o máximo em $x=2$ , confundindo o gráfico de $f'$ com o de $f$ .

Solução da questão 36

Resposta

E.O gráfico de

h(x)

apresenta a concavidade voltada para cima no intervalo

]\frac{1}{3},+\infty[

Resolução

h(x)=(x-1)(x+1)^2

: os zeros são

-1

1

, e não

0

h'(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)

: máximo relativo em

x=-1

e mínimo em

x=\frac{1}{3}

, logo não é sempre crescente.

h''(x)=6x+2

: inflexão em

x=-\frac{1}{3}

h''>0

para

x>-\frac{1}{3}

, em particular em

\left]\frac{1}{3},+\infty\right[

Resposta: E

Erro comum. Rejeitar E porque o intervalo não começa no ponto de inflexão $-\frac{1}{3}$ .

Solução da questão 37

Resposta

i-1

Resolução

z=i\cdot i+i=i^2+i

Como

i^2=-1

z=-1+i=i-1

Resposta: D

Erro comum. Usar $i^2=1$ e obter $1+i$ .

Solução da questão 38

Resposta

\{0,\,2+i,\,2-i\}

Resolução

z(z^2-4z+5)=0

, logo

z=0

z^2-4z+5=0

z=\frac{4\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{4\pm2i}{2}=2\pm i

Resposta: A

Erro comum. Esquecer a solução $z=0$ .

Solução da questão 39

Resposta

f(x)=-\frac{2}{3}\cos\left(\frac{x}{2}\right)+x^3+\frac{5}{3}

Resolução

\int\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)dx=-2\cos\left(\frac{x}{2}\right)

\int3x^2\,dx=x^3

f(x)=-\frac{2}{3}\cos\left(\frac{x}{2}\right)+x^3+C

f(0)=-\frac{2}{3}+C=1

, logo

C=\frac{5}{3}

Resposta: A

Erro comum. Tomar $C=1$ , esquecendo que $\cos0=1$ , e escolher E.

Solução da questão 40

Resposta

G(x)=\frac{1}{7}(3x^3-2)^7+c

Resolução

9x^2

é a derivada de

u=3x^3-2

, logo

g=u'u^6

Uma primitiva de

u'u^6

\frac{u^7}{7}

G(x)=\frac{1}{7}(3x^3-2)^7+c

Resposta: D

Erro comum. Primitivar cada factor separadamente, como em C.