Matemática III 2025

UEM
40 questões
90 minutos
40 soluções

Universidade Eduardo Mondlane

Direcção Pedagógica

Departamento de Admissão à Universidade (DAU)

Exame de admissão de Matemática III - 2025

Preencha as suas respostas na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início desta prova. Não será aceite qualquer outra folha adicional, incluindo este enunciado.
Na FOLHA DE RESPOSTAS, assinale a letra que corresponde à alternativa escolhida pintando completamente o interior do círculo por cima da letra. Por exemplo, pinte assim ●.
A máquina de leitura óptica anula todas as questões com mais de uma resposta e/ou com borrões. Para evitar isto, preencha primeiro à lápis HB, e só depois, quando tiver certeza das respostas, a esferográfica (de cor azul ou preta).

Se $|x^2+9|=0$ , então

x=-3

x=3

x=3

x=-9

x=9

D.não tem solução

x=-9

A função $y=|x^2+bx+c|$ é uma função

A.positiva

B.negativa

C.par

D.não negativa

E.Pode ser positiva ou negativa dependendo dos valores de b e c

Determine o valor de $a$ de tal modo que a equação $\left|\dfrac{(1-ax)(2x-3a)}{x^2+1}\right|=0$ tenha duas raízes iguais.

x\in\mathbb{R}

a=0

a=\frac{2}{3}

a=\frac{3}{2}

a=\mp\sqrt{\frac{2}{3}}

$|x|$ é:

A.igual a

x

B.igual a

-x

C.0

x

x\ge0

-x

x<0

E.negativo ou positivo

A solução da inequação $|2x+1|>|x-1|$ é

x=-\frac{1}{2}

x=2

x=1

x\in\,]-2;0[

x\in\,]-\infty;-2[\,\cup\,]0;+\infty[

Seja $f(x)$ a função definida no gráfico ao lado. $|f(x)|$ tem domínio

x\in\mathbb{R}

f(x)\in\mathbb{R}^+

x\in\mathbb{R}\setminus\{-2,1,2\}

x\in\mathbb{R}^-

E.nenhuma delas

Quantas permutações distintas da palavra ESSO existem? (Lembre-se que os Ss não podem ser distinguidos um do outro).

A.6

B.16

C.4

D.12

E.24

A selecção de futebol de Moçambique viajou para o CAN com 18 jogadores habilitados a jogar em qualquer parte do campo; 11 jogadores deverão compor a equipa inicial. De quantas maneiras o seleccionador pode compor a equipa inicial?

P_{18}

C_{18}^{11}

A_{18}^{11}

D.198

E.nenhuma delas

De quantas formas uma bibliotecária selecciona 4 romances e 3 livros de matemática dentre uma colecção de 8 romances e 7 livros de matemática?

A.352800

B.12

C.56

D.44

E.2450

10.

Para um binómio de grau 8 na forma $(x+a)^8$ , determine o coeficiente de $x^4a^4$

A.8

B.16

C.70

D.35

E.4

11.

Determine $A_n^{n-1}$

n!

n(n-1)

\frac{n}{n-1}

\frac{n-1}{n}

E.nenhuma delas

12.

Numa festa participaram 20 convidados. Todos os convidados apertaram-se a mão, excepto o dono da festa. Quantos apertes de mão foram registados

A.19

B.171

C.4

D.120

E.nenhuma delas

13.

Determine os interceptos vertical e horizontal da recta $f(x)=ax+b$ :

(0,b)

\left(-\frac{b}{a},0\right)

(0,-b)

(0,b)

\left(-\frac{b}{a},0\right)

(0,0)

E.nenhuma delas

14.

Seja $f(x)$ uma função linear, então $f(|x|)$ é:

A.uma função positiva

f(x)+f(-x)=0

f(x)-f(-x)=0

f(x)=0

E.nenhuma delas

15.

A função $f(x)=ax^2+bx+c$ tem duas raízes de sinais iguais, se:

b=c

c=0

\Delta=0

a

c

tem o mesmo sinal

a=0

16.

Indique das funções representadas à direita, aquelas que são funções ou parte de funções trigonométricas.

A.(a)

B.(a) e (d)

C.(d)

D.(c) e (d)

E.(a), (c) e (d)

17.

Determine a composição da função g pela função f, isto é, $(g\circ f)(x)$ , sendo as funções $f(x)=\sqrt{x^2+x-1}$ e $g(x)=x^2$ .

(g\circ f)(x)=\sqrt{x^4+x^2-1}

(g\circ f)(x)=x^2+x-1

(g\circ f)(x)=x^2

(g\circ f)(x)=(f\circ g)(x)

E.nenhuma delas

18.

A imagem da função $f(x)=\tan(2x-1)+3$ encontra-se em:

]-\infty;+\infty[

]-\infty;0]

[0,2\pi]

[-0.5;0.5]

E.nenhuma delas

19.

A função $q(x)$ ao lado, é uma função

A.quadrática

B.crescente

C.negativa

D.cúbica

E.modular negativa

20.

Qual do(s) gráfico(s) ao lado representa(am) função(ões) par(es)?

A.I e II

B.II

C.II e IV

D.I e V

E.V

21.

Determine o termo de ordem 10 para a sequência $a_n=\dfrac{n^2+8n+1}{2n+5}$ .

a_{10}=7

a_{10}=0.7

a_{10}=\infty

a_{10}=7.24

E.nenhuma delas

22.

Seja $u_n$ definida por $u_n=\begin{cases} n; & n<10\\[2pt] 1+\dfrac1n; & n\ge10\end{cases}$ podemos dizer que

A.A sucessão

u_n

tem limite nulo

B.A sucessão

u_n

é divergente

C.A sucessão

u_n

é limitada

D.A sucessão

u_n

é monótona

E.nenhuma delas

23.

Determine o termo geral $a_n$ da sucessão de $2,\ 2.5,\ \frac{10}{3},\ \frac{17}{4},\ \dots$

a_n=\frac{n-7}{n+1}

a_n=n-1

a_n=\frac{1+n^2}{n}

a_n=\frac{n+7}{n-1}

E.nenhuma delas

24.

De uma progressão geométrica monótona crescente, sabe-se que $u_4=32$ e $u_8=8192$ . $u_5$ será igual a:

A.128

B.64

C.16

D.256

E.512

25.

Numa progressão geométrica a soma do quarto e sexto termo é igual a 160 e a soma do quinto e sétimo termo é igual a 320. Determine a razão $\dfrac{a_{20}}{a_{19}}$

A.2

-2

2

-2

-4

E.nenhuma delas

26.

Numa progressão geométrica de n termos positivos, a soma de 2 primeiros termos é 192 e a soma do sétimo e oitavo termos é 3. Qual é a razão da progressão?

A.0.5

B.175

C.3

D.0.3

E.2

27.

Uma sucessão diz-se monótona se:

A.for sempre crescente

B.for sempre decrescente

C.for constante

D.(cortada no PDF)

E.(cortada no PDF)

Questões 28 e 29

28.

Para a função descrita no gráfico, o $\lim\limits_{x\to4}f(x)$ é igual a:

A.0

-\infty

C.4

\infty

E.não existe

29.

Para o gráfico do exercício anterior, quais os pontos em que $f(x)$ é crescente?

x\in\mathbb{R}

x\in\,]-\infty,0[\,\cup\,]4,+\infty[

x\in\mathbb{R}^+

x=4

E.nenhuma delas

30.

Calcule $L=\lim\limits_{x\to1}\left(\dfrac{x^2-4}{x-2}\right)$

L=3

B.Indeterminado

L=0

L=2

L=\infty

31.

A função $f(x)=\sqrt{9-x^2}$ quando $x=5$

A.Toma valores positivos

B.é contínua

C.é radical

D.não é definida

E.nenhuma delas

32.

Seja dada a função $f(x)=\dfrac{x+1}{3x+2}$ determine assimptota horizontal, caso exista:

A.não tem assimptota horizontal

B.a assimptota horizontal é

x=\frac{1}{3}

y=-\frac{1}{2}

y=\frac{1}{3}

E.a assimptota horizontal é

y=-\frac{1}{3}

33.

Determine a derivada da função $f(x)=\ln x-\sqrt{x}+\cos x\,\mathrm{sen}\,x$

\frac1x-\frac{1}{2\sqrt x}+\cos2x

1-\sqrt x-\mathrm{sen}\,x\cos x

C.0

\frac1x-\frac{1}{2\sqrt x}

E.1

34.

A função descrita no gráfico ao lado tem a primeira derivada igual a zero quando

x=\pm3

x=\pm1

x=0

x=\pm\sqrt3

E.nenhuma delas

35.

Diremos que uma função $f(x)$ é limitada se:

A.for constante

B.tiver raízes

C.tiver limites laterais

D.for contínua

E.os limites laterais forem iguais

36.

Determine a equação da recta tangente a função $f(x)=\mathrm{sen}\,x$ , no ponto $x=\dfrac\pi4$

y=\frac{\sqrt2}{2}x+\frac{\sqrt2}{2}\left(1-\frac\pi4\right)

\frac{\sqrt2}{2}x+\frac\pi4

\frac{\sqrt2}{2}x-\frac\pi4

-\frac{\sqrt2}{2}x+\frac\pi4

E.nenhuma delas

37.

Uma função diz se decrescente num determinado ponto $x_0$ se:

A.tiver valores negativos em

x_0

B.for limitada no ponto

x_0

f'(x_0)>0

f'(x_0)\le0

f'(x_0)<0

38.

Se $z=a+bi$ é um número complexo, então diremos que $z\in Z$ e:

a,b\in\mathbb{R}

a+b\in\mathbb{Z}

a\neq0

a,b\in\mathbb{Z}

b>0

39.

Uma função diferenciável é crescente numa certa região se:

A.tiver derivada nessa região

B.for positiva

C.tiver derivada positiva nessa região

D.for monótona

E.nenhuma delas

40.

Determine o valor mínimo da função $f(x)=x^2-4x+7$

x=2

y=-3

y=3

D.0

E.Nenhuma delas

Respostas

Matemática III 2025 · UEM · admitela.com

1D
2D
3E
4D
5E
6E
7D
8B
9E
10C
11A
12B
13C
14C
15D
16B
17B
18A
19D
20D
21D
22C
23C
24A
25A
26A
27—
28B
29B
30A
31D
32D
33A
34D
35A
36A
37E
38A
39C
40C

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/uem/matematica-iii-2025/

Solução da questão 1

Resposta

D.não tem solução

Resolução

|x^2+9|=0

só acontece se

x^2+9=0

, isto é,

x^2=-9

Nenhum número real tem quadrado negativo; aliás,

x^2+9\ge9

para todo o

x

Resposta: D

Erro comum. Tirar a raiz de $-9$ e responder $x=\pm3$ (A).

Solução da questão 2

Resposta

D.não negativa

Resolução

O módulo nunca é negativo:

y=|x^2+bx+c|\ge0

, quaisquer que sejam

b

c

Não é sempre positiva: vale

0

nas raízes do trinómio, quando ele as tem. E só é par se

b=0

Resposta: D

Erro comum. Escolher «positiva» (A) e esquecer que o módulo pode valer zero.

Solução da questão 3

Resposta

a=\mp\sqrt{\frac{2}{3}}

Resolução

O denominador

x^2+1

nunca se anula, logo a equação equivale a

(1-ax)(2x-3a)=0

, com raízes

x=\frac1a

x=\frac{3a}{2}

(

a\neq0

Raízes iguais:

\frac1a=\frac{3a}{2}\iff3a^2=2\iff a=\pm\sqrt{\frac23}

Resposta: E

Erro comum. Ficar só com a raiz positiva, ou tomar $a=0$ (B), que deixa uma só raiz, $x=0$ .

Solução da questão 4

Resposta

x

x\ge0

-x

x<0

Resolução

Por definição,

|x|=x

x\ge0

|x|=-x

x<0

«Igual a

x

» e «igual a

-x

» só valem num dos casos, e

|x|

nunca é negativo.

Resposta: D

Erro comum. Pensar que $-x$ é sempre negativo: para $x<0$ , $-x$ é positivo.

Solução da questão 5

Resposta

x\in\,]-\infty;-2[\,\cup\,]0;+\infty[

Resolução

Os dois membros são não negativos, por isso pode elevar-se ao quadrado:

(2x+1)^2>(x-1)^2

4x^2+4x+1>x^2-2x+1\iff3x^2+6x>0\iff3x(x+2)>0

O produto é positivo fora das raízes:

x<-2

x>0

, isto é,

x\in\,]-\infty;-2[\,\cup\,]0;+\infty[

Resposta: E

Erro comum. Dar o intervalo entre as raízes, $]-2;0[$ (D), onde o produto é negativo.

Solução da questão 6

Resposta

E.nenhuma delas

Resolução

O módulo muda os valores de

f

, não os pontos onde ela existe:

|f|

tem o domínio de

f

No gráfico,

f

vai de

x=-5

x=4

, ambos com ponto cheio. Em

x=-2

x=1

há saltos, mas

f

está definida:

f(-2)=0

f(1)=2

O domínio é

[-5;4]

, que não está em A, C nem D; a B fala dos valores de

f

, não do domínio.

Resposta: E

Erro comum. Tirar do domínio os pontos de descontinuidade (C): neles há uma bola cheia, logo $f$ está definida.

Solução da questão 7

Resposta

D.12

Resolução

ESSO tem 4 letras, com o S repetido 2 vezes.

Permutações com repetição:

\dfrac{4!}{2!}=\dfrac{24}{2}=12

Resposta: D

Erro comum. Responder $4!=24$ (E), contando duas vezes cada palavra só por trocar os dois S.

Solução da questão 8

Resposta

C_{18}^{11}

Resolução

Todos podem jogar em qualquer posição, por isso só interessa quem entra na equipa, não a ordem da escolha.

Escolher 11 de 18 sem ordem:

C_{18}^{11}=\dfrac{18!}{11!\,7!}

Resposta: B

Erro comum. Usar arranjos, $A_{18}^{11}$ (C), que contam a mesma equipa muitas vezes.

Solução da questão 9

Resposta

E.2450

Resolução

Romances:

C_8^4=70

. Livros de matemática:

C_7^3=35

As duas escolhas fazem-se juntas, logo multiplicam-se:

70\times35=2450

Resposta: E

Erro comum. Somar as duas combinações em vez de as multiplicar.

Solução da questão 10

Resposta

C.70

Resolução

Termo geral de

(x+a)^8

C_8^k\,x^{8-k}a^k

. Para

x^4a^4

k=4

C_8^4=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=70

Resposta: C

Erro comum. Tomar um dos expoentes, 8 ou 4, pelo coeficiente.

Solução da questão 11

Resposta

n!

Resolução

A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}

. Com

p=n-1

, fica

n-p=1

A_n^{n-1}=\dfrac{n!}{1!}=n!

Resposta: A

Erro comum. Responder $n(n-1)$ (B), que é $A_n^2$ .

Solução da questão 12

Resposta

B.171

Resolução

O dono da festa não aperta a mão a ninguém, por isso os apertos são entre as outras 19 pessoas.

Cada aperto junta duas pessoas, sem ordem:

C_{19}^2=\dfrac{19\cdot18}{2}=171

Resposta: B

Lê-se que o dono da festa é um dos 20 participantes. Se fosse uma pessoa a mais, os apertos seriam $C_{20}^2=190$ .

Erro comum. Usar $A_{19}^2=342$ , que conta cada aperto duas vezes.

Solução da questão 13

Resposta

(0,b)

\left(-\frac{b}{a},0\right)

Resolução

Intercepto vertical:

x=0

dá

f(0)=b

, o ponto

(0,b)

Intercepto horizontal:

ax+b=0\iff x=-\frac ba

, o ponto

\left(-\frac ba,0\right)

Resposta: C

Erro comum. Escolher a A, que só tem um dos interceptos, ou a B, que troca o sinal de $b$ .

Solução da questão 14

Resposta

f(x)-f(-x)=0

Resolução

Seja

f(x)=ax+b

g(x)=f(|x|)=a|x|+b

Como

|-x|=|x|

g(-x)=g(x)

, ou seja,

g(x)-g(-x)=0

g

é par, com gráfico simétrico em relação ao eixo

y

É a propriedade escrita na alternativa C.

Resposta: C

As alternativas B e C estão escritas com $f$ , mas referem-se à função $f(|x|)$ . Lida à letra, com a própria $f$ linear, a C só valeria para $f$ constante.

Erro comum. Dizer que $f(|x|)$ é sempre positiva (A): com $a<0$ ou $b<0$ toma valores negativos.

Solução da questão 15

Resposta

a

c

tem o mesmo sinal

Resolução

Num trinómio

ax^2+bx+c

, o produto das raízes é

x_1x_2=\dfrac ca

Raízes do mesmo sinal têm produto positivo:

\dfrac ca>0

, isto é,

a

c

com o mesmo sinal (com

\Delta\ge0

, para haver raízes reais).

Resposta: D

Erro comum. Escolher $\Delta=0$ (C), que dá raízes iguais mas nada diz sobre o sinal.

Solução da questão 16

Resposta

B.(a) e (d)

Resolução

Os gráficos das funções trigonométricas ondulam: sobem e descem de forma suave, alternando máximos e mínimos.

(a) e (d) têm esse aspecto: arcos suaves que sobem e descem.

(b) é feito de segmentos de recta, com bicos; (c) tem uma só cova e aproxima-se do eixo

x

sem oscilar.

Resposta: B

A figura é esquemática: (a) e (d) lêem-se como pedaços de curvas ondulantes, do tipo seno ou cosseno, mas o desenho não permite confirmar a expressão de cada função.

Erro comum. Incluir (c), que tem uma só cova e não oscila.

Solução da questão 17

Resposta

(g\circ f)(x)=x^2+x-1

Resolução

(g\circ f)(x)=g(f(x))=\left(\sqrt{x^2+x-1}\right)^2

Onde o radicando é não negativo, o quadrado anula a raiz:

(g\circ f)(x)=x^2+x-1

Resposta: B

Erro comum. Trocar a ordem e elevar ao quadrado só o $x$ de dentro, o que dá $\sqrt{x^4+x^2-1}$ (A), que é $(f\circ g)(x)$ .

Solução da questão 18

Resposta

]-\infty;+\infty[

Resolução

\tan u

toma todos os valores reais quando

u

percorre o seu domínio.

u=2x-1

só muda a escala e a posição na horizontal, e o

+3

só sobe o gráfico: a imagem continua a ser

\mathbb{R}

Resposta: A

Erro comum. Confundir imagem com domínio, que exclui os pontos com $2x-1=\frac\pi2+k\pi$ .

Solução da questão 19

Resposta

D.cúbica

Resolução

Lendo o gráfico como o de um polinómio: toca o eixo

x

-2

(raiz dupla) e corta-o em

1

, logo

q(x)=k(x+2)^2(x-1)

, de grau 3.

Com

q(0)=-2

k\cdot4\cdot(-1)=-2

k=\frac12

. Tem um máximo e um mínimo, desce à esquerda e sobe à direita: é uma cúbica.

Resposta: D

Erro comum. Responder «crescente» (B) olhando só para o ramo da direita.

Solução da questão 20

Resposta

D.I e V

Resolução

Uma função par tem

f(-x)=f(x)

: o gráfico é simétrico em relação ao eixo

y

I (parábola com vértice na origem) e V (em forma de V, com vértice na origem) têm essa simetria.

II e IV não a têm, e III (recta pela origem) é simétrica em relação à origem: é ímpar.

Resposta: D

Erro comum. Tomar a recta pela origem (III) por par: ela é ímpar.

Solução da questão 21

Resposta

a_{10}=7.24

Resolução

a_{10}=\dfrac{10^2+8\cdot10+1}{2\cdot10+5}=\dfrac{181}{25}=7{,}24

Resposta: D

Erro comum. Arredondar $7{,}24$ para $7$ (A).

Solução da questão 22

Resposta

C.A sucessão

u_n

é limitada

Resolução

Para

n<10

1,2,\dots,9

. Para

n\ge10

u_n=1+\frac1n

, entre

1

1{,}1

Logo

1\le u_n\le9

para todo o

n

: a sucessão é limitada.

Tende para

1

(não é divergente nem tem limite nulo) e não é monótona: sobe até

9

e cai para

1{,}1

Resposta: C

Erro comum. Ver só o $\frac1n$ e concluir que o limite é nulo (A): o limite é $1$ .

Solução da questão 23

Resposta

a_n=\frac{1+n^2}{n}

Resolução

Escreve-se cada termo com o seu índice:

2=\frac{1+1^2}{1}

2{,}5=\frac{1+2^2}{2}

\frac{10}{3}=\frac{1+3^2}{3}

\frac{17}{4}=\frac{1+4^2}{4}

O termo geral é

a_n=\dfrac{1+n^2}{n}

Resposta: C

Erro comum. Conferir a fórmula só com um termo: tem de servir para os quatro.

Solução da questão 24

Resposta

A.128

Resolução

u_8=u_4\,r^4

r^4=\dfrac{8192}{32}=256

r=\pm4

Monótona crescente com termos positivos:

r=4

(com

r=-4

o sinal alternaria).

u_5=u_4\,r=32\times4=128

Resposta: A

Erro comum. Calcular $u_5=u_4\,r^2=512$ (E).

Solução da questão 25

Resposta

A.2

Resolução

a_5+a_7=r\,(a_4+a_6)

, logo

320=160\,r

r=2

\dfrac{a_{20}}{a_{19}}=r=2

Resposta: A

Erro comum. Responder « $-2$ ou $2$ » (B), como se viesse de $r^2=4$ ; a equação é $160\,r=320$ .

Solução da questão 26

Resposta

A.0.5

Resolução

a_1+a_2=a_1(1+r)=192

a_7+a_8=a_1r^6(1+r)=3

Dividindo:

r^6=\dfrac{3}{192}=\dfrac1{64}

; como os termos são positivos,

r=\dfrac12=0{,}5

Resposta: A

Erro comum. Usar $r^5$ ou $r^7$ em vez de $r^6$ ao dividir as duas somas.

Solução da questão 27

Resposta

Nenhuma alternativa serve

O PDF corta a última linha da questão: as alternativas D e E não se lêem. A, B e C são só casos particulares de sucessão monótona.

Porquê

Uma sucessão é monótona quando é sempre crescente ou sempre decrescente (em sentido lato, as constantes também o são).

A, B e C descrevem casos particulares: cada um basta, mas nenhum é a definição.

Da linha cortada só se lê o fim de uma alternativa, «… ou sempre decrescente», que seria a definição; sem D e E completas, a questão não se resolve.

Solução da questão 28

Resposta

-\infty

Resolução

Junto à recta tracejada

x=4

, os dois ramos descem sem limite (setas para baixo).

\lim\limits_{x\to4^-}f(x)=-\infty

\lim\limits_{x\to4^+}f(x)=-\infty

; como coincidem,

\lim\limits_{x\to4}f(x)=-\infty

Resposta: B

Erro comum. Responder «não existe» (E) só por haver uma assimptota: os dois lados vão para $-\infty$ .

Solução da questão 29

Resposta

x\in\,]-\infty,0[\,\cup\,]4,+\infty[

Resolução

À esquerda de

0

, o gráfico vem de

-\infty

junto ao eixo

x

(a seta diz que continua) e sobe até perto de

4

: é crescente em

]-\infty,0[

0

até à assimptota

x=4

desce: de

4

até

0

, e depois de

5

para

-\infty

À direita de

x=4

sobe sempre: é crescente em

]4,+\infty[

Resposta: B

Erro comum. Escolher $x=4$ (D): aí a função nem está definida.

Solução da questão 30

Resposta

L=3

Resolução

x=1

o denominador vale

1-2=-1\neq0

: não há indeterminação, basta substituir.

L=\dfrac{1-4}{1-2}=\dfrac{-3}{-1}=3

Resposta: A

Erro comum. Ver uma indeterminação $\frac00$ , que só aparece quando $x\to2$ .

Solução da questão 31

Resposta

D.não é definida

Resolução

\sqrt{9-x^2}

exige

9-x^2\ge0

, isto é,

-3\le x\le3

x=5

9-25=-16<0

, que não tem raiz real;

f

não está definida.

Resposta: D

Erro comum. Escolher «é contínua» (B), que só vale dentro do domínio $[-3;3]$ .

Solução da questão 32

Resposta

y=\frac{1}{3}

Resolução

\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+1}{3x+2}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1+\frac1x}{3+\frac2x}=\dfrac13

A assimptota horizontal é

y=\frac13

Resposta: D

Erro comum. Escrever $x=\frac13$ (B): uma assimptota horizontal é uma recta $y=k$ .

Solução da questão 33

Resposta

\frac1x-\frac{1}{2\sqrt x}+\cos2x

Resolução

(\ln x)'=\dfrac1x

(\sqrt x)'=\dfrac1{2\sqrt x}

Regra do produto:

(\cos x\,\mathrm{sen}\,x)'=-\mathrm{sen}^2x+\cos^2x=\cos2x

f'(x)=\dfrac1x-\dfrac1{2\sqrt x}+\cos2x

Resposta: A

Erro comum. Esquecer a derivada de $\cos x\,\mathrm{sen}\,x$ e responder D.

Solução da questão 34

Resposta

x=\pm\sqrt3

Resolução

f'(x)=0

onde a tangente é horizontal: nos extremos locais.

O ramo da esquerda tem um máximo em

x=-\sqrt3

e o da direita um mínimo em

x=\sqrt3

x=\pm1

estão as assimptotas, onde a função não existe, e na origem a curva passa inclinada, a descer.

Resposta: D

Erro comum. Escolher $x=\pm1$ (B) ou $x=\pm3$ (A), pontos marcados no eixo que não têm tangente horizontal.

Solução da questão 35

Resposta

A.for constante

Resolução

f

é limitada se existe

M

tal que

|f(x)|\le M

para todo o

x

do domínio.

Uma função constante,

f(x)=k

, cumpre isto com

M=|k|

Ter raízes, limites laterais ou ser contínua não chega:

f(x)=x

tem tudo isso e não é limitada.

Resposta: A

Ser constante é uma condição suficiente, não a definição; das alternativas, é a única que garante que a função é limitada.

Erro comum. Achar que toda a função contínua é limitada (D).

Solução da questão 36

Resposta

y=\frac{\sqrt2}{2}x+\frac{\sqrt2}{2}\left(1-\frac\pi4\right)

Resolução

f\left(\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}{2}

f'(x)=\cos x

, logo o declive é

f'\left(\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}{2}

y=\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\left(x-\frac\pi4\right)=\frac{\sqrt2}{2}x+\frac{\sqrt2}{2}\left(1-\frac\pi4\right)

Resposta: A

Erro comum. Esquecer o termo $f(x_0)$ ou somar só $\frac\pi4$ (B).

Solução da questão 37

Resposta

f'(x_0)<0

Resolução

f'(x_0)<0

, a tangente em

x_0

desce e

f

é decrescente nesse ponto.

Com

f'(x_0)\le0

(D) entra o caso

f'(x_0)=0

, em que a função pode não decrescer:

x^3

tem derivada

0

x=0

e é crescente.

Resposta: E

Erro comum. Escolher D, confundindo «decrescente» com «não crescente».

Solução da questão 38

Resposta

a,b\in\mathbb{R}

Resolução

Num número complexo

z=a+bi

a

é a parte real e

b

a parte imaginária, ambas números reais:

a,b\in\mathbb{R}

As outras alternativas (

a\neq0

b>0

a

b

inteiros) não valem para todos os complexos.

Resposta: A

O « $Z$ » do enunciado é uma gralha por $\mathbb{C}$ , o conjunto dos números complexos.

Erro comum. Ler $Z$ como o conjunto dos inteiros e escolher D.

Solução da questão 39

Resposta

C.tiver derivada positiva nessa região

Resolução

Critério da derivada: se

f'(x)>0

em todos os pontos de uma região,

f

é crescente nessa região.

Ter derivada (A) não diz o sinal dela; ser positiva (B) é sobre os valores; ser monótona (D) inclui ser decrescente.

Resposta: C

Erro comum. Confundir função positiva com função crescente: $\frac1x$ é positiva e decrescente em $]0;+\infty[$ .

Solução da questão 40

Resposta

y=3

Resolução

Parábola com

a=1>0

: o mínimo está no vértice,

x_v=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac42=2

Valor mínimo:

f(2)=4-8+7=3

, isto é,

y=3

Resposta: C

Erro comum. Responder $x=2$ (A), que é onde o mínimo acontece, e não o seu valor.