Matemática 2017

UJC
40 questões
120 minutos
39 soluções

Instituto Superior de Relações Internacionais

Comissão de Exames de Admissão

Exame de Matemática - 2017

A prova é constituída por quarenta (40) questões, todas com quatro (4) alternativas de resposta, estando correcta somente UMA (1) das alternativas.
Para cada questão assinale a resposta escolhida na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início do exame. Não será aceite qualquer outra folha adicional.
Pinte o rectângulo com a letra correspondente à resposta escolhida. Por exemplo, se as respostas às questões 35 e 36 forem B e C, respectivamente, pinte assim: 35 A ● C D; 36 A B ● D.
Preencha a lápis HB, pois contrariamente ao preenchimento por esferográfica, os erros podem ser totalmente apagados sem deixar nenhuma marca que possa perturbar a leitura da máquina óptica.
Se tiver a certeza de que as respostas assinaladas a lápis são as definitivas, PODE passar à esferográfica de tinta azul ou preta.

Simplificando a expressão $\dfrac{a^2-1}{a^2+2a+1}:\dfrac{a-1}{a+1}$ tem-se:

a-1

a+1

1

a

Efectue $\left(\sqrt{2\sqrt{32}}\right)^{\frac12}$ :

\sqrt[8]{2}

\sqrt[3]{2}

\sqrt{2}

2

Racionalizando e simplificando o denominador da fracção $\dfrac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ , obtém-se:

\sqrt{2}-1

2\sqrt{2}-1

2\sqrt{2}+1

\sqrt{2}+1

A metade de $2^{22}$ é:

2^{20}

2^{21}

2^{-21}

2^{23}

Calcule a área da parte sombreada da figura, sabendo que a figura interior é um quadrilátero com todos os lados iguais, onde $|AB|=18\,\text{cm}$ e $|BC|=\dfrac{1}{6}|AB|$ .

25\ \text{cm}^2

26\ \text{cm}^2

27\ \text{cm}^2

28\ \text{cm}^2

Dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles excede o menor em 25 000,00 MT. Então, a soma desses capitais é:

A.55 000,00 MT

B.65 000,00 MT

C.40 000,00 MT

D.70 000,00 MT

Seja $f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x-1} & \text{se } x<1\\[2mm] 3x^2+1 & \text{se } x\ge1\end{cases}$ . O valor de $f(2)$ é:

1

1

13

13

1

13

Determine a área do quadrilátero $ABCD$ assumindo que cada quadradinho da rede mede 1 cm de lado.

6\,\text{cm}^2

8\,\text{cm}^2

10\,\text{cm}^2

12\,\text{cm}^2

Consultadas 500 pessoas sobre as emissões de TV que habitualmente assistem, obteve-se o seguinte resultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistem a outros canais distintos de A e B. Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao B?

A.100

B.150

C.180

D.200

10.

O volume do polígono desenhado na figura é:

A.38

B.40

C.48

D.54

11.

Após negociações com o patronato, o salário do senhor Mário passou de 17550,00 MT para 19480,50 MT. O aumento salarial do senhor Mário corresponde a:

A.8%

B.10%

C.11%

D.11%

12.

Na figura estão representados os gráficos das funções. Para que valores de $x$ , $f(x)\ge g(x)$ ?

x\in[0;3]

x\in[0;3[

x\in[-3;3]

x\in\left]-\infty;0\right]\cup[3;+\infty[

13.

A função inversa da função $f(x)=1-\log_2 x$ é:

f^{-1}(x)=2^{1-x}

f^{-1}(x)=2^{1+x}

f^{-1}(x)=2^{x-3}

f^{-1}(x)=3^{1-x}

14.

Qual é o conjunto de todos os valores do parâmetro $k$ para os quais a equação $x^2+kx=-1$ não tem soluções reais?

\{-2;2\}

\left]-2;2\right]

C.IR

\left]-\infty;-2\right[\cup\left]2;+\infty\right[

15.

Seja dada uma função $y=f(x)$ definida em IR que satisfaz a seguinte condição: para todo o $a\in$ IR a recta horizontal $y=a$ intersecta o gráfico de $f$ em pelo menos um ponto. É correcto dizer que a função $f$ é:

A.Injectiva

B.Sobrejectiva

C.Crescente

D.Contínua

16.

O domínio de definição da função $f(x)=\ln\left(\dfrac{3x+1}{2-6x}\right)$ é:

\left[-\frac13;\frac13\right]

\left]-\frac13;\frac13\right]

\left[-\frac13;\frac13\right[

\left]-\frac13;\frac13\right[

17.

A fracção correspondente à região sombreada da figura é:

\frac{1}{2}

\frac{1}{4}

\frac{1}{8}

D.Nenhuma das alternativas

18.

O conjunto solução do sistema $\begin{cases}2x+y-2z=10\\3x+2y+2z=1\\5x+4y+3z=4\end{cases}$ é:

(1,2,3)

(1,-2,3)

(1,2,-3)

(-1,2,3)

19.

Um grupo de 40 cabritos é colocado numa ilha onde até então não existia qualquer cabrito. Admita que a população de cabritos, na ilha, cresce de acordo com a lei: $N(t)=\dfrac{200}{1+4e^{-0{,}12t}}$ , onde $N$ é o número de cabritos existentes $t$ anos após a chegada dos 40 cabritos. Quantos cabritos haverá na ilha 5 anos depois da chegada dos 40 cabritos à ilha?

A.Aproximadamente 62

B.Aproximadamente 63

C.Aproximadamente 64

D.Aproximadamente 65

20.

A função $f(x)=\dfrac{3x}{x^3+x}$ definida em IR é:

A.Ímpar

B.Par

C.Nem par nem ímpar

D.Par e ímpar

21.

A figura ao lado mostra um triângulo $ABC$ com o segmento $AB$ prolongado até ao ponto $D$ , o ângulo externo $CAD$ medindo $145^\circ$ e o ângulo $C$ , $75^\circ$ . A amplitude do ângulo $CAB$ é:

35^\circ

110^\circ

220^\circ

70^\circ

22.

As rectas no plano $r=\dfrac13x-1$ e $s=ax+2$ são perpendiculares se:

a=3

a=-\frac13

a=\frac13

a=-3

23.

Sabe-se que 1 é raiz do polinómio $P(x)=x^3+ax^2+(b-18)x+1$ e $P(2)=25$ . Os valores de $a$ e $b$ são:

a=-10

b=6

a=10

b=-6

a=-10

b=-6

a=10

b=6

24.

A expressão $\dfrac{|x-2|}{x-2}$ é igual a:

1

-1

1

-1

1

-1

25.

Se $f(x)=3+2^{-x}$ então $f(\log_2 5)$ é igual a:

3-2\log_2 5

8

\frac{16}{5}

\frac45

26.

Sejam $f$ e $g$ duas funções de IR em IR, sendo IR o conjunto dos números reais, dadas por $f(x)=2x-3$ e $f[g(x)]=-4x+1$ . Nestas condições, $g(-1)$ é igual a:

-5

4

5

0

27.

Qual é a raiz da equação $\log_{0{,}25}(1-x)=-0{,}5$ ?

-1

0

-3

0{,}5

28.

Use a progressão aritmética para calcular a soma $7+14+21+\ldots+77$ .

A.450

B.460

C.461

D.462

29.

Quantos números pares consecutivos, incluindo o 2, somam 40200?

A.180

B.188

C.200

D.210

30.

O gráfico da função $y=|-x-1|$ é:

31.

A expressão $\dfrac{1}{1-2\cos30^\circ}+\dfrac{1}{1+2\operatorname{sen}60^\circ}$ é igual a:

1

-1

2

D.Não está definida

32.

A solução da equação $2\cos x=1$ , para $\pi<x<2\pi$ é:

\frac{14\pi}{9}

\frac{3\pi}{2}

\frac{10\pi}{9}

\frac{5\pi}{3}

33.

A função $f(x)=-x^3+3x^2-1$ tem seu mínimo no ponto:

(2;3)

(0;-1)

(0;3)

(2;-1)

34.

A solução da equação $\log_{\frac94}x=\dfrac12$ será:

\frac23

\frac32

\frac49

8

35.

Dada a função $f(x)=\dfrac{x^2}{x-2}$ . O ponto de abcissa $x=2$ :

A.É um ponto de descontinuidade eliminável.

B.Não é ponto de descontinuidade.

C.É ponto de descontinuidade de

2.^{a}

espécie.

D.É ponto de descontinuidade de

1.^{a}

espécie.

36.

O limite $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-1}{x-1}$ é igual a:

+\infty

\frac23

3

0

37.

Considere a função $y=f(x)$ e a recta tangente ao gráfico no ponto $P$ . O valor de $f'(2)$ é:

\frac12

2

-\frac12

3

38.

Sabe-se que $g(x)=g'(x)$ . Então:

g(x)=5

g(x)=2\cos x

g(x)=x^2+1

g(x)=3e^x

39.

Calcule a derivada de $y=(2x^2-x)^3$ no ponto $x=1$ .

A.3

B.6

C.9

D.12

40.

A segunda derivada de $f(x)=x\ln x$ é:

\frac1x

x

\ln x

1+\ln x

Respostas

Matemática 2017 · UJC · admitela.com

1C
2—
3A
4B
5C
6A
7C
8C
9C
10D
11—
12A
13A
14—
15B
16D
17A
18C
19B
20B
21D
22D
23D
24C
25C
26B
27A
28D
29C
30A
31B
32D
33B
34B
35C
36C
37A
38D
39C
40A

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/ujc/matematica-2017/

Solução da questão 1

Resposta

1

Resolução

a^2-1=(a-1)(a+1)

a^2+2a+1=(a+1)^2

Dividir é multiplicar pelo inverso:

\dfrac{(a-1)(a+1)}{(a+1)^2}\cdot\dfrac{a+1}{a-1}=1

Resposta: C

Erro comum. Não inverter a segunda fracção e ficar com $\dfrac{(a-1)^2}{(a+1)^2}$ .

Solução da questão 2

Resposta

Nenhuma alternativa serve

O valor é $2^{\frac78}=\sqrt[8]{2^7}\approx1{,}83$ e nenhuma alternativa o dá. A questão falta no banco e foi transcrita do PDF.

Porquê

\sqrt{32}=4\sqrt2=2^{\frac52}

, logo

2\sqrt{32}=2^{\frac72}

\sqrt{2^{\frac72}}=2^{\frac74}

\left(2^{\frac74}\right)^{\frac12}=2^{\frac78}\approx1{,}83

As alternativas valem

2^{\frac18}

2^{\frac13}

2^{\frac12}

2

: nenhuma é

2^{\frac78}

Solução da questão 3

Resposta

\sqrt{2}-1

Resolução

Multiplica-se pelo conjugado

2-\sqrt2

\dfrac{\sqrt2(2-\sqrt2)}{4-2}=\dfrac{2\sqrt2-2}{2}

Simplificando, fica

\sqrt2-1

Resposta: A

Erro comum. Dividir só o $2$ por $2$ e escolher B, $2\sqrt2-1$ .

Solução da questão 4

Resposta

2^{21}

Resolução

\dfrac{2^{22}}{2}=2^{22-1}=2^{21}

Resposta: B

Erro comum. Subtrair 2 ao expoente e escolher $2^{20}$ .

Solução da questão 5

Resposta

27\ \text{cm}^2

Resolução

Pela figura, os vértices do losango estão nos pontos médios dos lados: as diagonais medem

|AB|=18

cm e

|BC|=\dfrac16\cdot18=3

cm.

Rectângulo:

18\cdot3=54\ \text{cm}^2

. Losango:

\dfrac{18\cdot3}{2}=27\ \text{cm}^2

Parte sombreada:

54-27=27\ \text{cm}^2

Resposta: C

Erro comum. Esquecer de dividir por 2 o produto das diagonais e achar o losango igual ao rectângulo.

Solução da questão 6

Resposta

A.55 000,00 MT

Resolução

Os capitais são

8k

3k

, e

8k-3k=5k=25\,000

, logo

k=5\,000

Soma:

11k=55\,000{,}00

MT.

Resposta: A

Erro comum. Responder 40 000,00 MT, que é só o capital maior.

Solução da questão 7

Resposta

13

Resolução

Como

2\ge1

, usa-se o segundo ramo:

f(2)=3\cdot2^2+1=13

Resposta: C

Erro comum. Calcular nos dois ramos e escolher «1 ou 13»: cada $x$ tem uma só imagem.

Solução da questão 8

Resposta

10\,\text{cm}^2

Resolução

B

C

estão na mesma vertical, a 4 quadradinhos: a diagonal

BC

mede 4 cm.

A

está a 3 cm de

BC

D

a 2 cm:

\dfrac{4\cdot3}{2}+\dfrac{4\cdot2}{2}=6+4=10\ \text{cm}^2

Resposta: C

Erro comum. Contar só os quadradinhos inteiros dentro da figura e esquecer as partes cortadas.

Solução da questão 9

Resposta

C.180

Resolução

Vêem A ou B:

500-70=430

pessoas.

|A\cap B|=280+250-430=100

, logo só A:

280-100=180

Resposta: C

Erro comum. Responder 100, que é a intersecção, em vez de a tirar a A.

Solução da questão 10

Resposta

D.54

Resolução

A face da frente é um L: uma coluna de

2\times5

e um degrau de

(6-2)\times(5-3)=4\times2

Área do L:

10+8=18

; volume:

18\cdot3=54

Resposta: D

Erro comum. Ficar pela área da face, 18, e esquecer a profundidade 3.

Solução da questão 11

Resposta

Nenhuma alternativa serve

As alternativas C e D são iguais (11%) e ambas estão certas: não há uma letra única para marcar.

Porquê

Aumento:

19\,480{,}50-17\,550{,}00=1\,930{,}50

MT.

Em relação ao salário inicial:

\dfrac{1\,930{,}50}{17\,550}=0{,}11=11\%

C e D dizem ambas 11%: há duas alternativas certas.

Solução da questão 12

Resposta

x\in[0;3]

Resolução

f

é a recta e

g

a parábola; cruzam-se em

(0,-3)

(3,0)

Entre

x=0

x=3

a recta está acima da parábola; com

\ge

, os extremos entram:

x\in[0;3]

Resposta: A

Erro comum. Trocar as funções e escolher D, onde a parábola fica acima da recta.

Solução da questão 13

Resposta

f^{-1}(x)=2^{1-x}

Resolução

y=1-\log_2x\Leftrightarrow\log_2x=1-y\Leftrightarrow x=2^{1-y}

Trocando as letras,

f^{-1}(x)=2^{1-x}

Resposta: A

Erro comum. Errar o sinal ao isolar o logaritmo e obter $2^{1+x}$ .

Solução da questão 15

Resposta

B.Sobrejectiva

Resolução

Toda a recta

y=a

corta o gráfico: todo o real

a

é imagem de algum

x

O contradomínio é IR, logo

f

é sobrejectiva.

Resposta: B

Erro comum. Confundir com injectiva, que pede no máximo um ponto de intersecção.

Solução da questão 16

Resposta

\left]-\frac13;\frac13\right[

Resolução

O argumento do logaritmo tem de ser positivo:

\dfrac{3x+1}{2-6x}>0

Os zeros são

-\frac13

(numerador) e

\frac13

(denominador); o quociente só é positivo entre eles, com os extremos de fora.

Domínio:

\left]-\frac13;\frac13\right[

Resposta: D

Erro comum. Fechar o intervalo em $-\frac13$ , onde o argumento é 0 e $\ln0$ não existe.

Solução da questão 17

Resposta

\frac{1}{2}

Resolução

A figura é um semicírculo, e o segmento vertical sai do centro da base: divide-o em duas partes iguais.

A parte sombreada é metade da figura:

\frac12

Resposta: A

A região sombreada é um quarto de círculo; a fracção pedida é a da figura desenhada, o semicírculo.

Erro comum. Comparar com o círculo inteiro e responder $\frac14$ .

Solução da questão 18

Resposta

(1,2,-3)

Resolução

Testa-se

(1,2,-3)

2+2+6=10

3+4-6=1

5+8-9=4

As três equações verificam-se.

Resposta: C

Erro comum. Trocar o sinal de $z$ e escolher A, $(1,2,3)$ , que falha logo a primeira equação.

Solução da questão 19

Resposta

B.Aproximadamente 63

Resolução

N(5)=\dfrac{200}{1+4e^{-0{,}6}}

, com

e^{-0{,}6}\approx0{,}549

1+4\cdot0{,}549\approx3{,}195

N(5)\approx\dfrac{200}{3{,}195}\approx62{,}6

, ou seja, cerca de 63.

Resposta: B

Erro comum. Cortar as décimas e responder 62 em vez de arredondar.

Solução da questão 20

Resposta

B.Par

Resolução

f(-x)=\dfrac{3(-x)}{(-x)^3+(-x)}=\dfrac{-3x}{-(x^3+x)}=f(x)

Logo

f

é par; de facto,

f(x)=\dfrac{3}{x^2+1}

para

x\ne0

Resposta: B

Em rigor, $f$ não está definida em $x=0$ : o domínio é $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , que é simétrico, e a função continua a ser par.

Erro comum. Ver $x$ no numerador e concluir que é ímpar sem calcular $f(-x)$ .

Solução da questão 21

Resposta

70^\circ

Resolução

Pela figura, os

145^\circ

são o ângulo externo em

B

, entre

BC

BD

O ângulo externo é a soma dos dois internos não adjacentes:

145^\circ=\hat A+75^\circ

, logo

\hat A=70^\circ

Resposta: D

O enunciado diz «ângulo externo CAD», mas a figura marca os $145^\circ$ em $B$ : é o ângulo externo $CBD$ .

Erro comum. Fazer $180^\circ-145^\circ=35^\circ$ , que é o ângulo interno em $B$ , e não em $A$ .

Solução da questão 22

Resposta

a=-3

Resolução

O declive de

r

\frac13

e o de

s

a

Perpendiculares:

\frac13\cdot a=-1

, logo

a=-3

Resposta: D

Erro comum. Só inverter o declive ( $a=3$ ) ou só trocar o sinal ( $a=-\frac13$ ).

Solução da questão 23

Resposta

a=10

b=6

Resolução

P(1)=0

1+a+b-18+1=0

, ou seja,

a+b=16

P(2)=25

8+4a+2b-36+1=25

, ou seja,

2a+b=26

Subtraindo,

a=10

b=6

Resposta: D

Erro comum. Em $P(2)$ , esquecer que $(b-18)$ é multiplicado por $x=2$ .

Solução da questão 24

Resposta

1

-1

Resolução

Para

x>2

|x-2|=x-2

e o quociente é

1

Para

x<2

|x-2|=-(x-2)

e o quociente é

-1

; em

x=2

não está definida.

Resposta: C

Erro comum. Escolher «1 e −1»: para cada $x$ o valor é só um deles.

Solução da questão 25

Resposta

\frac{16}{5}

Resolução

2^{-\log_25}=\dfrac{1}{2^{\log_25}}=\dfrac15

f(\log_25)=3+\dfrac15=\dfrac{16}{5}

Resposta: C

Erro comum. Tratar $2^{-x}$ como $-2x$ e escolher A.

Solução da questão 26

Resposta

4

Resolução

f[g(x)]=2g(x)-3=-4x+1

, logo

g(x)=-2x+2

g(-1)=2+2=4

Resposta: B

Erro comum. Calcular $f(-1)=-5$ em vez de $g(-1)$ .

Solução da questão 27

Resposta

-1

Resolução

Pela definição,

1-x=0{,}25^{-0{,}5}=4^{0{,}5}=2

x=1-2=-1

Resposta: A

Erro comum. Esquecer o sinal do expoente, ficar com $1-x=0{,}5$ e escolher D.

Solução da questão 28

Resposta

D.462

Resolução

É uma progressão aritmética de razão 7, de

7

77=7\cdot11

: tem 11 termos.

S=\dfrac{(7+77)\cdot11}{2}=462

Resposta: D

Erro comum. Contar 10 termos, $\frac{77-7}{7}$ , e esquecer o primeiro.

Solução da questão 29

Resposta

C.200

Resolução

2+4+\dots+2n=n(n+1)

n(n+1)=40\,200=200\cdot201

, logo

n=200

Resposta: C

Erro comum. Confundir o número de parcelas, $n$ , com a última parcela, $2n=400$ .

Solução da questão 30

Resposta

Resolução

|-x-1|=|x+1|

: um V aberto para cima com o vértice onde

x+1=0

, em

(-1,0)

x=0

vale

1

: corta o eixo

y

em 1.

Só o gráfico A tem estas duas marcas.

Resposta: A

Erro comum. Escolher B, que é o gráfico de $|x-1|$ , com o vértice em $x=1$ .

Solução da questão 31

Resposta

-1

Resolução

\cos30^\circ=\operatorname{sen}60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}

: a expressão é

\dfrac{1}{1-\sqrt3}+\dfrac{1}{1+\sqrt3}

\dfrac{(1+\sqrt3)+(1-\sqrt3)}{(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)}=\dfrac{2}{1-3}=-1

Resposta: B

Erro comum. Errar o sinal de $(1-\sqrt3)(1+\sqrt3)=-2$ e responder 1.

Solução da questão 32

Resposta

\frac{5\pi}{3}

Resolução

\cos x=\frac12

dá

x=\frac\pi3

x=2\pi-\frac\pi3=\frac{5\pi}{3}

Só

\frac{5\pi}{3}

está entre

\pi

2\pi

Resposta: D

Erro comum. Procurar a solução no 3.º quadrante, onde o cosseno é negativo.

Solução da questão 33

Resposta

(0;-1)

Resolução

f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)

, que se anula em

x=0

x=2

f''(x)=-6x+6

f''(0)=6>0

dá mínimo e

f''(2)=-6<0

dá máximo.

f(0)=-1

: o mínimo está em

(0;-1)

Resposta: B

Erro comum. Trocar mínimo por máximo e escolher $(2;3)$ .

Solução da questão 34

Resposta

\frac32

Resolução

x=\left(\frac94\right)^{\frac12}=\sqrt{\frac94}=\frac32

Resposta: B

Erro comum. Inverter a fracção e escolher $\frac23$ .

Solução da questão 35

Resposta

C.É ponto de descontinuidade de

2.^{a}

espécie.

Resolução

x=2

o numerador tende para 4 e o denominador para 0:

\lim\limits_{x\to2^\pm}f(x)=\pm\infty

Com limites laterais infinitos, a descontinuidade é de 2.ª espécie.

Resposta: C

Erro comum. Chamar-lhe de 1.ª espécie, que exige limites laterais finitos e diferentes.

Solução da questão 36

Resposta

3

Resolução

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)

, logo, para

x\ne1

, o quociente é

x^2+x+1

\lim\limits_{x\to1}(x^2+x+1)=3

Resposta: C

Erro comum. Ver $\frac00$ e responder 0 sem levantar a indeterminação.

Solução da questão 37

Resposta

\frac12

Resolução

f'(2)

é o declive da recta tangente em

P(2,3)

A tangente passa por

(-4,0)

(2,3)

: declive

\dfrac{3-0}{2-(-4)}=\dfrac12

Resposta: A

Erro comum. Confundir $f'(2)$ com $f(2)=3$ e escolher D.

Solução da questão 38

Resposta

g(x)=3e^x

Resolução

g(x)=3e^x

, então

g'(x)=3e^x=g(x)

As outras falham:

5'=0

(2\cos x)'=-2\operatorname{sen}x

(x^2+1)'=2x

Resposta: D

Erro comum. Achar que a constante serve: a derivada de 5 é 0, não 5.

Solução da questão 39

Resposta

C.9

Resolução

Regra da cadeia:

y'=3(2x^2-x)^2(4x-1)

x=1

3\cdot1^2\cdot3=9

Resposta: C

Erro comum. Esquecer a derivada do interior, $(4x-1)$ , e obter 3.

Solução da questão 40

Resposta

\frac1x

Resolução

f'(x)=\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1

f''(x)=\frac1x

Resposta: A

Erro comum. Parar na primeira derivada, $1+\ln x$ , e escolher D.