Matematica II 2024

UEM
40 questões
180 minutos
40 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de admissão de Matemática II | 2024

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro à lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, à esferográfica (de cor azul ou preta).

Por definição $|x|$ é igual a:

x

-x

\begin{cases} x & \text{se } x>0 \\ -x & \text{se } x\le 0 \end{cases}

-x \wedge x

\begin{cases} -x & \text{se } x>0 \\ x & \text{se } x\le 0 \end{cases}

O módulo de um número é:

A.Sempre positivo

B.Não pode ser zero

C.Pode ser negativo

D.Sempre positivo ou igual a zero

E.É igual a esse número

A diferença entre dois números reais, sendo um deles 3, é 5. Traduzindo matematicamente tem-se:

|x-5|=3

|5-3|=x

|x-3|=5

x-3=5

x-5=3

A solução da inequação $|2-x|\le 7$ é:

x\le 5 \vee x\ge 9

5<x<9

x\le 2 \vee x\ge 7

2<x<7

5\le x\le 9

No gráfico abaixo está representada a função $y=g(x)$ .

O gráfico que representa $y=|g(x)|$ é:

E.Nenhuma das alternativas anteriores.

$^{2}C_{5}$ é igual a:

A.10

B.20

C.30

D.40

E.50

$^{2}A_{5}$ é igual a:

A.10

B.20

C.30

D.40

E.50

$P_5$ é igual a:

A.110

B.120

C.130

D.140

E.150

Entre um grupo de 12 alunos, o professor deve escolher 3 para representar a turma. De quantas formas diferentes poderá ser feita a escolha?

^{3}C_{12}

^{3}A_{12}

P_{12}

D.4

E.36

10.

De quantas maneiras se pode sentar uma família de 4 membros numa mesa de 4 lugares?

A.1

B.4

C.12

D.24

E.120

11.

A probabilidade de sair um número primo no lançamento de um dado é:

\frac{1}{3}

\frac{1}{2}

\frac{1}{6}

\frac{2}{3}

\frac{5}{6}

12.

Nota do teste	10	12	13	14	15
Frequência	8	3	4	2	1

A tabela acima mostra a frequência das notas positivas numa prova de Matemática de uma turma. Os testes com nota positiva foram guardados numa gaveta. O professor tirou ao acaso uma prova. A probabilidade de a nota ser superior a 13 é:

\frac{1}{6}

\frac{43}{21}

\frac{7}{18}

\frac{5}{6}

\frac{5}{18}

13.

O termo geral da sucessão $3, \frac{5}{4}, \frac{7}{9}, \frac{9}{16}, \frac{11}{25},\dots$ é:

\frac{2n-1}{n^2}

\frac{2n+1}{(n+1)^2}

\frac{n+2}{n^2}

\frac{n+1}{n^2}

\frac{2n+1}{n^2}

Dada a sucessão $u_n=\dfrac{2n}{3n+5}$ , responda às questões de 14 a 18.

14.

A ordem do termo $\frac{21}{34}$ é:

A.22

B.20

C.23

D.21

E.24

15.

A sucessão é limitada no intervalo:

\frac14<x<\frac25

\frac12\le x\le\frac23

\frac14\le x<\frac23

\frac25<x\le\frac12

\frac23<x\le\frac14

16.

A sucessão é:

A.Monótona crescente

B.Constante

C.Alternada

D.Monótona decrescente

E.Nenhuma das alternativas

17.

O enésimo primeiro termo da sucessão é:

\frac{2n+1}{3n}

\frac{2n+2}{3n+3}

\frac{2n+1}{3n+5}

\frac{2n+2}{3n+8}

\frac{2n+2}{3n+5}

18.

$\lim u_n$ é:

\frac73

\infty

C.0

\frac14

\frac23

19.

A soma dos dez primeiros termos de uma progressão aritmética é 255. Sabendo que o segundo termo é 8, a razão e o primeiro termo são:

d=3\wedge a_1=\pm 5

d=3\wedge a_1=5

d=5\wedge a_1=3

d=3\wedge a_1=-5

d=-5\wedge a_1=3

20.

Numa Progressão geométrica o quarto termo é $-24$ e o sétimo $-192$ . A razão e o primeiro termo são:

q=2\wedge a_1=3

q=-2\wedge a_1=3

q=-2\wedge a_1=-3

q=2\wedge a_1=-3

q=2\wedge a_1=4

21.

A soma dos termos da sucessão $\frac23,\frac13,\frac16,\frac1{12},\dots$ é

\frac12

-\frac23

\frac16

\frac43

\frac56

22.

O $\displaystyle\lim_{x\to -2}\frac{x^2+3x+2}{x^2-4}$ é:

-\frac14

\frac14

+\infty

-\infty

E.1

23.

O $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x-\sqrt{x+2}}{2x}$ é:

-\infty

+\infty

\frac12

D.1

E.0

24.

A primeira derivada de $y=(3x^2-4x)^2$ é:

y'=2(3x^2-4x)

y'=6(3x^2-4x)(x-2)

y'=4(3x^2-4x)(3x-2)

y'=2(3x^2-4x)(2x^2-4)

y'=3(3x^2-4x)(6x-4)

25.

Os extremos da função $y=\frac13x^3-4x$ são:

x_{\min}=1\wedge x_{\max}=2

x_{\min}=2\wedge x_{\max}=1

x_{\min}=-2\wedge x_{\max}=2

x_{\min}=\pm2

x_{\min}=2\wedge x_{\max}=-2

26.

A função $f(x)=\begin{cases} x^3-3x & \text{se } x\ne 1\\ a^2-6 & \text{se } x=1\end{cases}$ é contínua se:

a=2

a=-2

a=0

a=1

a=\pm2

27.

A recta $y=-5x-1$ é tangente à curva $y=x^2-3x$ no ponto $(-1,4)$ , então $f'(-1)$ é igual a:

-5

-3

-1

D.0

E.1

Seja $g(x)=\dfrac{-6+x}{3-x}$ . Responda às questões de 28 a 30.

28.

O domínio de $g(x)$ é:

x=3

x=-3

x\ne 3

x\ne -3

x=2

29.

$g(x)=2$ se:

x=-4

x=0

x=3

x=4

x>3

30.

A primeira derivada de $g(x)$ é:

\frac{-2x-3}{(3-x)^2}

\frac{-1}{(3-x)^2}

\frac{-2x+9}{(3-x)^2}

\frac{-3}{(3-x)^2}

\frac{3}{(3-x)^2}

Com base no gráfico, responda às questões de 31 a 34.

31.

A função é:

A.Contínua em

\mathbb{R}

B.Descontínua com salto de

1.^{a}

espécie em

x=3

C.Descontínua com salto de

2.^{a}

espécie em

x=3

D.Descontínua eliminável em

y=2

E.Descontínua eliminável em

x=3

32.

A função é monótona decrescente:

A.Apenas em

]-\infty,1[

]-\infty,1]\cup]3,+\infty[

]-\infty,1[\cup]3,+\infty[

]-\infty,1[\cup[3,+\infty[

E.Nenhuma das alternativas anteriores

33.

É falso dizer que:

A.Os zeros da função são

x=0\vee x=2

B.A função tem uma assímptota horizontal

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

D.A função tem um mínimo relativo em

x=1

E.O coeficiente angular da recta tangente à curva em

x=-1

é negativo

34.

Em $x=3$ :

A.A função é contínua

\displaystyle\lim_{x\to3}f(x)=f(3)

C.A função não está definida.

\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)\ne\lim_{x\to3^+}f(x)

\displaystyle\lim_{x\to3}f(x)=3

Na figura está representada a função $y=h(x)$ . Responda às questões de 35 a 38.

35.

As assímptotas são:

Ah: x=-1{,}5

;

Av: y=0

Ah: x=0

;

Av: y=0

Ah: x=0

;

Av: y=1{,}5

Ah: x=0

;

Av: y=-1{,}5

Ah: x=1{,}5

;

Av: y=0

36.

O valor de $y=h\circ h(-1)$ é:

A.0

B.1

C.1.5

+\infty

-\infty

37.

É verdade que:

\displaystyle\lim_{x\to1{,}5^-}h(x)=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to1{,}5^+}h(x)=+\infty

\displaystyle\lim_{x\to1{,}5^-}h(x)=-\infty

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}h(x)=0

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}h(x)=-3

38.

A função tem um ponto de inflexão em:

x=1

x=1{,}5

y=0

y=1{,}5

x=0

39.

A primitiva de $y=x^2-\frac1x$ é:

y=x^3-\frac{1}{x^2}

y=x^3-\ln x

y=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{x^2}

y=\frac{x^3}{3}-\ln x

y=2x-\frac{1}{x^2}

40.

O(s) valor(es) que torna(m) o número complexo $z=k+(k^2-1)i$ num número real é (são):

k\in\mathbb{R}

k=1

k\in\mathbb{R}^+

k=\pm1

k=-1

Respostas

Matematica II 2024 · UEM · admitela.com

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-ii-2024/

Solução da questão 1

Resposta

\begin{cases} x & \text{se } x>0 \\ -x & \text{se } x\le 0 \end{cases}

Resolução

O módulo nunca é negativo:

|x|=x

quando

x

é positivo e

|x|=-x

quando

x

é negativo; para

x=0

os dois ramos dão 0.

É a definição por ramos da C. A E tem os ramos trocados: daria

|3|=-3

Resposta: C

Erro comum. Escolher B por pensar que o módulo troca sempre o sinal; só troca o dos números negativos.

Solução da questão 2

Resposta

D.Sempre positivo ou igual a zero

Resolução

|x|

é a distância de

x

à origem, e uma distância nunca é negativa.

Pode ser zero:

|0|=0

. Por isso não é «sempre positivo», mas positivo ou igual a zero.

Resposta: D

Erro comum. Escolher A e esquecer que $|0|=0$ .

Solução da questão 3

Resposta

|x-3|=5

Resolução

Seja

x

o outro número. A diferença pode ser

x-3

3-x

, porque não se sabe qual dos dois é o maior.

O módulo cobre os dois casos:

|x-3|=5

, que dá

x=8

x=-2

Resposta: C

Erro comum. Escrever $x-3=5$ (D) e perder a solução $x=-2$ .

Solução da questão 4

Resposta

5\le x\le 9

Resolução

|2-x|\le7\iff-7\le2-x\le7

Subtraindo 2:

-9\le-x\le5

. Multiplicando por

-1

, as desigualdades invertem-se:

-5\le x\le9

A única alternativa com um intervalo fechado que acaba em 9 é a E.

Resposta: E

A E está impressa sem o sinal menos: a solução certa é $-5\le x\le9$ .

Erro comum. Não inverter as desigualdades ao multiplicar por $-1$ .

Solução da questão 5

Resposta

Resolução

O gráfico de

|g(x)|

mantém a parte do gráfico de

g

que está acima do eixo

x

e reflecte para cima a parte que está abaixo.

Os zeros não mudam: ficam em

x=-1

x=2

. Entre eles, a parábola passa a um arco acima do eixo, que corta o eixo

y

em 10 e tem o máximo à direita do eixo

y

, como o vértice de

g

A tem os zeros em

-2

1

; B e D são simétricos em relação ao eixo

y

, o que

|g(x)|

não é. Só a C serve.

Resposta: C

Erro comum. Escolher A, cujo arco tem o máximo à esquerda do eixo $y$ : é o gráfico de $|g(-x)|$ .

Solução da questão 6

Resposta

A.10

Resolução

^{2}C_{5}

são as combinações de 5 elementos 2 a 2:

\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{5\times4}{2}=10

Resposta: A

Erro comum. Não dividir por $2!$ e obter 20, que são os arranjos (B).

Solução da questão 7

Resposta

B.20

Resolução

^{2}A_{5}

são os arranjos de 5 elementos 2 a 2:

\dfrac{5!}{3!}=5\times4=20

Resposta: B

Erro comum. Dividir por $2!$ e obter 10, que são as combinações (A).

Solução da questão 8

Resposta

B.120

Resolução

P_5=5!=5\times4\times3\times2\times1=120

Resposta: B

Erro comum. Parar o produto a meio, por exemplo $5\times4\times3=60$ .

Solução da questão 9

Resposta

^{3}C_{12}

Resolução

Num grupo de representantes a ordem não conta: escolher Ana, Beto e Carla é o mesmo que escolher Carla, Ana e Beto.

São combinações de 12 elementos 3 a 3:

^{3}C_{12}=\dfrac{12\times11\times10}{3!}=220

Resposta: A

Erro comum. Usar arranjos (B), que contam como diferentes os mesmos três alunos por outra ordem.

Solução da questão 10

Resposta

D.24

Resolução

Cada maneira é uma ordem diferente das 4 pessoas nos 4 lugares: permutações de 4.

P_4=4!=4\times3\times2\times1=24

Resposta: D

Erro comum. Responder 4 (B), contando só quem se senta no primeiro lugar.

Solução da questão 11

Resposta

\frac{1}{2}

Resolução

Um dado tem 6 faces; os primos são 2, 3 e 5 (o 1 não é primo).

P=\dfrac{3}{6}=\dfrac12

Resposta: B

Erro comum. Contar o 1 como primo e obter $\frac46=\frac23$ (D).

Solução da questão 12

Resposta

\frac{1}{6}

Resolução

Casos possíveis:

8+3+4+2+1=18

provas.

Notas superiores a 13 são 14 e 15:

2+1=3

provas.

P=\dfrac{3}{18}=\dfrac16

Resposta: A

Erro comum. Incluir a nota 13 e obter $\frac{7}{18}$ (C).

Solução da questão 13

Resposta

\frac{2n+1}{n^2}

Resolução

Escrevendo

3=\frac31

, os numeradores são 3, 5, 7, 9, 11, ou seja,

2n+1

Os denominadores são 1, 4, 9, 16, 25, ou seja,

n^2

. Logo

u_n=\dfrac{2n+1}{n^2}

Confirmação:

u_1=\frac31=3

u_2=\frac54

Resposta: E

Erro comum. Esquecer que o primeiro termo é $\frac31$ e escolher B, que dá $u_1=\frac34$ .

Solução da questão 14

Resposta

D.21

Resolução

\dfrac{2n}{3n+5}=\dfrac{21}{34}\iff68n=63n+105\iff5n=105\iff n=21

Confirmação:

u_{21}=\dfrac{42}{68}=\dfrac{21}{34}

Resposta: D

Erro comum. Igualar só os numeradores, $2n=21$ , que nem dá um número natural.

Solução da questão 15

Resposta

\frac14\le x<\frac23

Resolução

u_{n+1}-u_n=\dfrac{10}{(3n+8)(3n+5)}>0

: a sucessão é crescente e o menor termo é

u_1=\frac28=\frac14

Os termos aproximam-se de

\frac23

sem o atingir, porque

\dfrac{2n}{3n+5}<\dfrac{2n}{3n}=\dfrac23

Logo

\frac14\le u_n<\frac23

Resposta: C

Erro comum. Fechar o extremo $\frac23$ (B), que nenhum termo atinge.

Solução da questão 16

Resposta

A.Monótona crescente

Resolução

u_{n+1}-u_n=\dfrac{2n+2}{3n+8}-\dfrac{2n}{3n+5}=\dfrac{(2n+2)(3n+5)-2n(3n+8)}{(3n+8)(3n+5)}=\dfrac{10}{(3n+8)(3n+5)}

A diferença é positiva para todo o

n

: a sucessão é monótona crescente (

\frac14

\frac4{11}

\frac37

, …).

Resposta: A

Erro comum. Escolher D por ver o denominador crescer, esquecendo que o numerador também cresce.

Solução da questão 17

Resposta

\frac{2n+2}{3n+8}

Resolução

O termo seguinte ao de ordem

n

u_{n+1}

: troca-se

n

por

n+1

em toda a expressão.

u_{n+1}=\dfrac{2(n+1)}{3(n+1)+5}=\dfrac{2n+2}{3n+8}

Resposta: D

Erro comum. Trocar $n$ por $n+1$ só no numerador e obter $\frac{2n+2}{3n+5}$ (E).

Solução da questão 18

Resposta

\frac23

Resolução

Dividindo por

n

\lim\dfrac{2n}{3n+5}=\lim\dfrac{2}{3+\frac5n}=\dfrac23

, porque

\frac5n\to0

Resposta: E

Erro comum. Responder $\infty$ (B) por haver $n$ no numerador, esquecendo que também está no denominador.

Solução da questão 19

Resposta

d=5\wedge a_1=3

Resolução

a_2=a_1+d=8

, logo

a_1=8-d

S_{10}=\dfrac{10}{2}(2a_1+9d)=255\iff2a_1+9d=51

2(8-d)+9d=51\iff7d=35\iff d=5

, e

a_1=8-5=3

Resposta: C

Erro comum. Escolher B só porque $5+3=8$ dá o segundo termo, sem verificar a soma: com $d=3$ e $a_1=5$ , $S_{10}=185$ .

Solução da questão 20

Resposta

q=2\wedge a_1=-3

Resolução

Do quarto ao sétimo termo multiplica-se três vezes pela razão:

a_7=a_4\,q^3

-192=-24\,q^3\iff q^3=8\iff q=2

a_4=a_1q^3\iff-24=8a_1\iff a_1=-3

Resposta: D

Erro comum. Pôr o sinal negativo na razão (C): com $q=-2$ e $a_1=-3$ , o quarto termo seria $24$ .

Solução da questão 21

Resposta

\frac43

Resolução

Cada termo é metade do anterior: progressão geométrica com

a_1=\frac23

q=\frac12

Como

|q|<1

, a soma de todos os termos é

S=\dfrac{a_1}{1-q}=\dfrac{\frac23}{\frac12}=\dfrac43

Resposta: D

Erro comum. Somar só os termos escritos, $\frac23+\frac13+\frac16+\frac1{12}=\frac54$ , em vez de todos os termos.

Solução da questão 22

Resposta

\frac14

Resolução

x=-2

fica

\frac00

: factoriza-se.

x^2+3x+2=(x+1)(x+2)

x^2-4=(x-2)(x+2)

\displaystyle\lim_{x\to-2}\frac{x+1}{x-2}=\frac{-1}{-4}=\frac14

Resposta: B

Erro comum. Perder um sinal na conta final e responder $-\frac14$ (A).

Solução da questão 23

Resposta

\frac12

Resolução

Divide-se tudo por

x

\dfrac{x-\sqrt{x+2}}{2x}=\dfrac{1-\frac{\sqrt{x+2}}{x}}{2}

\dfrac{\sqrt{x+2}}{x}=\sqrt{\dfrac1x+\dfrac2{x^2}}\to0

, logo o limite é

\dfrac{1-0}{2}=\dfrac12

Resposta: C

Erro comum. Responder 0 (E), achando que o numerador perde para o denominador.

Solução da questão 24

Resposta

y'=4(3x^2-4x)(3x-2)

Resolução

Regra da cadeia:

(u^2)'=2u\,u'

, com

u=3x^2-4x

u'=6x-4

y'=2(3x^2-4x)(6x-4)=4(3x^2-4x)(3x-2)

, pondo 2 em evidência em

6x-4

Resposta: C

Erro comum. Esquecer de multiplicar pela derivada de dentro (A).

Solução da questão 25

Resposta

x_{\min}=2\wedge x_{\max}=-2

Resolução

y'=x^2-4=0\iff x=-2\ \vee\ x=2

y''=2x

: em

x=2

y''=4>0

(mínimo); em

x=-2

y''=-4<0

(máximo).

Resposta: E

Erro comum. Trocar o mínimo com o máximo (C).

Solução da questão 26

Resposta

a=\pm2

Resolução

Fora de

x=1

a função é polinomial; falta a continuidade em

x=1

\displaystyle\lim_{x\to1}(x^3-3x)=1-3=-2

Tem de ser

f(1)=-2

a^2-6=-2\iff a^2=4\iff a=\pm2

Resposta: E

Erro comum. Ficar só com $a=2$ (A), esquecendo que $(-2)^2=4$ também serve.

Solução da questão 27

Resposta

-5

Resolução

f'(-1)

é o declive da tangente no ponto de abcissa

-1

. A tangente é

y=-5x-1

, de declive

-5

Confirmação:

f'(x)=2x-3

f'(-1)=-2-3=-5

Resposta: A

Erro comum. Tomar o termo independente da recta, $-1$ (C), pelo declive.

Solução da questão 28

Resposta

x\ne 3

Resolução

O denominador não se pode anular:

3-x\ne0\iff x\ne3

Resposta: C

Erro comum. Responder $x=3$ (A), que é o valor excluído e não o domínio.

Solução da questão 29

Resposta

x=4

Resolução

\dfrac{-6+x}{3-x}=2\iff-6+x=6-2x\iff3x=12\iff x=4

, com

x\ne3

Confirmação:

g(4)=\dfrac{-2}{-1}=2

Resposta: D

Erro comum. Multiplicar o 2 só pelo 3 e escrever $-6+x=6-x$ .

Solução da questão 30

Resposta

\frac{-3}{(3-x)^2}

Resolução

Regra do quociente, com

u=x-6

v=3-x

u'=1

v'=-1

g'(x)=\dfrac{1\cdot(3-x)-(x-6)(-1)}{(3-x)^2}=\dfrac{3-x+x-6}{(3-x)^2}=\dfrac{-3}{(3-x)^2}

Resposta: D

Erro comum. Errar o sinal de $-u\,v'$ e obter $\frac{-2x+9}{(3-x)^2}$ (C).

Solução da questão 31

Resposta

E.Descontínua eliminável em

x=3

Resolução

x=3

os dois ramos chegam à bola aberta de ordenada 3:

\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^+}f(x)=3

Mas

f(3)=1

(bola cheia). O limite existe e é diferente de

f(3)

: a descontinuidade é eliminável, em

x=3

Não é salto, porque os limites laterais são iguais; e

y=2

é a assímptota, não o lugar da descontinuidade.

Resposta: E

Erro comum. Chamar salto (B) a uma descontinuidade em que os limites laterais coincidem.

Solução da questão 32

Resposta

]-\infty,1[\cup]3,+\infty[

Resolução

Da esquerda para a direita, a função desce até ao mínimo em

x=1

, sobe de

x=1

x=3

e volta a descer a partir de

x=3

O ponto

x=3

fica de fora:

f(3)=1

é menor do que os valores logo à direita de 3.

Intervalos de monotonia, abertos:

]-\infty,1[\,\cup\,]3,+\infty[

Resposta: C

A função também decresce em $]-\infty,1]$ , com o 1 incluído; a B só fica de fora pela convenção, que o exame segue, de escrever abertos os intervalos de monotonia.

Erro comum. Incluir $x=3$ (D), sem reparar que $f(3)=1$ fica abaixo do ramo da direita.

Solução da questão 33

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty

Resolução

A: a curva corta o eixo

x

em 0 e em 2 (verdadeira). B: aproxima-se da recta

y=2

, que é assímptota horizontal (verdadeira).

C: para a direita,

f(x)

tende para 2, não para

+\infty

(falsa).

D: em

x=1

há um mínimo relativo (verdadeira). E: em

x=-1

a função decresce, logo a tangente tem declive negativo (verdadeira).

Resposta: C

Erro comum. Não reparar que se pede a afirmação falsa.

Solução da questão 34

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to3}f(x)=3

Resolução

Os dois ramos aproximam-se da bola aberta de ordenada 3:

\displaystyle\lim_{x\to3}f(x)=3

, e os limites laterais são iguais (D falsa).

f(3)=1

(bola cheia): a função está definida (C falsa), mas o limite não é

f(3)

, por isso não é contínua (A e B falsas).

Resposta: E

Erro comum. Tomar o valor da bola cheia, 1, pelo limite.

Solução da questão 35

Resposta

Ah: x=1{,}5

;

Av: y=0

Resolução

Junto da recta tracejada

x=1{,}5

a curva vai para

+\infty

à esquerda e para

-\infty

à direita: é a assímptota vertical.

Para a direita, a curva aproxima-se do eixo

x

, a recta

y=0

: é a assímptota horizontal.

As rectas

x=1{,}5

y=0

são as da E.

Resposta: E

Todas as alternativas trocam os nomes: na E, $x=1{,}5$ aparece como $Ah$ e $y=0$ como $Av$ , mas são estas as assímptotas.

Erro comum. Escolher C, com $y=1{,}5$ , tomando a recta vertical $x=1{,}5$ por horizontal.

Solução da questão 36

Resposta

B.1

Resolução

h\circ h(-1)=h\big(h(-1)\big)

: calcula-se de dentro para fora.

A curva corta o eixo

x

x=-1

, logo

h(-1)=0

x=0

a curva passa no ponto de ordenada 1, logo

h(0)=1

. Assim,

h\circ h(-1)=1

Resposta: B

Erro comum. Parar em $h(-1)=0$ (A) e não aplicar $h$ uma segunda vez.

Solução da questão 37

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to1{,}5^-}h(x)=+\infty

Resolução

À esquerda de

x=1{,}5

a curva sobe sem limite:

\displaystyle\lim_{x\to1{,}5^-}h(x)=+\infty

(A verdadeira, C falsa).

À direita de

x=1{,}5

a curva vem de baixo sem limite: o limite em

1{,}5^+

-\infty

(B falsa).

Para

x\to-\infty

a curva desce sem limite: não tende para 0 nem para

-3

(D e E falsas).

Resposta: A

Erro comum. Trocar os limites laterais junto da assímptota vertical.

Solução da questão 38

Resposta

x=0

Resolução

Um ponto de inflexão é onde a concavidade muda de sentido, e indica-se pela abcissa.

À esquerda do eixo

y

a curva tem a concavidade voltada para baixo; a partir de

x=0

fica voltada para cima, até à assímptota.

A mudança dá-se em

x=0

. A recta

x=1{,}5

é a assímptota e não pertence ao domínio.

Resposta: E

Erro comum. Tomar a assímptota $x=1{,}5$ (B) por ponto de inflexão.

Solução da questão 39

Resposta

y=\frac{x^3}{3}-\ln x

Resolução

Primitiva-se termo a termo: uma primitiva de

x^2

\dfrac{x^3}{3}

e uma de

\dfrac1x

\ln|x|

, que para

x>0

\ln x

\displaystyle\int\left(x^2-\frac1x\right)dx=\frac{x^3}{3}-\ln x+C

; com

C=0

, é a D.

Resposta: D

Erro comum. Não dividir pelo novo expoente e ficar com $x^3$ em vez de $\frac{x^3}{3}$ (B).

Solução da questão 40

Resposta

k=\pm1

Resolução

z

é real quando a parte imaginária é nula:

k^2-1=0

k^2=1\iff k=1\ \vee\ k=-1

, ou seja,

k=\pm1

Resposta: D

Erro comum. Ficar só com $k=1$ (B), esquecendo a raiz negativa.