Matemática III 2024

UEM
40 questões
90 minutos
39 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de Admissão de Matemática III

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro à lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, à esferográfica (de cor azul ou preta).

Determine a solução da equação $|-3 + x| = -3$ :

x=0

x=6

x=0

x=6

D.Nenhuma delas

E.Não tem solução

$y = |ax^2 + bx + c|$ é uma função:

A.Positiva

B.Positiva quando

x \geq 0

e negativa caso contrário

C.Par

D.Ímpar

E.Não negativa

Determine a solução da inequação $|x-2||x-3| < 0$

x \in \mathbb{R}\setminus\{2,3\}

x \in \emptyset

x \geq 2

x \geq 3

D.Nenhuma delas

x \in ]2,3[

$a$ e $|a|$ são sempre dois números...

A.com valores simétricos.

B.com o mesmo valor.

C.valores recíprocos.

D.com valores iguais ou simétricos.

E.Nenhuma delas

O Domínio de uma função modular deve sempre ser...

A.o conjunto de números reais.

B.nenhuma delas.

C.positivos.

D.simétrico.

E.não negativo.

Quantas permutações das letras ABCDEFGH contêm a palavra ABC?

A.720

B.120

C.4

D.Permutação de 8

E.6

Para fazer uma bandeira com cores branca, amarela, verde, vermelha e preta, decidiu-se que duas das cores vão ficar na posição vertical e as restantes 3 cores nas posições horizontais. Quantas bandeiras diferentes podem ser produzidas?

A.18

5!

C.6

D.12

E.3

Um estudante pode escolher um projecto de estudo de entre 3 listas, a primeira tem 23 projectos, a segunda tem 15 projectos e a terceira tem 19 projectos. Quantas alternativas de escolha tem o estudante? (Onde $C_n^r$ representa a combinação de n elementos r a r).

A.6555

B.57

23C_{19}^{15}

19C_{23}^{15}

E.Inversamente proporcional em k

Uma empresa recebeu candidaturas para ocupar 2 vagas. 220 candidatos concorreram para vaga A, 147 para a vaga B e 51 concorreram para 2 vagas. Quantos candidatos concorreram somente para a vaga A?

A.271

B.350

C.220

D.169

E.Nenhuma delas

10.

De quantas formas podem ser selecionados 49 estudantes de uma turma de 52? Onde $A_n^r$ representa o arranjo de n elementos r a r.

A.22100

B.3

A_{52}^{49}

D.2548

E.Nenhuma delas

11.

Quantas palavras de comprimento r podem ser construídas com um alfabeto de m letras?

A.nr

\frac{n!}{(n-r)!}

\frac{n!}{n!(n-r)!}

n^r

E.Nenhuma delas

12.

A $C_n^k$ ( $C_n^k$ é a combinação de n elementos k a k)...

A.é uma operação usada para fazer agrupamentos com repetições múltiplas.

B.é uma operação usada para fazer agrupamentos com apenas uma repetição.

C.produz grupos sem repetição.

D.faz arranjos de elementos de um conjunto.

E.Nenhuma delas

13.

Seja $f(x)$ uma função par, então:

f(x)=f(2x)

f(x)=|f(x)|

f(x)-f(-x)=0

-f(x)=f(-x)

f(x)=2f(g(x))

para uma função

g(x)

no mesmo domínio da função

f(x)

14.

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ duas funções lineares, a composição destas $f[g(x)]$ ou $g[f(x)]$ serão...

A.funções iguais.

B.funções simétricas.

C.funções recíprocas.

D.funções lineares.

E.funções de ordem superior a linear.

15.

A função $f(x)=x^2-4x+c$ tem raízes diferentes se e somente se:

A.c = 4

B.c < 4

C.c > 4

D.c

\leq

E.c

\geq

16.

Os arcos de uma ponte são descritos por uma função $f(x)=-x^2+2x,\ x\in\,]-3,0]$ . Sabendo que $f(x)$ é periódica e de período igual a 3, determine $f(7)$ .

A.15

B.3

C.0

D.2

E.-8

17.

As funções $f(x)=2x^2-3x+3$ e $g(x)=-x+4$ são definidas no mesmo domínio. Determine os pontos de interseção entre elas.

A.Não existem pontos de intersecção

x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}

x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}

x=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}

E.Nenhuma delas

18.

A imagem da função $f(x)=5\cos(2x)+1$ encontra-se em:

A.[-1, 1]

B.[-5, 5]

C.[0, 1]

D.[-4, 6]

E.Nenhuma delas

19.

O número de bons ovos em um galinheiro é aproximadamente igual a $E(n)=2n^2+\frac{n-1}{4}$ onde n representa o número de dias desde a criação do galinheiro. Quantos ovos bons existiam no início da criação e quantos depois de 24 horas?

A.0 e 2 respectivamente

B.0 ovos

-0.25

e 2

-0.25

E.2

20.

Determine o termo geral da sucessão $\frac{5}{3}, \frac{7}{8}, \frac{9}{15}, \dots$

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1},\ n=1,2,3,\dots

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1},\ n=0,1,2,3,\dots

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1},

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1},\ n=2,3,\dots

E.Nenhuma delas

21.

Determine a soma dos primeiros 12 termos da sucessão 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...,

S_{12}=375

S_{12}=\frac{1-r^n}{1-r}

S_{12}=6(a_1+a_{12})

S_{12}=350

E.Nenhuma delas

22.

Diz-se que uma sucessão $a_n$ é estritamente crescente se...

A.os valores de

n

forem crescentes.

B.os valores de n forem crescentes na medida em que

a_n

for crescendo.

C.os valores de

a_n

forem crescendo na medida em que o

n

vai crescendo.

D.os valores de

a_n

forem crescendo ou constantes na medida em que o

n

for crescendo.

E.Nenhuma delas

23.

No fim de 131 dias de colheita, um certo produto vai ser comercializado a 10 meticais por unidade. Sabendo que nos diferentes dias de colheita foram feitos os seguintes registos de quantidades colhidas, 3, 4.5, 6, 7.5, 9, ... , determine o valor monetário arrecadado depois da comercialização.

A.131 655 MT

B.1310 MT

C.393MT

D.90 MT

E.nenhuma delas

24.

Uma fábrica de produção de calçado pretende a partir do dia 01 de Maio de 2022, incrementar a sua produção em 10 unidades por mês. No dia 30 de Abril de 2022, ela produzirá 100 calçados. Determine a quantidade que deverá ser produzida no dia 30 de Maio de 2083.

A.7410

B.6200

C.161

D.74100

E.741000

25.

Se o vigésimo termo de uma progressão geométrica de razão 0.5 é igual a 23, determine o termo na posição 50.

a_{50}=23\,(0.5)^{49}

a_{50}=23\,(0.5)^{50}

a_{50}=1150

a_{50}=23\,(0.5)^{30}

E.Nenhuma delas

26.

Se $f(x)=2^{-x}$ , então $f(0)+f(1)+\dots+f(100)$ será igual a:

2-2^{-101}

2^{50}+2^{-50}

2+2^{-101}

2+2^{-100}

2-2^{-100}

27.

Para a função à direita, os valores de $\lim_{x\to1} f(x)$ , $\lim_{x\to-2^-} f(x)$ e $f(x)$ são respectivamente iguais a:

A.Não existe, – 3, 2

B.2, 0, 2

C.0, –3, 0

D.Nenhuma delas

E.3, 0, 0

28.

O limite da função $f(x)$ quando $x\to a$ é:

A.o valor de

f(x)

quando

x=a

B.o valor de

f(x)

quando

x\neq a

C.o valor de

f(x)

quando

x

é próximo de

a

D.o valor do domínio de

f(x)

E.indeterminado se

x=0

29.

O resultado do cálculo da expressão $\lim_{x\to1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ é:

A.0

B.1

C.indeterminado

D.-1

E.Nenhuma delas

30.

Seja dada a função:

$f(x)=\begin{cases}7x-2, & x<1\\ kx^2, & x\geq1\end{cases}$

Determine o valor de k, de modo que a função seja contínua.

k=\frac{1}{x^2}

k=5

k=7x-2

k=\frac{7x-2}{x^2}

E.Nenhuma delas

31.

Para uma função $f(x)$ , se $\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$ então...

A.a função tem assimptota em

\pm\infty

a

é assimptota horizontal.

a

é assimptota vertical.

f(x)

é uma função contínua em todo o seu domínio.

E.Nenhuma delas

32.

A velocidade de uma gota de chuva em queda livre é dada por $v(t)=v_f\left(1-e^{-gt/v_f}\right)$ onde $g=9.8\,\frac{m}{s^2}$ e $v_f$ é a velocidade final da gota. Se uma gota cai de um ponto muito alto de tal modo que precise de uma infinidade de segundos para chegar ao chão, determine a velocidade da queda.

\infty

-\infty

C.0

v_f

E.Nenhuma delas

33.

Suponha que $f(x)=\log_{5\sqrt[3]{5}}(x^4)$ indica em centenas o número de bactérias em um ambiente $x$ dias depois da libertação de um inimigo natural das bactérias. Quantas bactérias terá o ambiente no início do sexto dia depois que se liberta o predador?

A.3

B.200

C.300

D.400

E.4

34.

Uma empresa está a fabricar autocarros da marca Moçambique e encontra-se na fase de testes da velocidade que os autocarros podem atingir passados $x$ segundos tendo dos testes definido a função velocidade.

$v(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}, & \text{se } 0\leq x<2\\ ax^2-bx+3, & \text{se } 2\leq x<3\\ 2x-a+b, & \text{se } x\geq3\end{cases}$

Os engenheiros querem que a velocidade evolua de modo a evitar mudanças abruptas desta. Determine os valores de $a$ e $b$ , para a satisfação dos engenheiros.

A.a = 0.5, b = −0.5

B.a = b = 0.5

C.a = −2.5, b = −5.5

D.a = −2.5, b = 4.5

E.Nenhuma delas

35.

A derivada de $f(x)=ax^2+\sqrt{x}-\ln(2x)+e^{3x}$ é:

2ax+\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}+3e^{3x}

2ax+\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{x}+3e^{3x}

2ax+\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2x}+3e^{3x}

2ax+\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x}+3e^{3x}

E.Nenhuma delas

36.

O resultado da integral $\int\left(x^2+\frac{2}{x}+2^x\right)dx$ é:

\frac{x^3}{3}+2\ln x+x\,2^{x-1}

\frac{x^3}{3}-2\ln x+x\,2^{x-1}

\frac{x^3}{3}+2\ln x+\frac{2^x}{\ln 2}

\frac{x^3}{3}+2\ln x-\frac{2^x}{\ln 2}

\frac{x^3}{3}+2\ln x+\ln(2)2^x

37.

Determine a equação da recta tangente a $y=x^3-4x+1$ e que passa pelo ponto $P(2,1)$ .

y=8x

y=8x+15

y=3x^2-4

y=8x-15

E.nenhuma delas

38.

Determine o valor que maximiza a função $f(x)=3x^2-x+1$

\frac{1}{3}

-\frac{1}{3}

\pm\frac{1}{3}

\frac{11}{9}

\frac{7}{9}

39.

Para uma função $y=ax^2+bx+c,\ a\neq0$ , o ponto $x_0$ será ponto de mínimo se:

f'(x_0) = e\ f''(x_0)>0

f'(x_0)=0

f''(x_0)=0

f'(x)=0

f''(x)>0

f'(x) = e\ f''(x)<0

40.

A divisão dos números $Z_1=x-yi$ por $Z_2=3y+xi$ é igual a:

\frac{2xy-(x^2+3y)i}{9y^2+x^2}

B.Não determinado

\frac{x}{3y}-\frac{y}{x}

\frac{x}{3y}-\frac{y}{x}i

E.Nenhuma delas

Respostas

Matemática III 2024 · UEM · admitela.com

1E
2E
3B
4D
5B
6A
7B
8B
9D
10A
11D
12C
13C
14D
15B
16E
17D
18D
19C
20D
21E
22C
23A
24A
25D
26E
27A
28C
29A
30B
31C
32D
33C
34B
35A
36C
37D
38—
39A
40A

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-iii-2024/

Solução da questão 1

Resposta

E.Não tem solução

Resolução

O módulo nunca é negativo:

|-3+x|\ge0

para todo o

x

Por isso não pode valer

-3

: a equação é impossível.

Resposta: E

Erro comum. Resolver $x-3=\pm3$ e chegar a $x=0$ ou $x=6$ (C) sem reparar que o segundo membro é negativo.

Solução da questão 2

Resposta

E.Não negativa

Resolução

O módulo nunca é negativo:

y=|ax^2+bx+c|\ge0

para todo o

x

Não é sempre positiva, porque vale

0

nas raízes do trinómio, quando as tem; e só é par se

b=0

Resposta: E

Erro comum. Escolher «positiva» (A) e esquecer que o módulo pode valer zero.

Solução da questão 3

Resposta

x \in \emptyset

Resolução

Cada módulo é

\ge0

, logo o produto

|x-2|\,|x-3|

também é

\ge0

para todo o

x

Um produto não negativo nunca é menor que zero: não há solução,

x\in\emptyset

Resposta: B

Erro comum. Resolver $(x-2)(x-3)<0$ , sem os módulos, e responder $]2,3[$ (E).

Solução da questão 4

Resposta

D.com valores iguais ou simétricos.

Resolução

a\ge0

|a|=a

: os dois números são iguais.

a<0

|a|=-a

: os dois números são simétricos.

Resposta: D

Erro comum. Escolher «o mesmo valor» (B), que só vale para $a\ge0$ .

Solução da questão 5

Resposta

B.nenhuma delas.

Resolução

O módulo aplica-se a qualquer número real, por isso

|f(x)|

tem o domínio de

f

Esse domínio pode ser

\mathbb{R}

, como em

|x|

, ou não, como em

\left|\frac1x\right|

, que exclui o

0

. Nenhuma das outras descrições vale sempre.

Resposta: B

Erro comum. Confundir domínio com contradomínio: são os valores de $|f(x)|$ que são não negativos (E).

Solução da questão 6

Resposta

A.720

Resolução

Para ABC aparecer seguida, junta-se num só bloco.

Ficam 6 objectos a permutar: o bloco ABC e as letras D, E, F, G e H.

6!=720

Resposta: A

Erro comum. Permutar as 8 letras, $8!$ (D), sem prender o bloco ABC.

Solução da questão 7

Resposta

5!

Resolução

Há cinco posições diferentes, duas verticais e três horizontais, e cada cor ocupa uma.

Distribuir 5 cores por 5 posições é ordená-las:

5!=120

. Ou:

A_5^2\times3!=20\times6=120

Resposta: B

Erro comum. Contar só a ordem dentro de cada grupo, $2!\times3!=12$ (D), sem escolher que cores ficam na vertical.

Solução da questão 8

Resposta

B.57

Resolução

Escolhe-se um só projecto, de uma das três listas: as escolhas excluem-se umas às outras e somam-se.

23+15+19=57

Resposta: B

Erro comum. Multiplicar, $23\times15\times19=6555$ (A), como se escolhesse um projecto de cada lista.

Solução da questão 9

Resposta

D.169

Resolução

Os 220 candidatos à vaga A incluem os 51 que concorreram às duas vagas.

Só à vaga A:

220-51=169

Resposta: D

Erro comum. Responder 220 (C), contando também os que concorreram às duas vagas.

Solução da questão 10

Resposta

A.22100

Resolução

Seleccionar estudantes não depende da ordem: é uma combinação, não um arranjo.

C_{52}^{49}=C_{52}^{3}=\dfrac{52\times51\times50}{3\times2\times1}=22100

Resposta: A

Erro comum. Escolher o arranjo $A_{52}^{49}$ (C) só porque o enunciado o define.

Solução da questão 11

Resposta

n^r

Resolução

Cada uma das

r

posições da palavra pode levar qualquer letra, e as letras podem repetir-se.

Com

n

letras por posição:

n\times n\times\dots\times n=n^r

Resposta: D

O enunciado chama $m$ ao número de letras e as alternativas chamam-lhe $n$ : a resposta é $n^r$ , com $n=m$ .

Erro comum. Usar o arranjo simples $\frac{n!}{(n-r)!}$ (B), que não deixa repetir letras.

Solução da questão 12

Resposta

C.produz grupos sem repetição.

Resolução

C_n^k

conta os grupos de

k

elementos tirados de

n

, sem repetir elementos e sem importar a ordem.

Fazer arranjos, em que a ordem conta, é o que faz

A_n^k

, não

C_n^k

Resposta: C

Erro comum. Confundir combinação com arranjo (D).

Solução da questão 13

Resposta

f(x)-f(-x)=0

Resolução

f

é par quando

f(-x)=f(x)

para todo o

x

do domínio.

Passando tudo para o primeiro membro:

f(x)-f(-x)=0

Resposta: C

Erro comum. Escolher $-f(x)=f(-x)$ (D), que é a definição de função ímpar.

Solução da questão 14

Resposta

D.funções lineares.

Resolução

Com

f(x)=ax+b

g(x)=cx+d

f[g(x)]=a(cx+d)+b=acx+(ad+b)

É outra vez do primeiro grau; o mesmo acontece com

g[f(x)]

Resposta: D

Erro comum. Achar que as duas composições são iguais (A): em geral $ad+b\neq cb+d$ .

Solução da questão 15

Resposta

B.c < 4

Resolução

Duas raízes diferentes exigem

\Delta>0

\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot c=16-4c>0\iff c<4

Resposta: B

Erro comum. Incluir $c=4$ (D): aí $\Delta=0$ e a raiz $x=2$ é dupla.

Solução da questão 16

Resposta

E.-8

Resolução

Com período 3,

f(x)=f(x-3k)

: tira-se 3 até cair em

]-3,0]

, onde a fórmula vale.

7-3\cdot3=-2\in\,]-3,0]

, logo

f(7)=f(-2)

f(-2)=-(-2)^2+2\cdot(-2)=-4-4=-8

Resposta: E

Erro comum. Substituir $x=7$ directamente na fórmula, que só vale em $]-3,0]$ .

Solução da questão 17

Resposta

x=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}

Resolução

Igualam-se as funções:

2x^2-3x+3=-x+4\iff2x^2-2x-1=0

\Delta=4+8=12

, logo

x=\dfrac{2\pm\sqrt{12}}{4}=\dfrac{1\pm\sqrt3}{2}

Há dois pontos de intersecção, e a D dá os dois.

Resposta: D

Erro comum. Escolher B ou C, que dão só uma das duas soluções.

Solução da questão 18

Resposta

D.[-4, 6]

Resolução

-1\le\cos(2x)\le1

Multiplicando por 5 e somando 1:

-5+1\le5\cos(2x)+1\le5+1

, isto é,

[-4,6]

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o $+1$ e responder $[-5,5]$ (B).

Solução da questão 19

Resposta

-0.25

e 2

Resolução

O início da criação é

n=0

e 24 horas depois é

n=1

, porque

n

conta dias.

E(0)=0+\frac{0-1}{4}=-0.25

E(1)=2+\frac{1-1}{4}=2

Resposta: C

Um número de ovos não pode ser negativo: o modelo é aproximado, e $-0.25$ quer dizer que não havia ovos. O exame pede os valores do modelo.

Erro comum. Substituir $n=24$ , contando as 24 horas em horas, quando $n$ conta dias.

Solução da questão 20

Resposta

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1},\ n=2,3,\dots

Resolução

Numeradores 5, 7, 9:

2n+1

com

n=2,3,4

Denominadores 3, 8, 15:

n^2-1

com os mesmos

n=2,3,4

Logo

a_n=\frac{2n+1}{n^2-1}

a começar em

n=2

; com

n=1

o denominador seria zero.

Resposta: D

Erro comum. Começar em $n=1$ (A) sem testar o primeiro termo, que daria $\frac30$ .

Solução da questão 21

Resposta

E.Nenhuma delas

Resolução

Cada termo é a soma dos dois anteriores (sucessão de Fibonacci): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

S_{12}=1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+144=376

Não é progressão aritmética nem geométrica, por isso B e C não servem; e 376 não está em A nem em D.

Resposta: E

Erro comum. Errar a soma por uma unidade e escolher 375 (A).

Solução da questão 22

Resposta

C.os valores de

a_n

forem crescendo na medida em que o

n

vai crescendo.

Resolução

Estritamente crescente:

a_{n+1}>a_n

para todo o

n

, isto é, os termos aumentam sempre que

n

aumenta.

Se admitir termos iguais, como na D, é só crescente em sentido lato.

Resposta: C

Erro comum. Escolher D, que aceita termos constantes e esquece o «estritamente».

Solução da questão 23

Resposta

A.131 655 MT

Resolução

As quantidades formam uma progressão aritmética:

a_1=3

r=1.5

a_{131}=3+130\times1.5=198

S_{131}=\frac{(3+198)\times131}{2}=13165.5

unidades.

A 10 MT cada:

13165.5\times10=131\,655

MT.

Resposta: A

Erro comum. Multiplicar só os dias pelo preço, $131\times10=1310$ MT (B), como se se colhesse uma unidade por dia.

Solução da questão 24

Resposta

A.7410

Resolução

A produção cresce 10 unidades por mês: é uma progressão aritmética de razão

d=10

De Abril de 2022 a Maio de 2083 passam

61\times12+1=733

meses; a conta rigorosa dá

100+733\times10=7430

, que não está nas alternativas.

O exame conta

61\times12=732

termos a partir de

a_1=100

a_{732}=100+731\times10=7410

, o único valor da ordem de grandeza certa.

Resposta: A

A contagem de meses do exame fica dois meses curta: a conta rigorosa dá 7430. A resposta pretendida é 7410.

Erro comum. Contar anos em vez de meses: em 61 anos há $61\times12$ aumentos, não 61.

Solução da questão 25

Resposta

a_{50}=23\,(0.5)^{30}

Resolução

Numa progressão geométrica,

a_m=a_k\,r^{\,m-k}

a_{50}=a_{20}\,(0.5)^{50-20}=23\,(0.5)^{30}

Resposta: D

Erro comum. Usar o expoente 49 (A), que só serviria se 23 fosse o primeiro termo.

Solução da questão 26

Resposta

2-2^{-100}

Resolução

f(k)=\left(\frac12\right)^k

: a soma tem 101 termos de uma progressão geométrica com

a_1=1

r=\frac12

S=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{101}}{1-\frac12}=2\left(1-2^{-101}\right)=2-2^{-100}

Resposta: E

Erro comum. Parar em $2-2^{-101}$ (A), sem multiplicar o $2$ pela potência.

Solução da questão 27

Resposta

A.Não existe, – 3, 2

Resolução

O terceiro valor só se lê como

f(1)

: é a única leitura que bate com as alternativas.

x=1

, pela esquerda

f(x)\to3

e pela direita

f(x)\to0

(bolas abertas): os limites laterais diferem, logo

\lim_{x\to1}f(x)

não existe.

Quando

x\to-2^-

, o arco da esquerda acaba na bola aberta

(-2,-3)

: o limite é

-3

. E

f(1)=2

, o ponto cheio isolado.

Resposta: A

O enunciado pede « $f(x)$ » como terceiro valor; lê-se $f(1)$ .

Erro comum. Ler valores da função em vez de limites: $f(1)=2$ e $f(-2)=0$ dão a B.

Solução da questão 28

Resposta

C.o valor de

f(x)

quando

x

é próximo de

a

Resolução

\lim_{x\to a}f(x)

é o valor de que

f(x)

se aproxima quando

x

está próximo de

a

, sem ter de chegar a

a

Só coincide com

f(a)

(A) se

f

for contínua em

a

; a função pode até não estar definida em

a

Resposta: C

Erro comum. Escolher A, supondo que o limite é sempre $f(a)$ .

Solução da questão 29

Resposta

A.0

Resolução

O denominador não se anula em

x=1

: substitui-se directamente.

\dfrac{1-1}{1+1}=\dfrac02=0

Resposta: A

Erro comum. Ver o zero do numerador e responder «indeterminado» (C); a indeterminação seria $\frac00$ .

Solução da questão 30

Resposta

k=5

Resolução

Os dois ramos são contínuos; falta garantir a continuidade em

x=1

\lim_{x\to1^-}(7x-2)=5

f(1)=k\cdot1^2=k

, logo

k=5

Resposta: B

Erro comum. Deixar $k$ em função de $x$ (A, C ou D): $k$ é uma constante.

Solução da questão 31

Resposta

a

é assimptota vertical.

Resolução

f(x)\to\pm\infty

quando

x\to a

, com

a

finito, o gráfico aproxima-se da recta vertical

x=a

Essa recta é uma assimptota vertical.

Resposta: C

Erro comum. Confundir com a assimptota horizontal (B), que aparece quando $x\to\pm\infty$ e $f(x)$ tende para um número.

Solução da questão 32

Resposta

v_f

Resolução

Uma infinidade de segundos é

t\to+\infty

Com

g>0

v_f>0

e^{-gt/v_f}\to0

, logo

v(t)\to v_f(1-0)=v_f

Resposta: D

Erro comum. Achar que a velocidade cresce sem limite (A), esquecendo que a exponencial de expoente negativo tende para zero.

Solução da questão 33

Resposta

C.300

Resolução

No início do sexto dia passaram 5 dias:

x=5

A base é

5\sqrt[3]{5}=5^{4/3}

5^4=\left(5^{4/3}\right)^3

, logo

f(5)=\log_{5^{4/3}}\left(5^4\right)=3

f

está em centenas:

3\times100=300

bactérias.

Resposta: C

Erro comum. Responder 3 (A), esquecendo que $f$ conta centenas.

Solução da questão 34

Resposta

B.a = b = 0.5

Resolução

Sem mudanças abruptas,

v

tem de ser contínua em

x=2

e em

x=3

x=2

\frac{x^2-4}{x-2}=x+2\to4

, logo

4a-2b+3=4

, isto é,

4a-2b=1

x=3

9a-3b+3=6-a+b

, isto é,

10a-4b=3

. Com

b=2a-0.5

2a+2=3

, logo

a=0.5

b=0.5

Resposta: B

Erro comum. Achar que o primeiro ramo não tem limite em $x=2$ por dar $\frac00$ , em vez de o simplificar.

Solução da questão 35

Resposta

2ax+\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x}+3e^{3x}

Resolução

(ax^2)'=2ax

(\sqrt x)'=\frac{1}{2\sqrt x}

(\ln(2x))'=\frac{2}{2x}=\frac1x

, que com o sinal menos dá

-\frac1x

; e

(e^{3x})'=3e^{3x}

Resposta: A

Erro comum. Derivar $\ln(2x)$ como $\frac{1}{2x}$ (C), sem multiplicar pela derivada de $2x$ .

Solução da questão 36

Resposta

\frac{x^3}{3}+2\ln x+\frac{2^x}{\ln 2}

Resolução

\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}

\int\frac2x\,dx=2\ln x

\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}

, logo

\int2^x\,dx=\frac{2^x}{\ln2}

. Soma-se a constante de integração.

Resposta: C

Erro comum. Tratar $2^x$ como uma potência de $x$ , o que dá $x\,2^{x-1}$ (A).

Solução da questão 37

Resposta

y=8x-15

Resolução

P

está na curva:

2^3-4\cdot2+1=1

y'=3x^2-4

, e em

x=2

o declive é

12-4=8

y-1=8(x-2)\iff y=8x-15

Resposta: D

Erro comum. Escolher $y=3x^2-4$ (C), que é a derivada e não uma recta.

Solução da questão 39

Resposta

f'(x_0) = e\ f''(x_0)>0

Resolução

Pelo critério da segunda derivada,

x_0

é ponto de mínimo se

f'(x_0)=0

f''(x_0)>0

É a alternativa A. A B só garante um ponto crítico, que pode ser máximo, e a D não fala do ponto

x_0

Resposta: A

Na A (e na E) falta o $0$ a seguir ao sinal de igual: lê-se $f'(x_0)=0$ e $f''(x_0)>0$ , com «e» de conjunção.

Erro comum. Escolher B: $f'(x_0)=0$ também vale num ponto de máximo.

Solução da questão 40

Resposta

\frac{2xy-(x^2+3y)i}{9y^2+x^2}

Resolução

Multiplica-se pelo conjugado do divisor,

3y-xi

: o denominador fica

(3y)^2+x^2=9y^2+x^2

Numerador:

(x-yi)(3y-xi)=3xy-x^2i-3y^2i+xy\,i^2=2xy-(x^2+3y^2)i

É a alternativa A, a menos do expoente de

3y^2

, que a impressão perdeu.

Resposta: A

A alternativa A está impressa com $(x^2+3y)i$ ; a conta dá $(x^2+3y^2)i$ . A resposta pretendida é a A.

Erro comum. Dividir parte real por parte real e parte imaginária por parte imaginária (C ou D).