Matemática 2020

UJC
36 questões
90 minutos
36 soluções

Instituto Superior de Ciências de Saúde (ISCISA)

Exame de Admissão de Matemática

Data: 17/12/2019

A prova contempla um total de 36 perguntas.
Leia com atenção a prova e responda na Folha de Respostas a todas as perguntas.
Para cada pergunta existem quatro alternativas de respostas. Só uma é que está correcta. Assinale apenas a resposta correcta.
Não é permitido o uso de máquina de calcular ou telemóvel.

Qual é o valor da expressão $2\log_2 4^2 - \log_3 9 - 5$ ?

-1

0

1

2

Qual é o valor da expressão $\dfrac{\sqrt{\sqrt{5}-1}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}$ ?

\dfrac{\sqrt{5}}{2}-\dfrac{1}{2}

\dfrac{\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1}{2}

-\dfrac{\sqrt{5}}{2}-\dfrac{1}{2}

-\dfrac{\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1}{2}

Qual é a soma das soluções das equações $2\cdot\operatorname{sen}(x)-\sqrt{2}=0$ e $2\cdot\cos(x)-1=0$ , com $x+y\in[0,180^0]$ ?

x+y=120^0

x+y=90^0

x+y=150^0

x+y=105^0

Das três sentenças abaixo:

I. $\operatorname{sen}30^\circ=\cos60^\circ$

II. $\sqrt{3}+\sqrt{2}=\sqrt{5}$

III. $\{1,2\}\in[1,2]$

A.somente a II é verdadeira

B.somente a III é falsa

C.somente a III é verdadeira

D.somente a I é falsa

Qual é o valor de $m$ para que o produto das raízes da equação $3x^2+(1-m)x-m+2=0$ seja igual a $\dfrac32$ ?

-\dfrac32

\dfrac12

-\dfrac52

2

O número $0{,}125$ equivale a:

1{,}25\cdot10^{-2}

12{,}5\cdot10^{-2}

125\cdot10^{3}

12{,}5\cdot10^{2}

Qual é a subtração das raízes da equação $4-5x^2+x^4=0$ ?

-5

3

-6

-3

Num estabelecimento hospitalar, no sector de Ginecologia e Obstetrícia (G&O):

30 funcionários são Ginecologista;
40 funcionários são Obstetra,
20 funcionários são Ginecologista e Obstetra;
110 funcionários não são Ginecologista nem Obstetra.

Quantos funcionários só são Obstetra?

A.20

B.40

C.30

D.10

Qual é solução do sistema $\begin{cases}\dfrac{4x-1}{2}-\dfrac{x+1}{3}\le0\\[2mm]5-\dfrac{3(x+1)}{2}\ge-1\end{cases}$ ?

]-\infty,1/2[

]-\infty,1/2]

]1/2,+\infty[

[1/2,+\infty[

10.

Qual é o quociente da divisão do polinómio $P(x)=x^3-8$ por binómio do tipo $x-2$ ?

x^2+2x-4

x^2-2x+4

x^2+2x+4

x^2-2x-4

11.

A Tabela mostra as classificações de uma turma do ISCISA de Administração e Gestão Hospitalar no exame de Matemática. Qual é a nota média dos estudantes?

Classificações	7	8	10	13	14
N.º de Estudantes	6	7	8	4	5

A.40

B.20

C.30

D.10

Questões 12 e 13

Dado o triângulo abaixo, sabe-se que $BE\parallel CD$ .

12.

Qual é a medida da altura $h$ ?

A.5

B.30

C.20

D.10

13.

Do exercício anterior, qual é a tangente do ângulo $D$ ?

A.2

B.4

C.8

D.6

14.

A Maria e a Antónia juntas têm 4.500,00 mt. A Maria tem três meios do valor da Antónia. Qual é a quantia de cada uma?

A.Maria 3000,00mt e Antónia 1500,00mt

B.Maria 1800,00mt e Antónia 2700,00mt

C.Maria 2700,00mt e Antónia 1800,00mt

D.Maria 1500,00mt e Antónia 3000,00mt

15.

Considere o gráfico da função.

Para quais valores de $x$ a função é negativa?

]-\infty;0[

]0;4[

]4,+\infty[

]-\infty;0[\cup]4,+\infty[

16.

Sendo $U=\mathbb{R}$ , $A=]0,7[$ e $B=[3,9[$ . Qual é a diferença simétrica de A com B $(A\triangle B)$ ?

]3,7[

]0,3[\cup]7,9[

]0,3[

]7,9[

17.

Qual é o valor de $3+\log_4 8$ ?

\dfrac92

\dfrac29

3+2\cdot3=9

3+2-3=2

18.

Qual é a soma dos valores de $x$ que verificam a igualdade $3^{x^2-3x+2}=1$ ?

A.0

B.1

C.2

D.3

19.

Qual das seguintes expressões representam proposição

3x-4>2

7-3\cdot4

-3+15=18

5x-2=9

20.

Considere os conjuntos $M=\{-2,-1,0,1,3\}$ Qual é a proposição verdadeira?

\forall x\in M:2x=10

\exists x\in M:2x=40

\forall x\in M:x^2+9=7

\exists x\in M:x^2>x+1

21.

Qual é o domínio de definição da seguinte expressão $\log_2(1-x)$ ?

\mathbb{R}

]1,+\infty[

]-\infty,1[

\mathbb{R}\setminus\{1\}

22.

Considere $\begin{vmatrix}-1&5&-2\\0&k&3\\0&0&2\end{vmatrix}=6$ . Qual é o valor de k?

A.3

-3

-6

D.6

23.

Qual é a soma das soluções da equação $|3x-1|=5$ ?

\dfrac23

\dfrac32

C.2

\dfrac43

24.

Quantas palavras diferentes pode-se escrever com as letras da palavra BARCO?

A.60

B.120

C.5

D.24

25.

Sabe-se que a probabilidade do João ser admitido em algum curso no ISCISA é de 0,7. Qual é a probabilidade de não ingressar no ISCISA?

A.0,5

B.0,4

C.0,7

D.0,3

26.

Lança-se simultaneamente duas moedas equilibradas, de duas faces cara e coroa. Qual será a probabilidade de sair simultaneamente duas caras?

A.1

\dfrac12

\dfrac14

\dfrac34

27.

Qual é a expressão do termo geral da sucessão $1;\ \dfrac34;\ \dfrac59;\ \dfrac7{16}$

\dfrac{2n-1}{n^2}

\dfrac{2n+1}{n^2}

\dfrac{2n-1}{n^2+1}

\dfrac{2n+1}{n^2-1}

28.

Qual é soma dos 7 primeiros termos de uma Progressão Geométrica cujo o primeiro termo é 1 e a razão 2?

A.130

B.126

C.128

D.127

29.

Qual é a opção correcta?

A.Uma função é bijectiva se

f(-x)=-f(x)

B.Uma função é ímpar se

f(-x)=-f(x)

C.Uma função é injectiva se

f(-x)=-f(x)

D.Uma função é par se

f(-x)=-f(x)

30.

Considere as funções $f(x)=\log_2(x+1)$ e $g(x)=\cos(x)$ . Qual é o valor de $f\circ g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ ?

-1

B.2

C.0

D.1

31.

Qual é o resultado de $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}2x}{3x^2+2x}$ ?

A.4

B.1

C.3

D.2

32.

Qual é o resultado de $\displaystyle\lim_{x\to-1}\dfrac{x+1}{x^3+1}$ ?

-1/2

-1/3

1/2

1/3

33.

Considere a função $f(x)=\begin{cases}8-2x,&\text{se }x<1\\ m-x,&\text{se }-1\le x\le1\\ 5x-3,&\text{se }x>1\end{cases}$ . Qual é o valor de $m$ para que $f(x)$ seja contínua em $x=-1$ .

A.9

-9

C.7

D.3

34.

Sendo $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}$ uma função de $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , qual é a sua função inversa?

f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{2+x}

f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{2-x}

f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2-x}

f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2+x}

35.

Qual é a primeira derivada da função $f(x)=x^3\cdot\ln(2x)$ ?

f'(x)=x^2\left(3\ln(2x)+1\right)

f'(x)=3x^2\ln(2x)+1

f'(x)=x^2\left(3\ln(2x)+1\right)

f'(x)=x^2\left(3\ln(2x)+1\right)

36.

Qual é o ponto de inflexão da função $f(x)=\dfrac13x^3-x^2+4$ .

(1,10/3)

(2,8/3)

(-2,-8/3)

(0,4)

Respostas

Matemática 2020 · UJC · admitela.com

1C
2A
3D
4—
5C
6B
7D
8A
9B
10C
11D
12D
13B
14C
15D
16B
17A
18D
19C
20D
21C
22B
23A
24B
25D
26C
27A
28D
29B
30C
31B
32D
33A
34B
35—
36A

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/ujc/matematica-2020/

Solução da questão 1

Resposta

1

Resolução

\log_2 4^2=\log_2 16=4

, logo

2\log_2 4^2=8

; e

\log_3 9=2

8-2-5=1

Resposta: C

Erro comum. Calcular $\log_2 4^2$ como $2$ , o expoente, em vez de $4$ .

Solução da questão 2

Resposta

\dfrac{\sqrt{5}}{2}-\dfrac{1}{2}

Resolução

\dfrac{\sqrt{\sqrt5-1}}{\sqrt{\sqrt5+1}}=\sqrt{\dfrac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}}

e, racionalizando,

\dfrac{(\sqrt5-1)^2}{5-1}=\left(\dfrac{\sqrt5-1}{2}\right)^2

Como

\sqrt5>1

, a raiz é

\dfrac{\sqrt5-1}{2}=\dfrac{\sqrt5}{2}-\dfrac12

Resposta: A

Erro comum. Escolher D, com os sinais trocados: o valor tem de ser positivo.

Solução da questão 3

Resposta

x+y=105^0

Resolução

\operatorname{sen}x=\dfrac{\sqrt2}{2}

dá

x=45^\circ

x=135^\circ

; lendo a segunda equação em

y

\cos y=\dfrac12

dá

y=60^\circ

Com

x=135^\circ

a soma passa de

180^\circ

; fica

x+y=45^\circ+60^\circ=105^\circ

Resposta: D

A segunda equação vem impressa em $x$ , mas, como se pede $x+y$ , lê-se $2\cdot\cos(y)-1=0$ .

Erro comum. Tomar $x=135^\circ$ e esquecer que a soma tem de ficar em $[0^\circ,180^\circ]$ .

Solução da questão 4

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Só a I é verdadeira, e nenhuma alternativa diz isso. Mesmo lendo o $\in$ da III como $\subset$ , só a II seria falsa, o que também não está nas alternativas.

Porquê

\operatorname{sen}30^\circ=\dfrac12=\cos60^\circ

, verdadeira.

II:

\sqrt3+\sqrt2\approx3{,}15

\sqrt5\approx2{,}24

, falsa. III:

\{1,2\}

é um conjunto e não um elemento de

[1,2]

(seria

\{1,2\}\subset[1,2]

), falsa.

Só a I é verdadeira. A e C dão outra sentença como a única verdadeira; B e D exigem a II verdadeira. Nenhuma alternativa serve.

Solução da questão 5

Resposta

-\dfrac52

Resolução

O produto das raízes de

ax^2+bx+c=0

\dfrac ca=\dfrac{2-m}{3}

\dfrac{2-m}{3}=\dfrac32\Rightarrow2-m=\dfrac92\Rightarrow m=-\dfrac52

Resposta: C

Com $m=-\dfrac52$ o discriminante é negativo e as raízes não são reais; o produto $\dfrac ca$ continua a ser $\dfrac32$ .

Erro comum. Usar o coeficiente $b=1-m$ , que dá a soma das raízes, em vez de $c$ .

Solução da questão 6

Resposta

12{,}5\cdot10^{-2}

Resolução

0{,}125=12{,}5\cdot0{,}01=12{,}5\cdot10^{-2}

Resposta: B

Erro comum. Escolher A, que vale $0{,}0125$ : a vírgula andou uma casa a mais.

Solução da questão 7

Resposta

-3

Resolução

É biquadrada: com

t=x^2

fica

t^2-5t+4=0

, de raízes

t_1=1

t_2=4

Por ordem crescente:

t_1-t_2=1-4=-3

Resposta: D

O enunciado não fixa a ordem da subtracção nem diz que se trata das raízes em $t=x^2$ ; a resposta pretendida subtrai essas raízes por ordem crescente, $1-4$ .

Erro comum. Subtrair pela ordem contrária, $4-1=3$ , e escolher B.

Solução da questão 8

Resposta

A.20

Resolução

40

obstetras incluem os

20

que também são ginecologistas.

Só obstetras:

40-20=20

. Os

110

não entram na conta.

Resposta: A

Erro comum. Responder $40$ sem tirar os que têm as duas especialidades.

Solução da questão 9

Resposta

]-\infty,1/2]

Resolução

1.ª: multiplicando por

6

3(4x-1)-2(x+1)\le0\Rightarrow10x\le5\Rightarrow x\le\dfrac12

2.ª: multiplicando por

2

10-3(x+1)\ge-2\Rightarrow-3x\ge-9\Rightarrow x\le3

A intersecção é

x\le\dfrac12

, isto é,

]-\infty,1/2]

Resposta: B

Erro comum. Deixar o $\dfrac12$ de fora, quando o $\le$ o inclui.

Solução da questão 10

Resposta

x^2+2x+4

Resolução

Diferença de cubos:

x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)

Resposta: C

Erro comum. Escolher $x^2-2x+4$ , que é o factor da soma de cubos $x^3+8$ .

Solução da questão 11

Resposta

D.10

Resolução

Total de estudantes:

6+7+8+4+5=30

Soma das notas:

7\cdot6+8\cdot7+10\cdot8+13\cdot4+14\cdot5=300

; média

=\dfrac{300}{30}=10

Resposta: D

Erro comum. Fazer a média simples das cinco notas, sem pesar o número de estudantes.

Solução da questão 12

Resposta

D.10

Resolução

Como

BE\parallel CD

, os triângulos

ABE

ACD

são semelhantes, com

AC=2+38=40

\dfrac{h}{0{,}5}=\dfrac{40}{2}\Rightarrow h=10

Resposta: D

Erro comum. Usar $BC=38$ em vez de $AC=40$ na proporção.

Solução da questão 13

Resposta

B.4

Resolução

No triângulo

ACD

, recto em

C

(

h

é a altura), o cateto oposto a

D

AC=40

e o adjacente é

CD=h=10

\tan D=\dfrac{40}{10}=4

Resposta: B

Erro comum. Inverter a razão e calcular $\dfrac{10}{40}$ , que é a tangente do ângulo $A$ .

Solução da questão 14

Resposta

C.Maria 2700,00mt e Antónia 1800,00mt

Resolução

Seja

a

o valor da Antónia:

a+\dfrac32a=4500\Rightarrow\dfrac52a=4500\Rightarrow a=1800

A Maria tem

\dfrac32\cdot1800=2700

Resposta: C

Erro comum. Ler «três meios» como $\dfrac23$ e escolher B, com a Maria a ter menos.

Solução da questão 15

Resposta

]-\infty;0[\cup]4,+\infty[

Resolução

A função é negativa onde o gráfico está abaixo do eixo

x

A parábola corta o eixo em

x=0

x=4

e só fica acima dele entre esses zeros; é negativa para

x<0

x>4

Resposta: D

Erro comum. Escolher $]0;4[$ , onde a função é positiva.

Solução da questão 16

Resposta

]0,3[\cup]7,9[

Resolução

A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)

: o que está em só um dos conjuntos.

A\setminus B=]0,3[

B\setminus A=[7,9[

A única alternativa com as duas partes é B, que deixa o

7

aberto.

Resposta: B

Em rigor $7\in B$ e $7\notin A$ , por isso o $7$ pertence à diferença simétrica: o certo seria $]0,3[\,\cup\,[7,9[$ . B é a alternativa pretendida.

Erro comum. Escolher $]3,7[$ , que é a intersecção $A\cap B$ .

Solução da questão 17

Resposta

\dfrac92

Resolução

4^{3/2}=8

, logo

\log_4 8=\dfrac32

3+\dfrac32=\dfrac92

Resposta: A

Erro comum. Achar que $\log_4 8=2$ por $8$ ser o dobro de $4$ .

Solução da questão 18

Resposta

D.3

Resolução

3^u=1

só quando

u=0

x^2-3x+2=0

As soluções são

x=1

x=2

, de soma

3

Resposta: D

Erro comum. Igualar o expoente a $1$ em vez de $0$ .

Solução da questão 19

Resposta

-3+15=18

Resolução

Uma proposição tem valor lógico: é verdadeira ou falsa.

-3+15=18

é falsa (dá

12

), mas é uma proposição. A e D dependem de

x

(são condições) e B é só uma expressão, sem afirmação.

Resposta: C

Erro comum. Pensar que uma proposição tem de ser verdadeira.

Solução da questão 20

Resposta

\exists x\in M:x^2>x+1

Resolução

A, B e C são falsas:

2x=10

2x=40

pedem

x=5

x=20

, fora de

M

, e

x^2+9\ge9>7

Em D basta um exemplo:

x=3

dá

9>4

Resposta: D

Erro comum. Esquecer que $\exists$ só pede um elemento.

Solução da questão 21

Resposta

]-\infty,1[

Resolução

O argumento do logaritmo tem de ser positivo:

1-x>0\iff x<1

Resposta: C

Erro comum. Passar o $x$ para o outro membro sem trocar o sentido e escrever $x>1$ .

Solução da questão 22

Resposta

-3

Resolução

A matriz é triangular: o determinante é o produto da diagonal,

(-1)\cdot k\cdot2=-2k

-2k=6\Rightarrow k=-3

Resposta: B

Erro comum. Esquecer o sinal do $-1$ e obter $k=3$ .

Solução da questão 23

Resposta

\dfrac23

Resolução

3x-1=5\Rightarrow x=2

, ou

3x-1=-5\Rightarrow x=-\dfrac43

2-\dfrac43=\dfrac23

Resposta: A

Erro comum. Resolver só o caso $3x-1=5$ .

Solução da questão 24

Resposta

B.120

Resolução

BARCO tem

5

letras diferentes: cada palavra é uma permutação delas.

5!=120

Resposta: B

Erro comum. Fixar uma letra e usar $4!=24$ .

Solução da questão 25

Resposta

D.0,3

Resolução

Não ingressar é o acontecimento contrário:

1-0{,}7=0{,}3

Resposta: D

Erro comum. Repetir o $0{,}7$ do enunciado.

Solução da questão 26

Resposta

\dfrac14

Resolução

As moedas são independentes e cada uma dá cara com probabilidade

\dfrac12

P=\dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14

Resposta: C

Erro comum. Responder $\dfrac12$ , como se fosse uma só moeda.

Solução da questão 27

Resposta

\dfrac{2n-1}{n^2}

Resolução

Numeradores

1,3,5,7

2n-1

. Denominadores

1,4,9,16

n^2

Verificação:

n=4

dá

\dfrac7{16}

Resposta: A

Erro comum. Usar $2n+1$ , que começa em $3$ .

Solução da questão 28

Resposta

D.127

Resolução

S_7=u_1\cdot\dfrac{r^7-1}{r-1}=\dfrac{2^7-1}{2-1}=127

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o $-1$ e responder $128$ .

Solução da questão 29

Resposta

B.Uma função é ímpar se

f(-x)=-f(x)

Resolução

f(-x)=-f(x)

é a definição de função ímpar; a par cumpre

f(-x)=f(x)

A injectividade e a bijectividade não se definem por esta igualdade.

Resposta: B

Erro comum. Trocar par com ímpar.

Solução da questão 30

Resposta

C.0

Resolução

g\left(\dfrac\pi2\right)=\cos\dfrac\pi2=0

f(0)=\log_2 1=0

Resposta: C

Erro comum. Achar que $\log_2 1=1$ .

Solução da questão 31

Resposta

B.1

Resolução

\dfrac{\operatorname{sen}2x}{x(3x+2)}=\dfrac{\operatorname{sen}2x}{2x}\cdot\dfrac{2}{3x+2}

Quando

x\to0

1\cdot\dfrac22=1

Resposta: B

Erro comum. Usar $\dfrac{\operatorname{sen}2x}{x}\to1$ : o limite notável pede o mesmo argumento em cima e em baixo.

Solução da questão 32

Resposta

1/3

Resolução

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

; simplifica-se

x+1

\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac1{x^2-x+1}=\frac1{1+1+1}=\frac13

Resposta: D

Erro comum. Factorizar $x^3+1$ como $(x+1)(x^2+x+1)$ , com o sinal do meio trocado.

Solução da questão 33

Resposta

A.9

Resolução

Lendo o primeiro ramo como

x<-1

: o limite à esquerda de

-1

8-2(-1)=10

f(-1)=m-(-1)=m+1

; para ser contínua,

m+1=10\Rightarrow m=9

Resposta: A

O primeiro ramo vem impresso com $x<1$ , que se sobrepõe ao segundo; lê-se $x<-1$ .

Erro comum. Fazer $m-x$ com $x=1$ , o outro extremo do ramo.

Solução da questão 34

Resposta

f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{2-x}

Resolução

y=\dfrac{2x-1}{x+1}\Rightarrow yx+y=2x-1\Rightarrow x(y-2)=-(y+1)

x=\dfrac{y+1}{2-y}

; trocando as letras,

f^{-1}(x)=\dfrac{x+1}{2-x}

Resposta: B

Erro comum. Errar um sinal ao isolar $x$ e cair em $\dfrac{x-1}{2-x}$ .

Solução da questão 35

Resposta

Nenhuma alternativa serve

As alternativas A, C e D vêm impressas iguais e todas dão a derivada certa, $x^2\left(3\ln(2x)+1\right)$ : há três respostas certas.

Porquê

Regra do produto:

f'(x)=3x^2\ln(2x)+x^3\cdot\dfrac{2}{2x}

f'(x)=3x^2\ln(2x)+x^2=x^2\left(3\ln(2x)+1\right)

A, C e D são iguais a este resultado; B esquece o factor

x^2

no segundo termo. Não há uma só resposta.

Solução da questão 36

Resposta

(1,10/3)

Resolução

f'(x)=x^2-2x

f''(x)=2x-2

, que se anula e muda de sinal em

x=1

f(1)=\dfrac13-1+4=\dfrac{10}{3}

Resposta: A

Erro comum. Usar os zeros de $f'$ ( $x=0$ e $x=2$ ), que são extremos e não pontos de inflexão.