Matemática III 2023

UEM
40 questões
90 minutos
40 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de Admissão – 2023 | Parte – 1: Matemática III

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro a lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, à esferográfica (de cor azul ou preta).

Numa escola estudam 203 alunos. Arredondando o número de alunos até centenas, qual é a percentagem do erro relativo desta operação?

A.3

B.2,5

C.2

D.1,5

E.1

No mapa de parede de República de Moçambique no canto inferior direito está escrito: Escala 1:1300000, o que significa que cada 1 centímetro do mapa correspondem a 1300000 centímetros de distância real. Neste mapa a distância de Beira à Tete mede, em linha recta, cerca de 32,7 centímetros. Qual é a distância real da Beira à Tete em quilómetros (km), arredondando a resposta a três algarismos significativos?

A.400 km

B.405 km

C.415 km

D.425 km

E.450 km

Do salário mensal deduz-se a parte chamada Imposto sobre Rendimento das Pessoas Singulares (IRPS). Qual será o montante de dinheiro (em mil Meticais (Mt)) recebido depois da dedução de 17% de Imposto do salário mensal igual a 5 mil Meticais?

A.4,15

B.4,30

C.4,45

D.4,70

E.4,85

O intervalo do tempo médio estatístico de reacção de um motorista dum carro para começar travagem extra, encontrando de repente um obstáculo no caminho, é de aproximadamente $[1{,}5;1{,}8]$ segundos. Qual é o intervalo de distância (em metros) que passe o carro durante esse intervalo de tempo, se sua velocidade for $60$ quilómetros por hora?

[7;10]

[11;17]

[18;24]

[25;30]

[31;43]

Uma solução de concentração de sal de 6% foi obtida misturando a solução A de massa de 3 kg e de concentração de 4% com a solução B de massa de 2 kg. Qual é a massa de sal da solução B?

A.0,2

B.0,6

C.0,35

D.0,2

E.0,18

Um grupo de 5 pessoas quer jogar voleibol de praia formando as equipas 2 contra 2 jogadores. Quantos jogos com diferentes jogadores nas equipas podem ser realizados?

A.10

B.8

C.12

D.20

E.16

Quantos jogos $m$ de um campeonato de Xadrez devem ser realizados entre 20 pessoas e qual é a probabilidade $p$ de uma pessoa ser vencedor desta prova?

m=10;\ p=\frac{1}{10}

m=190;\ p=\frac{1}{20}

m=400;\ p=\frac{1}{40}

m=200;\ p=\frac{1}{20}

m=120;\ p=\frac{1}{40}

Um caderno custa 120 Meticais, o que em seis vezes é mais caro comparando com o preço duma caneta. O aluno comprou quatro cadernos e algumas canetas, pagando 600 Meticais. Quantas canetas comprou o aluno?

A.4

B.6

C.8

D.10

E.12

A fórmula de conversão da escala Celsius ( $C$ ) para escala Fahrenheit ( $F$ ) para medir a temperatura num ambiente é linear $F=1{,}8C+32$ . Sabe-se que $0^oC$ corresponde a $32^oF$ e $100^oC$ corresponde a $212^oF$ . Qual é a temperatura de um ambiente na escala em Fahrenheit se na escala em Celsius o seu valor é $50^o$ ?

A.87

B.98

C.118

D.122

E.147

10.

Que ponto do plano cartesiano fica mais próximo à origem do sistema cartesiano, o ponto A(-2,5), B(-6, -1) ou o ponto médio C do segmento AB?

A.A

B.B

C.C

D.tanto A como B

E.nenhuma das alternativas

11.

Três números $a=\frac{1}{\ln\sqrt5}$ , $b=\frac{1}{\ln\sqrt4}$ , $c=\frac{1}{\ln\sqrt3}$ , satisfazem a desigualdade dupla:

a<b<c

c<a<b

c<a<-b

c<b<a

a<c<b

12.

Dois números complexos $z=1+3i$ e $w=1-3i$ chamam-se:

A.assimétricos

B.relativos

C.conjugados

D.inversos

E.nenhuma das alternativas

13.

A soma de três números naturais consecutivos, sendo um deles designado por $m$ , é igual a 48. Logo, a equação para calcular o número $m$ e outros a seguir, é:

6m+18=48

2(m+2)=48

2(2m+1)=48

3m+6=48

3m+3=48

14.

A soma de todos números da sucessão numérica $2,\ 1,\ \frac12,\ \frac14,\ \dots$ é igual a:

A.3,75

B.4

C.4,25

D.4,5

\infty

15.

O resultado das operações $A\cup B\cap C$ sobre os conjuntos numéricos $A=]-1,1[$ , $B=]-1,2]$ , $C=]2,3[$ é o conjunto:

[-1,2]

[-1,3]

\{2\}

]2,3[

\emptyset

16.

Que fórmula de transformações dadas $\forall x\in R$ é errada?

\sqrt{x^2}=x

sen(\pi-x)=senx

x=x

|x-1|=|1-x|

\left(e^x\right)^2=e^{2x}

17.

O resultado da operação da negação da expressão lógica $(P\to Q)\wedge Q\vee R$ é a expressão:

\neg P

P\wedge R

\neg P\wedge\neg R

\neg P\vee\neg R

\neg R

18.

A probabilidade de num número aleatório de três algarismos, todos serem distintos, é de:

A.0,31

B.0,45

C.0,54

D.0,72

E.0,83

19.

O termo $a_1$ e a razão $d$ duma progressão aritmética cujos termos $a_{21}=62$ e $a_{31}=92$ , são:

a_1=2;\ d=5

a_1=2;\ d=4

a_1=3;\ d=3

a_1=2;\ d=3

a_1=3;\ d=2

20.

Um viajante andou numa planície 6 quilómetros na direcção do Sol e depois 8 quilómetros na direcção de Oeste. A distância recta entre o ponto inicial e o ponto final da viagem é igual a:

A.14 km

B.10 km

C.8 km

D.6 km

E.2 km

21.

A função $h(x)=x^2-5x+1$ definida em R é:

A.ímpar

B.par

C.não é par, nem ímpar

D.par para

x<0

E.ímpar para

x>0

22.

A função inversa $y=f^{-1}(x)$ da função $f(x)=\sqrt{x-2}$ é:

y=-x^2+2

y=-x^2-2

y=x^2-2

y=x^2+2

E.não existe

23.

O domínio de definição $Dom$ da função $f(x)=\sqrt{x-1}\cdot\ln(1-x^2)$ ?

Dom=R

Dom=\ ]-1,1[

Dom=[1,\infty[

Dom=\{1\}

\emptyset

24.

As fórmulas que relacionam as coordenadas $x$ e $y$ , $(x,y\in R)$ de um sistema cartesiano com as coordenadas $\rho$ e $\varphi$ , $(\rho\ge0,\ \varphi\in[0,2\pi])$ , do sistema polar, (as origens destes coincidem e o eixo das abcissas do sistema cartesiano coincide com o eixo polar $\rho$ do sistema polar), são seguintes: $x=\rho\cos\varphi$ e $y=\rho\,sen\varphi$ . Exprima a equação de uma circunferência de raio $R$ , centrada na origem do sistema cartesiano, na forma $\rho=\rho(\varphi)$ no sistema polar.

\rho=R

\rho=2\pi R

\rho=\pi R^2

\rho=2\pi

\rho=\pi R

25.

O valor de $\displaystyle\lim_{t\to0}\ e^{t}\,\frac{sen2t^2}{tg3t^2}$ é igual a:

\frac94

\frac23

\frac49

\frac32

\infty

26.

Para que a função $f(x)=\begin{cases}-x^2+x+1; & x\in\,]-\infty,0]\\ e^{x-b}; & x\in\,]0,\infty[\end{cases}$ seja contínua no ponto x = 0, o parâmetro b deve ser igual a:

A.- 1

B.0

C.1

D.2

\forall b\in R

27.

Para que valores do parâmetro $\lambda$ a equação $4^x-2^{x+1}+\lambda=0$ tem raízes reais?

\lambda\in[2,3]

\lambda\in\ ]1,\infty[

\lambda=2

\lambda\in\ ]-\infty,1]

\lambda\in[4,\infty[

28.

Resolvendo a equação $\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=1$ a resposta, sendo $k\in Z$ , é:

x=\frac{\pi}{6}+2k\pi

x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

x=-\frac{3\pi}{4}+2k\pi

x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi

x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi

29.

A solução da inequação $\frac{x(x-2)}{x+3}\ge0$ é o intervalo:

x\in]2,\infty[

x\in]-3,2]

x\in]-\infty,-3[\ \cup\ [2,\infty[

x\in]-3,0]\ \cup\ [2,\infty[

\mathrm{R}\setminus\{-3\}

30.

Resolvendo a inequação $\sqrt{4-x}<\sqrt{x-2}$ a resposta é o intervalo:

x\in]-2,2[

x\in[2,4]

x\in]2,3]

x\in[3,4]

x\in]3,4]

31.

A curva, cujo gráfico está apresentado na figura, tem a equação:

y(x)=\frac{2-x}{x-1}

y(x)=\frac{-x}{x+1}

y(x)=\frac{x+2}{x+1}

y(x)=\frac{2-x}{1-x}

y(x)=\frac{x}{1-x}

32.

A curva representada na figura, tem a equação:

y(x)=(x-1)^2-1

y(x)=(x-1)^2+1

y(x)=-(x+1)^2+1

y(x)=-(x-1)^2-1

y(x)=-(x+1)^2-1

33.

As assintotas verticais $A_V$ , horizontais $A_H$ , oblíquas $A_O$ da função $f(x)=e^{T}$ , $T=\frac1x$ são:

A_V: x=1;\ A_H: y=e;\ A_O: y=x+1

A_V: x=1;\ A_H: y=1;\ A_O: y=x

A_V: x=0;\ A_H: y=0;\ A_O

não existe

A_V: x=0;\ A_H: y=1;\ A_O

: não existe

E.a função não tem assintotas

34.

Seja dada a função $f(x)=-\frac{x^3}{12}(4-x)$ . Os extremos (máximo ou/e mínimo) locais da função são:

f_{min}=0;\ f_{max}=1

f_{min}=-\frac94

f_{min}=0

f_{max}=1

E.Não há extremos

35.

Considere o sistema linear $\begin{cases}\beta x+2y=\beta+4\\ 2x+\beta y=-2\end{cases}$ . Segundo o parâmetro $\beta$ a afirmação verdadeira é:

A.se

\beta=2

o sistema tem uma e só única solução

B.se

\beta=-2

o sistema não tem a solução

C.se

\beta\ne2

\beta\ne-2

o sistema tem mais do que uma solução

D.se

\beta\ne2

\beta\ne-2

o sistema tem uma e só única solução

E.se

\beta=2

o sistema tem mais do que uma solução

36.

As rectas no plano cartesiano $y=\frac12x+5$ e $y=k\cdot x-b$ são perpendiculares quando:

k=2,\ b=5

k=2,\ b=-5

k=-0{,}5,\ b\in R

k=1,\ b\in R

k=-2,\ b\in R

37.

O resultado de multiplicação da matriz $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\-1&-2&-3\end{pmatrix}$ por $B=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ é a matriz:

\begin{pmatrix}-1&-2&-3\\0&0&0\\-1&-2&-3\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}-1&0&-3\\-1&0&-3\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}-1&-1\\-2&-2\\-3&-3\end{pmatrix}

E.não existe

38.

No $\triangle ABC$ o lado $a=6$ cm, o lado $c=3$ cm, o ângulo $\angle B=60^\circ$ . A medida do lado b é igual à:

A.5

5\sqrt3

C.4

3\sqrt3

\sqrt3

39.

O raio de base dum cone circular é igual a $R$ , a geratriz faz um ângulo $\alpha=45^\circ$ com a base. Se o ângulo $\alpha$ for aumentado por $15^\circ$ , em quantas vezes aumentará o volume $V$ do cone?

6\sqrt3

vezes

4\sqrt3

vezes

2\sqrt3

vezes

0{,}5\sqrt3

vezes

\sqrt3

vezes

40.

A primitiva $F(x)$ da função $f(x)=sen3x$ , sendo $C$ uma constante arbitrária é:

F(x)=-\cos3x+C

F(x)=\frac13\cos3x+C

F(x)=-\frac13\cos3x+C

F(x)=3\cos3x+C

F(x)=3\cos x+C

Respostas

Matemática III 2023 · UEM · admitela.com

1D
2D
3A
4D
5E
6—
7B
8B
9D
10C
11A
12C
13E
14B
15E
16A
17—
18D
19D
20B
21C
22D
23E
24A
25B
26B
27D
28E
29D
30E
31E
32D
33D
34B
35D
36E
37B
38D
39E
40C

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-iii-2023/

Solução da questão 1

Resposta

D.1,5

Resolução

Arredondado às centenas,

203

passa a

200

: o erro absoluto é

|203-200|=3

Erro relativo:

\frac{3}{203}\approx0{,}0148

, cerca de

1{,}5\%

Resposta: D

Erro comum. Tomar o erro absoluto, 3, pela percentagem do erro relativo (A).

Solução da questão 2

Resposta

D.425 km

Resolução

Distância real:

32{,}7\times1\,300\,000=42\,510\,000

cm.

Como

1

=100\,000

cm, são

425{,}1

km, ou seja,

425

km com três algarismos significativos.

Resposta: D

Erro comum. Dividir por 1000 em vez de 100 000 na passagem de centímetros a quilómetros.

Solução da questão 3

Resposta

A.4,15

Resolução

Depois de deduzir

17\%

, fica

100\%-17\%=83\%

do salário.

0{,}83\times5=4{,}15

mil Meticais.

Resposta: A

Erro comum. Confundir o imposto, $0{,}17\times5=0{,}85$ mil Meticais, com o que se recebe.

Solução da questão 4

Resposta

[25;30]

Resolução

60

km/h

=\frac{60\,000\ \text{m}}{3600\ \text{s}}=\frac{50}{3}\approx16{,}7

m/s.

\frac{50}{3}\times1{,}5=25

m e

\frac{50}{3}\times1{,}8=30

m: o intervalo é

[25;30]

Resposta: D

Erro comum. Multiplicar 60 pelos segundos sem converter km/h em m/s.

Solução da questão 5

Resposta

E.0,18

Resolução

A mistura tem

3+2=5

kg com

6\%

de sal:

0{,}06\times5=0{,}3

kg de sal.

A solução A traz

0{,}04\times3=0{,}12

kg de sal.

A solução B traz o resto:

0{,}3-0{,}12=0{,}18

kg.

Resposta: E

As alternativas A e D têm o mesmo valor, 0,2, no próprio exame; isso não afecta a resposta.

Erro comum. Esquecer o sal que vem da solução A e ficar com o sal da mistura toda, $0{,}3$ kg.

Solução da questão 6

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Há $5\times3=15$ jogos diferentes, e 15 não está entre as alternativas.

Porquê

Cada jogo usa 4 das 5 pessoas: há

\binom54=5

maneiras de escolher quem joga.

As 4 escolhidas formam duas duplas de

\frac{1}{2}\binom42=3

maneiras: a dupla de um jogador fixa a outra.

Total:

5\times3=15

jogos. Nenhuma alternativa dá 15.

Solução da questão 7

Resposta

m=190;\ p=\frac{1}{20}

Resolução

Cada par de jogadores joga uma vez:

m=\binom{20}{2}=\frac{20\times19}{2}=190

Os 20 têm a mesma hipótese de ganhar:

p=\frac{1}{20}

Resposta: B

Erro comum. Contar $20\times20=400$ jogos (C), como se a ordem do par contasse e cada um jogasse consigo mesmo.

Solução da questão 8

Resposta

B.6

Resolução

A caneta custa

\frac{120}{6}=20

Meticais.

Os 4 cadernos custam

4\times120=480

Meticais; sobram

600-480=120

Meticais.

\frac{120}{20}=6

canetas.

Resposta: B

Erro comum. Esquecer os cadernos e dividir os 600 Meticais pelo preço da caneta.

Solução da questão 9

Resposta

D.122

Resolução

Substitui-se

C=50

F=1{,}8\times50+32=90+32=122

Resposta: D

Erro comum. Esquecer de somar $32$ e ficar com $90$ .

Solução da questão 10

Resposta

C.C

Resolução

Ponto médio:

C=\left(\frac{-2-6}{2},\frac{5-1}{2}\right)=(-4,2)

Distâncias à origem:

OA=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}

OB=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}

OC=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}

A menor é

OC

Resposta: C

Erro comum. Supor que o ponto médio fica a uma distância da origem entre a de A e a de B, sem a calcular.

Solução da questão 11

Resposta

a<b<c

Resolução

\ln

é crescente:

0<\ln\sqrt3<\ln\sqrt4<\ln\sqrt5

Inverter números positivos troca a ordem:

\frac{1}{\ln\sqrt5}<\frac{1}{\ln\sqrt4}<\frac{1}{\ln\sqrt3}

, isto é,

a<b<c

Resposta: A

Erro comum. Manter a ordem dos denominadores depois de inverter e escolher $c<b<a$ (D).

Solução da questão 12

Resposta

C.conjugados

Resolução

z

w

têm a mesma parte real e partes imaginárias simétricas:

w=\bar z

Chamam-se conjugados.

Resposta: C

Erro comum. Chamar-lhes inversos (D); o inverso de $z$ é $\frac1z=\frac{1-3i}{10}$ .

Solução da questão 13

Resposta

3m+3=48

Resolução

«Outros a seguir» diz que

m

é o primeiro: os seguintes são

m+1

m+2

m+(m+1)+(m+2)=3m+3=48

Resposta: E

Erro comum. Somar $m+(m+2)+(m+4)$ , que são pares ou ímpares consecutivos, e escolher $3m+6=48$ (D).

Solução da questão 14

Resposta

B.4

Resolução

É uma progressão geométrica com

a_1=2

e razão

q=\frac12

Como

|q|<1

, a soma é

S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{2}{1-\frac12}=4

Resposta: B

Erro comum. Pensar que a soma de infinitos termos é sempre infinita (E).

Solução da questão 15

Resposta

\emptyset

Resolução

Sem parênteses, a expressão lê-se da esquerda para a direita:

(A\cup B)\cap C

A\cup B=\,]-1,2]

]-1,2]\cap\,]2,3[\,=\emptyset

: o

2

está em

]-1,2]

, mas não em

]2,3[

Resposta: E

Fazendo primeiro a intersecção, $A\cup(B\cap C)=A=\,]-1,1[$ , que não está nas alternativas; a resposta pretendida lê a expressão da esquerda para a direita.

Erro comum. Pôr o $2$ em $C=\,]2,3[$ e responder $\{2\}$ (C).

Solução da questão 16

Resposta

\sqrt{x^2}=x

Resolução

\sqrt{x^2}=|x|

, que só é igual a

x

quando

x\ge0

\sqrt{(-3)^2}=3\ne-3

As outras valem para todo o

x

\operatorname{sen}(\pi-x)=\operatorname{sen}x

|x-1|=|1-x|

(e^x)^2=e^{2x}

Resposta: A

Erro comum. Achar que a raiz quadrada «cancela» sempre o quadrado.

Solução da questão 17

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A negação é $\neg Q\wedge\neg R$ , que depende de $Q$ ; nenhuma alternativa tem $Q$ , por isso nenhuma está certa. O mesmo acontece lendo $(P\to Q)\wedge(Q\vee R)$ .

Porquê

(P\to Q)\wedge Q\equiv Q

: quando

Q

é verdadeira,

P\to Q

também é.

Então a expressão é

Q\vee R

, e a negação é

\neg Q\wedge\neg R

Com

P

R

falsas, a negação é falsa se

Q

for verdadeira e verdadeira se

Q

for falsa. Nenhuma alternativa tem

Q

: nenhuma é equivalente.

Solução da questão 18

Resposta

D.0,72

Resolução

Há

900

números de três algarismos, de

100

999

Com os algarismos todos distintos:

9\times9\times8=648

(o primeiro não pode ser

0

; o segundo pode).

p=\frac{648}{900}=0{,}72

Resposta: D

Erro comum. Contar 999 números de três algarismos em vez de 900.

Solução da questão 19

Resposta

a_1=2;\ d=3

Resolução

a_{21}

a_{31}

somam-se 10 razões:

10d=92-62=30

, logo

d=3

a_{21}=a_1+20d

62=a_1+60

, logo

a_1=2

Resposta: D

Erro comum. Escrever $a_{21}=a_1+21d$ e chegar a $a_1=-1$ .

Solução da questão 20

Resposta

B.10 km

Resolução

Toma-se a direcção do Sol perpendicular à de Oeste: os dois percursos são os catetos de um triângulo rectângulo.

d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10

km.

Resposta: B

O enunciado não diz onde está o Sol: com o Sol a nascente a distância seria 2 km, e a poente 14 km. A resposta pretendida supõe as duas direcções perpendiculares.

Erro comum. Somar os percursos, $6+8=14$ km (A): é o caminho andado, não a distância em linha recta.

Solução da questão 21

Resposta

C.não é par, nem ímpar

Resolução

h(-x)=(-x)^2-5(-x)+1=x^2+5x+1

Não é igual a

h(x)

nem a

-h(x)=-x^2+5x-1

: o termo

-5x

quebra a simetria.

Resposta: C

Erro comum. Achar que a função é par só por ter $x^2$ (B).

Solução da questão 22

Resposta

y=x^2+2

Resolução

f

tem domínio

[2,+\infty[

e contradomínio

[0,+\infty[

, e é injectiva.

y=\sqrt{x-2}\Rightarrow y^2=x-2\Rightarrow x=y^2+2

; trocando as letras,

f^{-1}(x)=x^2+2

, com

x\ge0

Resposta: D

Erro comum. Subtrair 2 em vez de o somar e escolher $y=x^2-2$ (C).

Solução da questão 23

Resposta

\emptyset

Resolução

A raiz pede

x-1\ge0

, isto é,

x\ge1

O logaritmo pede

1-x^2>0

, isto é,

-1<x<1

Nenhum

x

cumpre as duas condições: o domínio é

\emptyset

Resposta: E

Erro comum. Aceitar $x=1$ (D), que dá $\ln0$ , não definido.

Solução da questão 24

Resposta

\rho=R

Resolução

A circunferência é

x^2+y^2=R^2

Substituindo:

\rho^2\cos^2\varphi+\rho^2\operatorname{sen}^2\varphi=\rho^2=R^2

, e como

\rho\ge0

\rho=R

Resposta: A

Erro comum. Confundir o raio com o perímetro $2\pi R$ (B) ou com a área $\pi R^2$ (C).

Solução da questão 25

Resposta

\frac23

Resolução

e^t\to e^0=1

Quando

t\to0

2t^2\to0

3t^2\to0

\operatorname{sen}2t^2\sim2t^2

\operatorname{tg}3t^2\sim3t^2

O limite é

1\cdot\frac{2t^2}{3t^2}=\frac23

Resposta: B

Erro comum. Inverter a razão e obter $\frac32$ (D).

Solução da questão 26

Resposta

B.0

Resolução

f(0)=-0^2+0+1=1

, e o limite à esquerda também é

1

À direita:

\lim_{x\to0^+}e^{x-b}=e^{-b}

e^{-b}=1\Rightarrow -b=0\Rightarrow b=0

Resposta: B

Erro comum. Resolver $e^{-b}=1$ como $-b=1$ (A), esquecendo que é $e^0$ que vale $1$ .

Solução da questão 27

Resposta

\lambda\in\ ]-\infty,1]

Resolução

Com

t=2^x>0

4^x=t^2

2^{x+1}=2t

, logo

t^2-2t+\lambda=0

Há raízes reais em

t

\Delta=4-4\lambda\ge0

, isto é,

\lambda\le1

A maior,

t=1+\sqrt{1-\lambda}

, é sempre positiva e dá

x=\log_2t

Resposta: D

Erro comum. Trocar o sentido da desigualdade e responder $\lambda\in\,]1,\infty[$ (B).

Solução da questão 28

Resposta

x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi

Resolução

\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}=1

e a tangente tem período

\pi

\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+k\pi

\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}+k\pi=-\frac{\pi}{12}+k\pi

, logo

x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi

Resposta: E

Erro comum. Calcular $\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}$ em vez de $\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}$ e chegar a $x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ (A).

Solução da questão 29

Resposta

x\in]-3,0]\ \cup\ [2,\infty[

Resolução

O numerador anula-se em

0

2

; o denominador em

-3

Sinal do quociente: negativo em

]-\infty,-3[

, positivo em

]-3,0[

, negativo em

]0,2[

, positivo em

]2,+\infty[

Com

\ge0

entram

0

2

, mas nunca

-3

x\in\,]-3,0]\cup[2,+\infty[

Resposta: D

Erro comum. Multiplicar por $x+3$ sem olhar ao seu sinal e perder o intervalo $]-3,0]$ .

Solução da questão 30

Resposta

x\in]3,4]

Resolução

Domínio:

4-x\ge0

x-2\ge0

, isto é,

2\le x\le4

Os dois membros são

\ge0

, por isso pode elevar-se ao quadrado:

4-x<x-2\iff x>3

Com o domínio:

x\in\,]3,4]

Resposta: E

Erro comum. Incluir o $3$ (D), onde as duas raízes são iguais e a desigualdade estrita falha.

Solução da questão 31

Resposta

y(x)=\frac{x}{1-x}

Resolução

A figura mostra as assímptotas

x=1

y=-1

, e a curva passa pela origem.

B e C têm a assímptota vertical

x=-1

; D tem a horizontal

y=1

; A tem as mesmas assímptotas, mas

y(0)=-2

y=\frac{x}{1-x}

y(0)=0

y\to+\infty

quando

x\to1^-

y\to-1

quando

x\to\pm\infty

, como no gráfico.

Resposta: E

Erro comum. Escolher A, que tem as mesmas assímptotas, sem verificar que não passa pela origem.

Solução da questão 32

Resposta

y(x)=-(x-1)^2-1

Resolução

A concavidade está voltada para baixo: o coeficiente de

x^2

é negativo (C, D ou E).

O vértice está em

(1,-1)

y=-(x-1)^2-1

Confirma-se:

y(0)=-1-1=-2

, onde a curva corta o eixo

y

Resposta: D

Erro comum. Trocar o sinal da abcissa do vértice e escolher $y=-(x+1)^2-1$ (E).

Solução da questão 33

Resposta

A_V: x=0;\ A_H: y=1;\ A_O

: não existe

Resolução

f(x)=e^{1/x}

não está definida em

x=0

, e

\lim_{x\to0^+}e^{1/x}=+\infty

: assímptota vertical

x=0

\lim_{x\to\pm\infty}e^{1/x}=e^0=1

: assímptota horizontal

y=1

dos dois lados, por isso não há oblíqua.

Resposta: D

Erro comum. Dar $y=0$ como assímptota horizontal (C), que é a de $\frac1x$ e não a de $e^{1/x}$ .

Solução da questão 34

Resposta

f_{min}=-\frac94

Resolução

f(x)=\frac{x^4-4x^3}{12}

, logo

f'(x)=\frac{x^3-3x^2}{3}=\frac{x^2(x-3)}{3}

x=0

f'

é negativa dos dois lados: não há extremo. Em

x=3

, passa de negativa a positiva: mínimo.

f(3)=-\frac{27}{12}\cdot(4-3)=-\frac94

Resposta: B

Erro comum. Contar $x=0$ como extremo só porque $f'(0)=0$ e escolher $f_{min}=0$ (C).

Solução da questão 35

Resposta

D.se

\beta\ne2

\beta\ne-2

o sistema tem uma e só única solução

Resolução

O determinante do sistema é

\beta\cdot\beta-2\cdot2=\beta^2-4

, nulo só para

\beta=\pm2

Para

\beta\ne2

\beta\ne-2

, o sistema é possível e determinado: uma única solução.

Para

\beta=2

2x+2y=6

2x+2y=-2

, impossível. Para

\beta=-2

: as duas equações dão

x-y=-1

, há infinitas soluções.

Resposta: D

Erro comum. Achar que $\beta=-2$ também dá um sistema impossível (B).

Solução da questão 36

Resposta

k=-2,\ b\in R

Resolução

Duas rectas são perpendiculares quando o produto dos declives é

-1

\frac12\cdot k=-1\Rightarrow k=-2

;

b

só desloca a recta e pode ser qualquer real.

Resposta: E

Erro comum. Trocar só o sinal do declive, $k=-0{,}5$ (C), ou só invertê-lo, $k=2$ (A).

Solução da questão 37

Resposta

\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}

Resolução

Uma matriz

2\times3

por uma

3\times1

dá uma matriz

2\times1

1.ª linha:

1\cdot(-1)+2\cdot0+3\cdot1=2

; 2.ª linha:

(-1)(-1)+(-2)\cdot0+(-3)\cdot1=-2

Resposta: B

Erro comum. Achar que o produto não existe (E) por as matrizes terem formas diferentes.

Solução da questão 38

Resposta

3\sqrt3

Resolução

B

é o ângulo entre os lados

a

c

;

b

é o lado oposto.

Lei dos cossenos:

b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=36+9-2\cdot6\cdot3\cdot\frac12=27

b=\sqrt{27}=3\sqrt3

cm.

Resposta: D

Erro comum. Usar $b^2=a^2+c^2$ , como se o ângulo recto estivesse em $B$ .

Solução da questão 39

Resposta

\sqrt3

vezes

Resolução

O raio não muda e a altura é

h=R\operatorname{tg}\alpha

Com

\alpha=45^\circ

h=R

; com

\alpha=60^\circ

h=R\sqrt3

V=\frac13\pi R^2h

é proporcional a

h

\frac{V_2}{V_1}=\frac{R\sqrt3}{R}=\sqrt3

Resposta: E

Erro comum. Fazer a razão dos ângulos, $\frac{60}{45}$ , em vez da razão das tangentes.

Solução da questão 40

Resposta

F(x)=-\frac13\cos3x+C

Resolução

\int\operatorname{sen}3x\,dx=-\frac13\cos3x+C

: o

\frac13

compensa a derivada interna,

3

Confirma-se:

\left(-\frac13\cos3x\right)'=-\frac13\cdot(-3\operatorname{sen}3x)=\operatorname{sen}3x

Resposta: C

Erro comum. Esquecer o $\frac13$ e escolher $-\cos3x+C$ (A).