Matemática III 2022

UEM
40 questões
90 minutos
39 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de Admissão de Matemática III

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro a lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, à esferográfica (de cor azul ou preta).

Determine a solução da equação $|-3 + x| = -3$ :

x=0

x=6

x=0

x=6

D.Nenhuma delas

E.Não tem solução

$y = |ax^2 + bx + c|$ é uma função:

A.Positiva

B.Positiva quando

x \geq 0

e negativa caso contrário

C.Par

D.Ímpar

E.Não negativa

Determine a solução da inequação $|x-2||x-3| < 0$

x \in \mathbb{R}\setminus\{2,3\}

x \in \emptyset

x \geq 2

x \geq 3

D.Nenhuma delas

x \in ]2,3[

$a$ e $|a|$ são sempre dois números...

A.com valores simétricos.

B.com o mesmo valor.

C.valores recíprocos.

D.com valores iguais ou simétricos.

E.Nenhuma delas

O Domínio de uma função modular deve sempre ser...

A.o conjunto de números reais.

B.nenhuma delas.

C.positivos.

D.simétrico.

E.não negativo.

Quantas permutações das letras ABCDEFGH contêm a palavra ABC?

A.720

B.120

C.4

D.Permutação de 8

E.6

Para fazer uma bandeira com cores branca, amarela, verde, vermelha e preta, decidiu-se que duas das cores vão ficar na posição vertical e as restantes 3 cores nas posições horizontais. Quantas bandeiras diferentes podem ser produzidas?

A.18

5!

C.6

D.12

E.3

Um estudante pode escolher um projecto de estudo de entre 3 listas, a primeira tem 23 projectos, a segunda tem 15 projectos e a terceira tem 19 projectos. Quantas alternativas de escolha tem o estudante? (Onde $C_n^r$ representa a combinação de n elementos r a r).

A.6555

B.57

23C_{19}^{15}

19C_{23}^{15}

E.Inversamente proporcional em k

Uma empresa recebeu candidaturas para ocupar 2 vagas. 220 candidatos concorreram para vaga A, 147 para a vaga B e 51 concorreram para 2 vagas. Quantos candidatos concorreram somente para a vaga A?

A.271

B.350

C.220

D.169

E.Nenhuma delas

10.

De quantas formas podem ser selecionados 49 estudantes de uma turma de 52? Onde $A_n^r$ representa o arranjo de n elementos r a r.

A.22100

B.3

A_{52}^{49}

D.2548

E.Nenhuma delas

11.

Quantas palavras de comprimento r podem ser construídas com um alfabeto de n letras?

A.nr

\frac{n!}{(n-r)!}

\frac{n!}{n!(n-r)!}

n^r

E.Nenhuma delas

12.

A $C_n^k$ ( $C_n^k$ é a combinação de n elementos k a k)...

A.é uma operação usada para fazer agrupamentos com repetições múltiplas.

B.é uma operação usada para fazer agrupamentos com apenas uma repetição.

C.produz grupos sem repetição.

D.faz arranjos de elementos de um conjunto.

E.Nenhuma delas

13.

Seja $f(x)$ uma função par, então:

f(x)=f(2x)

f(x)=|f(x)|

f(x)-f(-x)=0

-f(x)=f(-x)

f(x)=2f(g(x))

para uma função

g(x)

no mesmo domínio da função

f(x)

14.

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções lineares, a composição destas $f[g(x)]$ ou $g[f(x)]$ serão...

A.funções iguais.

B.funções simétricas.

C.funções recíprocas.

D.funções lineares.

E.funções de ordem superior a linear.

15.

A função $f(x)=x^2-4x+c$ tem raízes diferentes se e somente se:

A.c = 4

B.c < 4

C.c > 4

D.c

\leq

E.c

\geq

16.

Os arcos de uma ponte são descritos por uma função $f(x)=-x^2+2x,\ x\in\,]-3,0]$ . Sabendo que $f(x)$ é periódica e de período igual a 3, determine $f(7)$ .

A.15

B.3

C.0

D.2

E.-8

17.

As funções $f(x)=2x^2-3x+3$ e $g(x)=-x+4$ são definidas no mesmo domínio. Determine os pontos de interseção entre elas.

A.Não existem pontos de intersecção

x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}

x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}

x=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}

E.Nenhuma delas

18.

A imagem da função $f(x)=5\cos(2x)+1$ encontra-se em:

A.[-1, 1]

B.[-5, 5]

C.[0, 1]

D.[-4, 6]

E.Nenhuma delas

19.

O número de bons ovos em um galinheiro é aproximadamente igual a $E(n)=2n^2+\frac{n-1}{4}$ onde n representa o número de dias desde a criação do galinheiro. Quantos ovos bons existiam no início da criação e quantos depois de 24 horas?

A.0 e 2 respectivamente

B.0 ovos

-0.25

e 2

-0.25

E.2

20.

Determine o termo geral da sucessão $\frac{5}{3}, \frac{7}{8}, \frac{9}{15}, \dots$

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1},\ n=1,2,3,\dots

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1},\ n=0,1,2,3,\dots

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1},

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1},\ n=2,3,\dots

E.Nenhuma delas

21.

Determine a soma dos primeiros 12 termos da sucessão 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...,

S_{12}=375

S_{12}=\frac{1-r^n}{1-r}

S_{12}=6(a_1+a_{12})

S_{12}=350

E.Nenhuma delas

22.

Diz-se que uma sucessão $a_n$ é estritamente crescente se...

A.os valores de

n

forem crescentes.

B.os valores de n forem crescentes na medida em que

a_n

for crescendo.

C.os valores de

a_n

forem crescendo na medida em que o

n

vai crescendo.

D.os valores de

a_n

forem crescendo ou constantes na medida em que o

n

for crescendo.

E.Nenhuma delas

23.

No fim de 131 dias de colheita, um certo produto vai ser comercializado a 10 meticais por unidade. Sabendo que nos diferentes dias de colheita foram feitos os seguintes registos de quantidades colhidas, 3, 4.5, 6, 7.5, 9, ... , determine o valor monetário arrecadado depois da comercialização.

A.131 655 MT

B.1310 MT

C.393MT

D.90 MT

E.nenhuma delas

24.

Uma fábrica de produção de calçado pretende a partir do dia 01 de Maio de 2022, incrementar a sua produção em 10 unidades por mês. No dia 30 de Abril de 2022, ela produzirá 100 calçados. Determine a quantidade que deverá ser produzida no dia 30 de Maio de 2083.

A.7410

B.6200

C.161

D.74100

E.741000

25.

Se o vigésimo termo de uma progressão geométrica de razão 0.5 é igual a 23, determine o termo na posição 50.

a_{50}=23\,(0.5)^{49}

a_{50}=23\,(0.5)^{50}

a_{50}=1150

a_{50}=23\,(0.5)^{30}

E.Nenhuma delas

26.

Se $f(x)=2^{-x}$ , então $f(0)+f(1)+\dots+f(100)$ será igual a:

2-2^{-101}

2^{50}+2^{-50}

2+2^{-101}

2+2^{-100}

2-2^{-100}

27.

Para a função à direita, os valores de $\lim_{x\to1} f(x)$ , $\lim_{x\to-2^-} f(x)$ e $f(x)$ são respectivamente iguais a:

A.Não existe, – 3, 2

B.2, 0, 2

C.0, –3, 0

D.Nenhuma delas

E.3, 0, 0

28.

O limite da função $f(x)$ quando $x\to a$ é:

A.o valor de

f(x)

quando

x=a

B.o valor de

f(x)

quando

x\neq a

C.o valor de

f(x)

quando

x

é próximo de

a

D.o valor do domínio de

f(x)

E.indeterminado se

x=0

29.

O resultado do cálculo da expressão $\lim_{x\to1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ é:

A.0

B.1

C.indeterminado

D.-1

E.Nenhuma delas

30.

Seja dada a função:

$f(x)=\begin{cases}7x-2, & x<1\\ kx^2, & x\geq1\end{cases}$

Determine o valor de k, de modo que a função seja contínua.

k=\frac{1}{x^2}

k=5

k=7x-2

k=\frac{7x-2}{x^2}

E.Nenhuma delas

31.

Para uma função $f(x)$ , se $\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$ então...

A.a função tem assimptota em

\pm\infty

a

é assimptota horizontal.

a

é assimptota vertical.

f(x)

é uma função contínua em todo o seu domínio.

E.Nenhuma delas

32.

A velocidade de uma gota de chuva em queda livre é dada por $v(t)=v_f\left(1-e^{-gt/v_f}\right)$ onde $g=9.8\,\frac{m}{s^2}$ e $v_f$ é a velocidade final da gota. Se uma gota cai de um ponto muito alto de tal modo que precise de uma infinidade de segundos para chegar ao chão, determine a velocidade da queda.

\infty

-\infty

C.0

v_f

E.Nenhuma delas

33.

Suponha que $f(x)=\log_{5\sqrt[3]{5}}(x^4)$ indica em centenas o número de bactérias em um ambiente $x$ dias depois da libertação de um inimigo natural das bactérias. Quantas bactérias terá o ambiente no início do sexto dia depois que se liberta o predador?

A.3

B.200

C.300

D.400

E.4

34.

Uma empresa está a fabricar autocarros da marca Moçambique e encontra-se na fase de testes da velocidade que os autocarros podem atingir passados $x$ segundos tendo dos testes definido a função velocidade.

$v(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}, & \text{se } 0\leq x<2\\ ax^2-bx+3, & \text{se } 2\leq x<3\\ 2x-a+b, & \text{se } x\geq3\end{cases}$

Os engenheiros querem que a velocidade evolua de modo a evitar mudanças abruptas desta. Determine os valores de $a$ e $b$ , para a satisfação dos engenheiros.

A.a = 0.5, b = −0.5

B.a = b = 0.5

C.a = −2.5, b = −5.5

D.a = −2.5, b = 4.5

E.Nenhuma delas

35.

A derivada de $f(x)=ax^2+\sqrt{x}-\ln(2x)+e^{3x}$ é:

2ax+\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}+3e^{3x}

2ax+\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x}+3e^{3x}

2ax+\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2x}+3e^{3x}

2ax+\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x}+3e^{3x}

E.Nenhuma delas

36.

O resultado da integral $\int\left(x^2+\frac{2}{x}+2^x\right)dx$ é:

\frac{x^3}{3}+2\ln x+x\,2^{x-1}

\frac{x^3}{3}-2\ln x+x\,2^{x-1}

\frac{x^3}{3}+2\ln x+\frac{2^x}{\ln 2}

\frac{x^3}{3}+2\ln x-\frac{2^x}{\ln 2}

\frac{x^3}{3}+2\ln x+\ln(2)2^x

37.

Determine a equação da recta tangente a $y=x^3-4x+1$ e que passa pelo ponto $P(2,1)$ .

y=8x

y=8x+15

y=3x^2-4

y=8x-15

E.nenhuma delas

38.

Determine o valor que maximiza a função $f(x)=3x^2-x+1$

\frac{1}{3}

-\frac{1}{3}

\pm\frac{1}{3}

\frac{11}{9}

\frac{7}{9}

39.

Para uma função $y=ax^2+bx+c,\ a\neq0$ , o ponto $x_0$ será ponto de mínimo se:

f'(x_0)=0

f''(x_0)>0

f'(x_0)=0

f''(x_0)=0

f'(x)=0

f''(x)>0

f'(x)=0

f''(x)<0

40.

A divisão dos números $Z_1=x-yi$ por $Z_2=3y+xi$ é igual a:

\frac{2xy-(x^2+3y^2)i}{9y^2+x^2}

B.Não determinado

\frac{x}{3y}-\frac{y}{x}

\frac{x}{3y}-\frac{y}{x}i

E.Nenhuma delas

Respostas

Matemática III 2022 · UEM · admitela.com

1E
2E
3B
4D
5B
6A
7B
8B
9D
10A
11D
12C
13C
14D
15B
16E
17D
18D
19C
20D
21E
22C
23A
24—
25D
26E
27A
28C
29A
30B
31C
32D
33C
34B
35A
36C
37D
38—
39A
40A

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-iii-2022/

Solução da questão 1

Resposta

E.Não tem solução

Resolução

O módulo nunca é negativo:

|-3+x|\geq0

para todo o

x

Nenhum

x

dá

|-3+x|=-3

: a equação é impossível.

Resposta: E

Erro comum. Resolver $x-3=\pm3$ e chegar a $x=0$ ou $x=6$ (C), sem reparar que o segundo membro é negativo.

Solução da questão 2

Resposta

E.Não negativa

Resolução

Um módulo nunca é negativo, logo

y\geq0

para todo o

x

Nas raízes de

ax^2+bx+c

, quando existem,

y=0

: a função não é estritamente positiva.

Resposta: E

Erro comum. Escolher «Positiva» (A), esquecendo que $y$ se anula nas raízes.

Solução da questão 3

Resposta

x \in \emptyset

Resolução

Cada módulo é não negativo, logo

|x-2||x-3|\geq0

para todo o

x

O produto nunca é menor que zero: o conjunto solução é vazio.

Resposta: B

Erro comum. Resolver $(x-2)(x-3)<0$ , sem os módulos, e chegar a $]2,3[$ (E).

Solução da questão 4

Resposta

D.com valores iguais ou simétricos.

Resolução

a\geq0

|a|=a

: os valores são iguais.

a<0

|a|=-a

: os valores são simétricos.

Resposta: D

Erro comum. Escolher A ou B, que só valem num dos dois casos.

Solução da questão 5

Resposta

B.nenhuma delas.

Resolução

O domínio de

|f(x)|

é o domínio de

f(x)

: o módulo não acrescenta nem tira condições.

|x|

tem domínio

\mathbb{R}

, mas

\left|\frac1x\right|

exclui o zero e

|\sqrt{x}|

só aceita

x\geq0

: nenhuma das propriedades vale sempre.

Resposta: B

Erro comum. Confundir o domínio com o contradomínio, esse sim não negativo (E).

Solução da questão 6

Resposta

A.720

Resolução

Para as letras ABC aparecerem seguidas, o bloco ABC conta como uma só peça.

Ficam 6 peças, ABC, D, E, F, G e H, que se permutam de

6!=720

maneiras.

Resposta: A

Erro comum. Contar $5!=120$ (B), deixando o bloco ABC de fora da permutação.

Solução da questão 7

Resposta

5!

Resolução

As cinco posições, duas verticais e três horizontais, são todas diferentes e cada cor ocupa uma.

Distribuir 5 cores por 5 posições dá

5!=120

bandeiras. O mesmo sai de

C_5^2\times2!\times3!=10\times2\times6=120

Resposta: B

Erro comum. Contar só as ordens dentro de cada grupo, $2!\times3!=12$ (D), esquecendo a escolha das duas cores verticais.

Solução da questão 8

Resposta

B.57

Resolução

O estudante escolhe um só projecto, de uma das listas: as escolhas excluem-se.

Princípio da adição:

23+15+19=57

Resposta: B

Erro comum. Multiplicar, $23\times15\times19=6555$ (A), como se escolhesse um projecto de cada lista.

Solução da questão 9

Resposta

D.169

Resolução

Os 220 candidatos à vaga A incluem os 51 que concorreram às duas vagas.

Somente à vaga A:

220-51=169

Resposta: D

Erro comum. Responder 220 (C), contando também os que concorreram às duas vagas.

Solução da questão 10

Resposta

A.22100

Resolução

Seleccionar estudantes não depende da ordem: é uma combinação,

C_{52}^{49}

C_{52}^{49}=C_{52}^{3}=\frac{52\times51\times50}{3\times2\times1}=22\,100

Resposta: A

Erro comum. Usar o arranjo $A_{52}^{49}$ (C) só porque o enunciado o define; aqui a ordem não conta.

Solução da questão 11

Resposta

n^r

Resolução

Cada uma das

r

posições pode levar qualquer das

n

letras, e as letras podem repetir-se.

Princípio da multiplicação:

n\times n\times\dots\times n=n^r

Resposta: D

Erro comum. Usar o arranjo simples $\frac{n!}{(n-r)!}$ (B), que não deixa repetir letras.

Solução da questão 12

Resposta

C.produz grupos sem repetição.

Resolução

C_n^k

conta os grupos de

k

elementos escolhidos entre

n

, sem repetir elementos e sem contar a ordem.

Os arranjos (D) são outra operação: neles a ordem conta.

Resposta: C

Erro comum. Confundir combinação com arranjo (D).

Solução da questão 13

Resposta

f(x)-f(-x)=0

Resolução

f

é par quando

f(-x)=f(x)

para todo o

x

do domínio.

Passando tudo para um membro:

f(x)-f(-x)=0

Resposta: C

Erro comum. Escolher $-f(x)=f(-x)$ (D), que é a definição de função ímpar.

Solução da questão 14

Resposta

D.funções lineares.

Resolução

Com

f(x)=ax+b

g(x)=cx+d

f[g(x)]=a(cx+d)+b=acx+(ad+b)

Do mesmo modo,

g[f(x)]=cax+(cb+d)

. As duas são lineares, e em geral diferentes.

Resposta: D

Erro comum. Escolher «funções iguais» (A), como se a composição fosse comutativa.

Solução da questão 15

Resposta

B.c < 4

Resolução

Duas raízes diferentes exigem

\Delta>0

\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot c=16-4c>0\iff c<4

Resposta: B

Erro comum. Incluir $c=4$ (D), que dá a raiz dupla $x=2$ .

Solução da questão 16

Resposta

E.-8

Resolução

Com período 3,

f(7)=f(7-3\cdot3)=f(-2)

, e

-2\in\,]-3,0]

f(-2)=-(-2)^2+2\cdot(-2)=-4-4=-8

Resposta: E

Erro comum. Calcular $-(-2)^2$ como $+4$ e obter $f(-2)=4-4=0$ (C).

Solução da questão 17

Resposta

x=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}

Resolução

Igualando:

2x^2-3x+3=-x+4\iff2x^2-2x-1=0

x=\frac{2\pm\sqrt{4+8}}{4}=\frac{2\pm2\sqrt3}{4}=\frac{1\pm\sqrt3}{2}

: há duas intersecções.

Resposta: D

Erro comum. Ficar só com uma das raízes (B ou C).

Solução da questão 18

Resposta

D.[-4, 6]

Resolução

-1\leq\cos(2x)\leq1

, logo

-5\leq5\cos(2x)\leq5

Somando 1:

-4\leq f(x)\leq6

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o $+1$ e responder $[-5,5]$ (B).

Solução da questão 19

Resposta

-0.25

e 2

Resolução

O início da criação corresponde a

n=0

e 24 horas a

n=1

E(0)=0+\frac{0-1}{4}=-0{,}25

E(1)=2+\frac{1-1}{4}=2

Resposta: C

Um número de ovos não pode ser negativo: $-0{,}25$ é o que o modelo, aproximado, dá para $n=0$ , e é esse valor que a questão pede.

Erro comum. Usar $n=24$ para as 24 horas, quando $n$ conta dias.

Solução da questão 20

Resposta

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1},\ n=2,3,\dots

Resolução

Numeradores 5, 7, 9:

2n+1

com

n=2,3,4

. Denominadores 3, 8, 15:

n^2-1

com os mesmos

n

Logo

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1}

a partir de

n=2

; com

n=1

o denominador seria zero.

Resposta: D

Erro comum. Começar em $n=1$ (A) sem ver que o primeiro termo daria $\frac30$ .

Solução da questão 21

Resposta

E.Nenhuma delas

Resolução

É a sucessão de Fibonacci: cada termo é a soma dos dois anteriores.

Os 12 primeiros termos: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

S_{12}=376

. A e D não dão este valor, e B e C são fórmulas de progressões geométrica e aritmética, que esta sucessão não é.

Resposta: E

Erro comum. Aplicar a fórmula da progressão aritmética, $6(a_1+a_{12})=870$ (C).

Solução da questão 22

Resposta

C.os valores de

a_n

forem crescendo na medida em que o

n

vai crescendo.

Resolução

Estritamente crescente:

a_{n+1}>a_n

para todo o

n

, ou seja, o termo aumenta sempre que

n

aumenta.

Admitir termos constantes (D) é a definição de crescente em sentido lato.

Resposta: C

Erro comum. Escolher D, ignorando o «estritamente».

Solução da questão 23

Resposta

A.131 655 MT

Resolução

As quantidades estão em progressão aritmética:

a_1=3

r=1{,}5

a_{131}=3+130\times1{,}5=198

Total colhido:

S_{131}=\frac{(3+198)\times131}{2}=13\,165{,}5

unidades.

Valor arrecadado:

13\,165{,}5\times10=131\,655

MT.

Resposta: A

Erro comum. Multiplicar os 131 dias por 10 (B), sem somar as quantidades colhidas.

Solução da questão 24

Resposta

Nenhuma alternativa serve

De Abril de 2022 a Maio de 2083 há 733 aumentos de 10 unidades: a produção é $100+7330=7430$ , que não está entre as alternativas. A chave, 7410, conta só 731 aumentos.

Porquê

A produção parte de 100 em Abril de 2022 e cresce 10 unidades por mês: progressão aritmética de razão 10.

De Abril de 2022 a Maio de 2083 passam

61\times12+1=733

meses, cada um com um aumento.

Em Maio de 2083:

100+733\times10=7430

. Nenhuma alternativa dá 7430.

Solução da questão 25

Resposta

a_{50}=23\,(0.5)^{30}

Resolução

Numa progressão geométrica,

a_{50}=a_{20}\,r^{50-20}

a_{50}=23\,(0{,}5)^{30}

Resposta: D

Erro comum. Usar o expoente 49 (A), como se 23 fosse o primeiro termo.

Solução da questão 26

Resposta

2-2^{-100}

Resolução

f(k)=2^{-k}=\left(\frac12\right)^k

: são os 101 primeiros termos de uma progressão geométrica com

a_1=1

r=\frac12

S=\frac{1-\left(\frac12\right)^{101}}{1-\frac12}=2\left(1-2^{-101}\right)=2-2^{-100}

Resposta: E

Erro comum. Esquecer de multiplicar $2^{-101}$ por 2 e ficar com $2-2^{-101}$ (A).

Solução da questão 27

Resposta

A.Não existe, – 3, 2

Resolução

O terceiro valor, «

f(x)

», só pode ser

f(1)

: é a leitura que bate com as alternativas.

x=1

, pela esquerda

f(x)\to3

e pela direita

f(x)\to0

(bolas abertas): os limites laterais diferem e

\lim_{x\to1}f(x)

não existe.

Quando

x\to-2^-

, o arco da esquerda chega à bola aberta

(-2,-3)

: o limite é

-3

. O ponto cheio isolado dá

f(1)=2

Resposta: A

O enunciado escreve « $f(x)$ » no terceiro valor; lê-se $f(1)$ .

Erro comum. Ler valores da função em vez de limites: $f(1)=2$ e $f(-2)=0$ levam à B.

Solução da questão 28

Resposta

C.o valor de

f(x)

quando

x

é próximo de

a

Resolução

O limite diz para onde tende

f(x)

quando

x

se aproxima de

a

, sem ser preciso que

x

chegue a

a

f

pode nem estar definida em

a

, ou ter lá outro valor: em geral, o limite não é

f(a)

(A).

Resposta: C

Erro comum. Escolher A, que só vale quando $f$ é contínua em $a$ .

Solução da questão 29

Resposta

A.0

Resolução

O denominador não se anula em

x=1

: a função é contínua aí e basta substituir.

\frac{1-1}{1+1}=\frac02=0

Resposta: A

Erro comum. Ver o zero no numerador e responder «indeterminado» (C); a indeterminação seria $\frac00$ .

Solução da questão 30

Resposta

k=5

Resolução

Cada ramo é contínuo; falta garantir a continuidade em

x=1

\lim_{x\to1^-}(7x-2)=5

f(1)=k\cdot1^2=k

, logo

k=5

Resposta: B

Erro comum. Deixar $k$ em função de $x$ (A, C ou D), quando $k$ é uma constante.

Solução da questão 31

Resposta

a

é assimptota vertical.

Resolução

f(x)\to\pm\infty

quando

x

se aproxima do valor finito

a

O gráfico aproxima-se da recta vertical

x=a

: é uma assimptota vertical.

Resposta: C

Erro comum. Confundir com a assimptota horizontal (B), que surge quando $x\to\pm\infty$ e $f(x)$ tende para um valor finito.

Solução da questão 32

Resposta

v_f

Resolução

Uma infinidade de segundos é

t\to+\infty

; como

g>0

v_f>0

e^{-gt/v_f}\to0

v(t)\to v_f(1-0)=v_f

Resposta: D

Erro comum. Pensar que a velocidade cresce sem limite (A), esquecendo que a exponencial negativa tende para zero.

Solução da questão 33

Resposta

C.300

Resolução

O início do sexto dia é o fim do quinto:

x=5

A base é

5\sqrt[3]{5}=5^{4/3}

5^4=\left(5^{4/3}\right)^3

, logo

f(5)=\log_{5^{4/3}}(5^4)=3

f

está em centenas:

3\times100=300

bactérias.

Resposta: C

Erro comum. Responder 3 (A), esquecendo que $f$ dá centenas, ou usar $x=6$ .

Solução da questão 34

Resposta

B.a = b = 0.5

Resolução

Sem mudanças abruptas,

v

tem de ser contínua em

x=2

e em

x=3

x=2

\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\to4

, logo

4a-2b+3=4

, isto é,

4a-2b=1

x=3

9a-3b+3=6-a+b

, isto é,

10a-4b=3

. Com

8a-4b=2

, vem

2a=1

a=0{,}5

b=0{,}5

Resposta: B

Erro comum. Achar que o primeiro ramo não tem limite em $x=2$ , por o denominador se anular, sem simplificar.

Solução da questão 35

Resposta

2ax+\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}+3e^{3x}

Resolução

(ax^2)'=2ax

(\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}

(e^{3x})'=3e^{3x}

(\ln(2x))'=\frac{2}{2x}=\frac1x

, que entra com sinal menos.

Resposta: A

Erro comum. Derivar $\ln(2x)$ como $\frac{1}{2x}$ , esquecendo a derivada do argumento, e escolher C.

Solução da questão 36

Resposta

\frac{x^3}{3}+2\ln x+\frac{2^x}{\ln 2}

Resolução

\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}

\int\frac2x\,dx=2\ln x

\int2^x\,dx=\frac{2^x}{\ln2}

, porque

\left(\frac{2^x}{\ln2}\right)'=2^x

. Somando, mais a constante de integração, obtém-se a C.

Resposta: C

Erro comum. Tratar $2^x$ como uma potência de $x$ e obter $x\,2^{x-1}$ (A).

Solução da questão 37

Resposta

y=8x-15

Resolução

P

está na curva:

2^3-4\cdot2+1=1

y'=3x^2-4

; em

x=2

, o declive é

12-4=8

y-1=8(x-2)\iff y=8x-15

Resposta: D

Erro comum. Dar a derivada, $y=3x^2-4$ (C), que não é uma recta.

Solução da questão 39

Resposta

f'(x_0)=0

f''(x_0)>0

Resolução

Para a parábola,

f'(x)=2ax+b

f''(x)=2a

x_0

é ponto de mínimo quando

f'(x_0)=0

(ponto crítico) e

f''(x_0)>0

(concavidade para cima).

Só

f'(x_0)=0

(B) não chega: com

f''(x_0)<0

seria máximo.

Resposta: A

Erro comum. Escolher B, que só garante um ponto crítico.

Solução da questão 40

Resposta

\frac{2xy-(x^2+3y^2)i}{9y^2+x^2}

Resolução

Multiplica-se pelo conjugado do divisor:

\frac{x-yi}{3y+xi}\cdot\frac{3y-xi}{3y-xi}

Denominador:

(3y)^2+x^2=9y^2+x^2

. Numerador:

3xy-x^2i-3y^2i+xy\,i^2=2xy-(x^2+3y^2)i

Resposta: A

Erro comum. Dividir parte real por parte real e parte imaginária por parte imaginária, como na D.