Matemática 2021

UJC
50 questões
120 minutos
49 soluções

Universidade Joaquim Chissano

Comissão de Exames de Admissão

Exame de Matemática - 2021

A prova é constituída por cinquenta (50) questões, todas com quatro (4) alternativas de resposta, estando correcta somente UMA (1) das alternativas.
Para cada questão assinale a resposta escolhida na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início do exame. Não será aceite qualquer outra folha adicional.
Pinte o rectângulo com a letra correspondente à resposta escolhida. Por exemplo, se as respostas às questões 45 e 46 forem B e C, respectivamente, pinte assim: 45 A ● C D; 46 A B ● D.
Preencha a lápis HB, pois contrariamente ao preenchimento por esferográfica, os erros podem ser totalmente apagados sem deixar nenhuma marca que possa perturbar a leitura da máquina óptica.
Se tiver a certeza de que as respostas assinaladas a lápis são as definitivas, PODE passar à esferográfica de tinta azul ou preta.

Se $\log_b a=4$ então $\log_b\sqrt{a}$ será igual a:

3a

2b

3

2

A expressão $a^{(x-y)}$ é equivalente a:

a^x+a^y

\dfrac{a^x}{a^y}

(a^x)^y

a^x\cdot a^y

Um recipiente A tem capacidade ( $C_A$ ) de $\dfrac{2}{5}k$ litros e o recipiente B tem a capacidade ( $C_B$ ) igual a $40\%$ de $k$ litros. Pode-se então dizer que:

C_A=C_B

C_A>C_B

C_A<C_B

D.Não se podem comparar

Um jardineiro possui um espaço em sua casa usado para o cultivo de algumas plantas. O formato desse canteiro é de um sector circular de raio $10\ \text{m}$ . Sabendo que o ângulo central desse sector circular é de $60^\circ$ , a área do espaço usado para plantio na casa desse jardineiro é de aproximadamente:

52{,}33\ \text{m}^2

10{,}47\ \text{m}^2

31{,}4\ \text{m}^2

20{,}94\ \text{m}^2

A equação $2^{x-3}+2^{x-1}+2^{x}=52$ é equivalente a:

2^{x-2}=32

2^x=16

2^x=32

2^x=8

Exprima $b$ em função de $k$ , sabendo que $4k=3a$ e $b$ é dois terços de $a$ :

\dfrac{9}{8}k

\dfrac{3}{2}k

\dfrac{2}{3}k

\dfrac{8}{9}k

Duas torneiras são utilizadas para encher um tanque vazio. Sabe-se que sozinhas elas levam $10$ horas e $15$ horas, respectivamente, para enchê-lo. Quanto tempo as duas torneiras juntas levam para encher o tanque?

25

horas

6

horas

12

horas e

30

min

8

horas e

15

min

Sendo $y=3^x$ , para $y=5$ o valor de $x$ será:

x=\sqrt[5]{3}

x=\sqrt[3]{5}

x=\log_3 5

x=\log_5 3

Determine as coordenadas do centro duma circunferência, em que os extremos de um diâmetro são os pontos de coordenadas $(-1,5)$ e $(-5,-2)$ .

\left(-3,\dfrac{3}{2}\right)

\left(-2,\dfrac{1}{2}\right)

\left(-\dfrac{1}{2},3\right)

\left(3,-\dfrac{3}{2}\right)

10.

Se uma das raízes da equação $2x^2-3kx+40=0$ é $8$ , a outra raiz é:

2

\dfrac{3}{2}

5

\dfrac{5}{2}

11.

A solução da inequação $|x+1|>0{,}001$ é:

-0{,}001<x<0{,}001

-1{,}001<x<-0{,}999

-0{,}999<x<1{,}001

D.Nenhuma das alternativas anteriores

12.

O valor da expressão $\dfrac{b}{\sqrt[3]{b-a^2}}$ , quando $a=6$ e $b=9$ , é:

A.Um número natural ímpar

B.Um número que pertence ao conjunto dos números irracionais

C.Um número inteiro cujo módulo é maior que 2

D.Não é um número real

13.

Ao redor de uma piscina rectangular com $10\ \text{m}$ de comprimento por $5\ \text{m}$ de largura, será construído um revestimento de madeira com $x$ metros de largura, representado na figura ao lado.

Existe madeira para revestir $87{,}75\ \text{m}^2$ . Qual deverá ser a medida $x$ para que toda a madeira seja aproveitada?

9{,}75\ \text{m}

2{,}25\ \text{m}

3{,}75\ \text{m}

3{,}25\ \text{m}

14.

Resolva a equação $\begin{vmatrix}4&x\\-2&5\end{vmatrix}=26$ .

x=3

x=-3

x=4

x=-4

15.

Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, $25$ acertaram a primeira e $20$ acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?

8

5

10

D.Nenhum

16.

Determine o valor de $a$ e $b$ no polinómio $p(x)=x^3+ax^2+(b-18)x+1$ , sabendo que $1$ é raiz do polinómio e $p(2)=25$ .

a=10

b=5

a=6

b=10

a=-10

b=6

a=10

b=6

17.

O vértice da parábola $y=ax^2+bx+c$ é o ponto $(2,9)$ . Sabendo que $3$ é a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo vertical, determine $a$ , $b$ e $c$ .

a=-\frac{3}{2}

b=6

a=-\frac{2}{3}

b=5

a=\frac{3}{2}

b=3

a=\frac{2}{3}

b=-6

18.

De uma função $h$ definida num certo domínio, sabe-se que a sua derivada $h'$ está igualmente definida no mesmo domínio e é dada por $h'(x)=x+2\cos x$ . O valor de $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{h(x)-h(0)}{x}$ é:

+\infty

2

0

-\infty

19.

Ache o domínio da função $y=\ln\left(|x-1|-4\right)$ .

x\in\mathbb{R}\setminus\{-3,5\}

\forall x\in\mathbb{R}

x\in\ ]5,+\infty[

x\in\ ]-\infty,-3[\ \cup\ ]5,+\infty[

20.

A recta $y=x-1$ é tangente ao gráfico de uma certa função $f$ , no ponto de abcissa $x=1$ . Qual das seguintes expressões pode definir a função $f$ ?

y=x^2+2x-1

y=x^2-2x+3

y=x^2-x

y=x^2+x

Questões 21 a 23

Relativamente ao gráfico seguinte, responda às perguntas 21, 22 e 23.

21.

Indique o domínio da seguinte função:

D_f=\mathbb{R}

D_f=\ ]-\infty;-2[\ \cup\ ]2;+\infty[

D_f=\mathbb{R}^+

D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}

22.

O valor do $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ é:

-2

2

-1

+\infty

23.

O valor do $\displaystyle\lim_{x\to-2^-}f(x)$ é:

-1

+\infty

-\infty

D.Nenhuma das alternativas anteriores

24.

No ano de 2020, infelizmente, as Olimpíadas foram adiadas devido à pandemia de COVID-19. Sabendo que as Olimpíadas ocorrem de $4$ em $4$ anos e supondo que, em $2021$ , tenhamos esse evento, e que, até $2097$ , ele não passe por um novo adiamento, a quantidade de Olimpíadas que terão acontecido nesse intervalo será de:

18

19

20

21

25.

O valor de $x$ , de modo que a sequência $\left(3^{x+1},\ 3^{4-x},\ 3^{3x+1}\right)$ seja uma progressão geométrica é:

1

2

3

4

26.

Calcule $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$

3

\infty

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

27.

Na função $f(x)=\dfrac{x^2}{9-3x^2}$ qual é a equação da assímptota horizontal?

y=\sqrt3

x=-\dfrac13

y=-\sqrt3

x=\dfrac13

28.

Na função $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ no intervalo $x\in[0;+\infty[$ . Usando a derivada indique em qual dos pontos o gráfico tem um máximo.

P\left(-1,\dfrac{1}{4}\right)

P\left(1,\dfrac{1}{2}\right)

P(0,0)

P(0,2)

29.

Determine a equação da recta tangente ao gráfico da função $f(x)=\dfrac{1}{x}$ no ponto de abcissa $x=2$ .

y=-4x+1

y=4x+1

y=\dfrac{1}{4}x+1

y=-\dfrac{1}{4}x+1

30.

Sejam $f$ e $g$ funções reais tais que $f(x)=4x-2$ e $(f\circ g)(x)=2x+10$ . A expressão analítica da função $g(x)$ é:

g(x)=\dfrac{x}{2}+3

g(x)=\dfrac{x}{3}+2

g(x)=2x+3

g(x)=3x+2

31.

Sendo $f(x)=\log_3(x+1)-2$ uma função definida em $]-1,+\infty[$ , qual é a sua função inversa?

f^{-1}(x)=3^{x-2}+1

f^{-1}(x)=3^{x-2}-1

f^{-1}(x)=3^{x+2}-1

f^{-1}(x)=3^{x+2}+1

32.

As funções $f(x)=-4x+3$ e $g(x)=3x+m$ são tais que $(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)$ , qualquer que seja $x$ real. O valor de $m$ é:

\dfrac{9}{4}

-\dfrac{6}{5}

-\dfrac{2}{3}

\dfrac{9}{5}

33.

Encontre o valor do parâmetro $k$ para que a função $f(x)=\begin{cases}kx^2, & \text{se } x\le2\\ 2x+k, & \text{se } x>2\end{cases}$ seja contínua em todo o $x\in\mathbb{R}$ .

-\dfrac{4}{3}

\dfrac{16}{3}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{4}{3}

34.

Considere os gráficos acima. A única função ímpar é:

f(x)

g(x)

h(x)

i(x)

35.

A igualdade $\left[\cos(x^2+1)+\ln x\right]'=y$ é verdadeira se:

y=\sin(x^2+1)+\dfrac{1}{x}

y=-\sin x(x^2+1)+\dfrac{1}{x}

y=2x\sin(x^2+1)+\dfrac{1}{x}

y=-2x\sin(x^2+1)+\dfrac{1}{x}

36.

Se $f'(x)=3x^2+2$ , então uma das expressões de $f(x)$ é:

f(x)=x^3+3x+1

f(x)=x^3+2x+1

f(x)=x^3-2x+1

f(x)=x^3-3x+2

37.

Determine o valor de $p$ para que o polinómio $P(x)=2x^3+5x^2-px+2$ seja divisível por $x-2$ .

14

16

18

19

38.

Considere a função $y=f(x)$ e a recta tangente ao gráfico no ponto $P$ .

O valor de $f'(2)$ é:

\dfrac{1}{2}

2

-\dfrac{1}{2}

3

39.

A função $h(x)=x^3-12x-5$ tem um mínimo no ponto de abcissa:

-2

0

1

2

40.

Qual é o ponto de inflexão da função $f(x)=(x-1)^3+2$ ?

(1;3)

(3;1)

(1;2)

(2;1)

41.

A primeira derivada de $f(x)=\sqrt{x^2-2x}$ é:

\dfrac{2x-2}{\sqrt{x^2-2x}}

\dfrac{x-1}{2\sqrt{x^2-2x}}

\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}

\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2-2}}

42.

Unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo rectângulo $ABC$ , obtém-se outro triângulo rectângulo $EFG$ , conforme mostra a figura.

Sabendo que $AB=12\ \text{cm}$ e que $BC=20\ \text{cm}$ , é correcto afirmar que a área do triângulo $EFG$ é, em $\text{cm}^2$ , igual a:

24

28

30

36

43.

Na figura, $AD=CB$ , $AB=6\ \text{cm}$ , $AD=4\ \text{cm}$ e os ângulos internos de vértices $A$ e $B$ têm as medidas indicadas.

A área do quadrilátero $ABCD$ , em centímetros quadrados, é:

2\sqrt{3}

4\sqrt{3}

6\sqrt{3}

8\sqrt{3}

44.

Sabendo que $EF$ é o raio da semicircunferência de centro em $E$ , como mostra a figura ao lado, determine o valor da área sombreada. Considere $\pi\approx3$ .

10

12

14

16

45.

Resolva a equação $\cos^2\alpha=\dfrac14$ , sendo $\alpha\in\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]$ .

\dfrac{4\pi}{3}

\dfrac{5\pi}{4}

\dfrac{3\pi}{2}

\dfrac{7\pi}{6}

46.

A amplitude do menor ângulo formado pelos ponteiros dum relógio quando são exactamente $2$ h $40$ min é de:

130^\circ

140^\circ

150^\circ

160^\circ

47.

O lado $x$ do triângulo isósceles da figura ao lado mede:

3\sqrt{2}

\sqrt{2}

2\sqrt{3}

3\sqrt{2}

48.

Júlia deseja viajar e levar $5$ pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu guarda-roupa $12$ pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá escolher $5$ pares de sapatos para a sua viagem?

792

95040

798

9430

49.

A expressão simplificada de $\dfrac{(n+1)!-(n-2)!}{n!}$ é:

n-2

n-1

n

n+1

50.

Considere o lançamento de um dado. A probabilidade de sair um quadrado perfeito é:

25\%

33{,}33\%

50\%

66{,}67\%

Respostas

Matemática 2021 · UJC · admitela.com

1—
2B
3A
4A
5C
6D
7B
8C
9A
10D
11D
12C
13B
14A
15B
16D
17A
18B
19D
20C
21D
22C
23B
24C
25A
26D
27—
28B
29D
30A
31C
32B
33D
34A
35D
36B
37D
38A
39D
40C
41C
42A
43D
44B
45A
46D
47C
48A
49—
50B

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/ujc/matematica-2021/

Solução da questão 2

Resposta

\dfrac{a^x}{a^y}

Resolução

Na divisão de potências com a mesma base subtraem-se os expoentes:

\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}

Resposta: B

Erro comum. Confundir com $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ ou com $(a^x)^y=a^{xy}$ .

Solução da questão 3

Resposta

C_A=C_B

Resolução

40\%

k

\dfrac{40}{100}k=\dfrac25k

Logo

C_B=\dfrac25k=C_A

Resposta: A

Erro comum. Achar que uma fracção e uma percentagem não se podem comparar.

Solução da questão 4

Resposta

52{,}33\ \text{m}^2

Resolução

A área do sector é a fracção

\dfrac{60^\circ}{360^\circ}=\dfrac16

da área do círculo.

A=\dfrac16\cdot3{,}14\cdot10^2=\dfrac{314}{6}\approx52{,}33\ \text{m}^2

Resposta: A

O valor $52{,}33$ sai com $\pi\approx3{,}14$ ; com o $\pi$ exacto dá $52{,}36\ \text{m}^2$ .

Erro comum. Usar o perímetro $2\pi r$ em vez da área $\pi r^2$ , o que dá $10{,}47$ .

Solução da questão 5

Resposta

2^x=32

Resolução

2^{x-3}=\dfrac{2^x}{8}

2^{x-1}=\dfrac{2^x}{2}

, logo

2^x\left(\dfrac18+\dfrac12+1\right)=52

2^x\cdot\dfrac{13}{8}=52\Rightarrow2^x=32

Resposta: C

Erro comum. Somar os expoentes, como se a soma de potências fosse um produto.

Solução da questão 6

Resposta

\dfrac{8}{9}k

Resolução

4k=3a

vem

a=\dfrac{4k}{3}

b=\dfrac23a=\dfrac23\cdot\dfrac{4k}{3}=\dfrac89k

Resposta: D

Erro comum. Isolar $k$ em vez de $a$ e chegar à fracção inversa, $\dfrac98k$ .

Solução da questão 7

Resposta

6

horas

Resolução

Numa hora enchem

\dfrac1{10}+\dfrac1{15}=\dfrac{3+2}{30}=\dfrac16

do tanque.

Juntas levam

6

horas.

Resposta: B

Erro comum. Somar os tempos ( $25$ h); juntas têm de demorar menos do que a mais rápida.

Solução da questão 8

Resposta

x=\log_3 5

Resolução

Com

y=5

3^x=5

Pela definição de logaritmo,

x=\log_3 5

Resposta: C

Erro comum. Trocar a base com o argumento e escrever $\log_5 3$ .

Solução da questão 9

Resposta

\left(-3,\dfrac{3}{2}\right)

Resolução

O centro é o ponto médio do diâmetro.

\left(\dfrac{-1-5}{2},\ \dfrac{5-2}{2}\right)=\left(-3,\ \dfrac32\right)

Resposta: A

Erro comum. Subtrair as coordenadas em vez de as somar.

Solução da questão 10

Resposta

\dfrac{5}{2}

Resolução

O produto das raízes de

ax^2+bx+c=0

\dfrac ca=\dfrac{40}{2}=20

; não é preciso saber

k

8\cdot x_2=20\Rightarrow x_2=\dfrac52

Resposta: D

Erro comum. Dividir $40$ por $8$ e esquecer o coeficiente $2$ de $x^2$ , o que dá $5$ .

Solução da questão 11

Resposta

D.Nenhuma das alternativas anteriores

Resolução

|x+1|>0{,}001\iff x+1<-0{,}001

x+1>0{,}001

Isto dá

x<-1{,}001

x>-0{,}999

: duas semirrectas, que nenhuma das alternativas A, B ou C descreve.

Resposta: D

Erro comum. Resolver como se fosse $|x+1|<0{,}001$ e escolher B.

Solução da questão 12

Resposta

C.Um número inteiro cujo módulo é maior que 2

Resolução

b-a^2=9-36=-27

\sqrt[3]{-27}=-3

\dfrac{9}{-3}=-3

, um inteiro com

|-3|=3>2

Resposta: C

Erro comum. Pensar que a raiz de um número negativo não é real; isso só vale para índices pares.

Solução da questão 13

Resposta

2{,}25\ \text{m}

Resolução

Área do revestimento = rectângulo grande − piscina:

(10+2x)(5+2x)-50=87{,}75

4x^2+30x-87{,}75=0\Rightarrow x=\dfrac{-30\pm\sqrt{900+1404}}{8}=\dfrac{-30\pm48}{8}

A raiz positiva é

x=2{,}25\ \text{m}

Resposta: B

Erro comum. Somar só um $x$ a cada dimensão, esquecendo que a faixa está dos dois lados.

Solução da questão 14

Resposta

x=3

Resolução

\begin{vmatrix}4&x\\-2&5\end{vmatrix}=4\cdot5-x\cdot(-2)=20+2x

20+2x=26\Rightarrow x=3

Resposta: A

Erro comum. Errar o sinal de $-2$ e escrever $20-2x=26$ , que dá $x=-3$ .

Solução da questão 15

Resposta

5

Resolução

Acertaram pelo menos uma:

25+20-10=35

Erraram as duas:

40-35=5

Resposta: B

Erro comum. Somar $25+20$ sem tirar os $10$ contados duas vezes.

Solução da questão 16

Resposta

a=10

b=6

Resolução

p(1)=0

1+a+b-18+1=0\Rightarrow a+b=16

p(2)=25

8+4a+2(b-18)+1=25\Rightarrow2a+b=26

Subtraindo:

a=10

b=6

Resposta: D

Erro comum. Esquecer de multiplicar $(b-18)$ por $2$ ao calcular $p(2)$ .

Solução da questão 17

Resposta

a=-\frac{3}{2}

b=6

Resolução

A curva corta o eixo vertical em

(0,c)

, logo

c=3

Com o vértice

(2,9)

y=a(x-2)^2+9

; em

x=0

4a+9=3\Rightarrow a=-\dfrac32

-\dfrac{b}{2a}=2

vem

b=-4a=6

Resposta: A

Erro comum. Tomar $9$ , a ordenada do vértice, como termo independente.

Solução da questão 18

Resposta

2

Resolução

O limite é a definição da derivada em

0

\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{h(x)-h(0)}{x-0}=h'(0)

h'(0)=0+2\cos0=2

Resposta: B

Erro comum. Não reconhecer a definição de derivada e ficar preso na indeterminação $\dfrac00$ .

Solução da questão 19

Resposta

x\in\ ]-\infty,-3[\ \cup\ ]5,+\infty[

Resolução

O argumento do logaritmo tem de ser positivo:

|x-1|-4>0\iff|x-1|>4

x-1<-4

x-1>4

, isto é,

x<-3

x>5

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o ramo negativo do módulo e ficar só com $x>5$ .

Solução da questão 20

Resposta

y=x^2-x

Resolução

A tangente em

x=1

exige

f(1)=1-1=0

f'(1)=1

, o declive da recta.

Para

f(x)=x^2-x

f(1)=0

f'(x)=2x-1

, logo

f'(1)=1

As outras dão

f(1)=2

e não passam pelo ponto.

Resposta: C

Erro comum. Verificar só o declive e esquecer que $f$ tem de passar pelo ponto $(1,0)$ .

Solução da questão 21

Resposta

D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}

Resolução

O gráfico tem pontos para todos os valores de

x

, menos sobre as rectas verticais

x=-2

x=2

D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}

Resposta: D

Erro comum. Escolher B e esquecer o ramo do meio, entre $-2$ e $2$ .

Solução da questão 22

Resposta

-1

Resolução

Para a direita, o último ramo fica cada vez mais perto da recta horizontal

y=-1

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=-1

Resposta: C

Erro comum. Confundir com as assímptotas verticais e responder $+\infty$ .

Solução da questão 23

Resposta

+\infty

Resolução

À esquerda de

-2

lê-se o primeiro ramo, que sobe sem limite junto de

x=-2

\displaystyle\lim_{x\to-2^-}f(x)=+\infty

Resposta: B

Erro comum. Ler o ramo do meio, que à direita de $-2$ desce para $-\infty$ .

Solução da questão 24

Resposta

20

Resolução

Os anos formam uma progressão aritmética de razão

4

2021,\ 2025,\ \dots,\ 2097

2021+4(n-1)=2097\Rightarrow n-1=19\Rightarrow n=20

Resposta: C

Erro comum. Fazer só $\dfrac{2097-2021}{4}=19$ e esquecer a Olimpíada de $2021$ .

Solução da questão 25

Resposta

1

Resolução

Numa progressão geométrica, o quadrado do termo do meio é o produto dos outros dois:

\left(3^{4-x}\right)^2=3^{x+1}\cdot3^{3x+1}

8-2x=4x+2\Rightarrow x=1

Resposta: A

Erro comum. Igualar os expoentes uns aos outros em vez de usar $b^2=ac$ .

Solução da questão 26

Resposta

\dfrac{1}{2}

Resolução

É uma indeterminação

\infty-\infty

: multiplica-se e divide-se pelo conjugado.

\sqrt{x^2+x}-x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1}\to\dfrac12

Resposta: D

Erro comum. Concluir que $\infty-\infty$ dá $\infty$ sem levantar a indeterminação.

Solução da questão 27

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A assímptota horizontal é $y=-\dfrac13$ , que não está nas alternativas: A e C usam o valor das assímptotas verticais ( $x=\pm\sqrt3$ ) e B e D são rectas verticais.

Porquê

Quando

x\to\pm\infty

\dfrac{x^2}{9-3x^2}=\dfrac{1}{\frac{9}{x^2}-3}\to-\dfrac13

, logo a assímptota horizontal é

y=-\dfrac13

\pm\sqrt3

são os zeros do denominador: dão as assímptotas verticais

x=\pm\sqrt3

, não rectas

y=\pm\sqrt3

x=\pm\dfrac13

são rectas verticais. Nenhuma alternativa está certa.

Solução da questão 28

Resposta

P\left(1,\dfrac{1}{2}\right)

Resolução

f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

[0;+\infty[

f'(x)=0

só em

x=1

;

f'>0

antes e

f'<0

depois: é um máximo.

f(1)=\dfrac12

, logo

P\left(1,\dfrac12\right)

Resposta: B

Erro comum. Escolher $x=-1$ , que também anula $f'$ mas está fora do intervalo.

Solução da questão 29

Resposta

y=-\dfrac{1}{4}x+1

Resolução

f(2)=\dfrac12

f'(x)=-\dfrac1{x^2}

, logo

f'(2)=-\dfrac14

y-\dfrac12=-\dfrac14(x-2)\Rightarrow y=-\dfrac14x+1

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o sinal menos da derivada de $\dfrac1x$ e ficar com $y=\dfrac14x+1$ .

Solução da questão 30

Resposta

g(x)=\dfrac{x}{2}+3

Resolução

(f\circ g)(x)=f(g(x))=4g(x)-2

4g(x)-2=2x+10\Rightarrow g(x)=\dfrac{2x+12}{4}=\dfrac x2+3

Resposta: A

Erro comum. Calcular $g\circ f$ em vez de $f\circ g$ .

Solução da questão 31

Resposta

f^{-1}(x)=3^{x+2}-1

Resolução

y=\log_3(x+1)-2\Rightarrow\log_3(x+1)=y+2\Rightarrow x+1=3^{y+2}

x=3^{y+2}-1

; trocando as letras,

f^{-1}(x)=3^{x+2}-1

Resposta: C

Erro comum. Passar o $-2$ para o outro membro sem trocar o sinal, o que dá $3^{x-2}$ .

Solução da questão 32

Resposta

-\dfrac{6}{5}

Resolução

(f\circ g)(x)=-4(3x+m)+3=-12x-4m+3

(g\circ f)(x)=3(-4x+3)+m=-12x+9+m

-4m+3=9+m\Rightarrow m=-\dfrac65

Resposta: B

Erro comum. Esquecer de multiplicar $m$ por $-4$ ao desenvolver $f(g(x))$ .

Solução da questão 33

Resposta

\dfrac{4}{3}

Resolução

Cada ramo é contínuo; basta que os dois coincidam em

x=2

k\cdot2^2=2\cdot2+k\Rightarrow4k=4+k\Rightarrow k=\dfrac43

Resposta: D

Erro comum. Substituir mal no ramo $kx^2$ e escrever $2k$ em vez de $4k$ .

Solução da questão 34

Resposta

f(x)

Resolução

Uma função ímpar tem o gráfico simétrico em relação à origem:

f(-x)=-f(x)

f(x)

tem essa simetria.

h(x)

é simétrica em relação ao eixo

Oy

(par),

g(x)

não tem simetria e a recta

i(x)

não passa pela origem.

Resposta: A

Erro comum. Confundir a simetria em relação à origem (ímpar) com a simetria em relação ao eixo $Oy$ (par).

Solução da questão 35

Resposta

y=-2x\sin(x^2+1)+\dfrac{1}{x}

Resolução

[\cos u]'=-u'\sin u

, com

u=x^2+1

u'=2x

: dá

-2x\sin(x^2+1)

(\ln x)'=\dfrac1x

, logo

y=-2x\sin(x^2+1)+\dfrac1x

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o sinal menos da derivada do cosseno e escolher C.

Solução da questão 36

Resposta

f(x)=x^3+2x+1

Resolução

Primitiva termo a termo:

\int(3x^2+2)\,dx=x^3+2x+C

Com

C=1

fica

f(x)=x^3+2x+1

Resposta: B

Erro comum. Trocar a primitiva de $2$ , que é $2x$ , por $3x$ .

Solução da questão 37

Resposta

19

Resolução

Pelo teorema do resto,

P

é divisível por

x-2

quando

P(2)=0

2\cdot8+5\cdot4-2p+2=0\Rightarrow38-2p=0\Rightarrow p=19

Resposta: D

Erro comum. Calcular $P(-2)$ em vez de $P(2)$ .

Solução da questão 38

Resposta

\dfrac{1}{2}

Resolução

f'(2)

é o declive da tangente em

P

A recta passa por

(-4,0)

(0,2)

m=\dfrac{2-0}{0-(-4)}=\dfrac12

Resposta: A

Erro comum. Tomar a ordenada de $P$ , $3$ , ou a ordenada na origem, $2$ , como derivada.

Solução da questão 39

Resposta

2

Resolução

h'(x)=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm2

h''(x)=6x

h''(2)=12>0

(mínimo) e

h''(-2)=-12<0

(máximo).

Resposta: D

Erro comum. Escolher $-2$ , que é o máximo.

Solução da questão 40

Resposta

(1;2)

Resolução

f''(x)=6(x-1)

anula-se em

x=1

e muda de sinal aí.

f(1)=0+2=2

, logo o ponto de inflexão é

(1;2)

Resposta: C

Erro comum. Trocar a ordem das coordenadas e escolher $(2;1)$ .

Solução da questão 41

Resposta

\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}

Resolução

(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}

, com

u=x^2-2x

u'=2x-2

f'(x)=\dfrac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x}}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}

Resposta: C

Erro comum. Esquecer o $2$ do denominador e ficar com A.

Solução da questão 42

Resposta

24

Resolução

BC=20

é a hipotenusa:

AC=\sqrt{20^2-12^2}=16

Área de

ABC

\dfrac{12\cdot16}{2}=96\ \text{cm}^2

Os lados de

EFG

são metade dos de

ABC

, logo a área é

\dfrac14

\dfrac{96}{4}=24\ \text{cm}^2

Resposta: A

Erro comum. Dividir a área por $2$ em vez de $4$ .

Solução da questão 43

Resposta

8\sqrt{3}

Resolução

O trapézio é isósceles, com

60^\circ

na base; a altura é

h=4\sin60^\circ=2\sqrt3

Cada lado oblíquo avança

4\cos60^\circ=2

, logo

DC=6-2\cdot2=2

A=\dfrac{6+2}{2}\cdot2\sqrt3=8\sqrt3\ \text{cm}^2

Resposta: D

Erro comum. Usar $AD=4$ como altura.

Solução da questão 44

Resposta

12

Resolução

Pela figura,

AD

é o diâmetro,

BD=5

DC=3

. No triângulo

BCD

BC=\sqrt{5^2-3^2}=4

, logo

AD=4

e o raio é

2

Semicírculo:

\dfrac{\pi r^2}{2}=\dfrac{3\cdot4}{2}=6

Triângulo

ABD

\dfrac{4\cdot3}{2}=6

. Área sombreada:

6+6=12\ \text{cm}^2

Resposta: B

Erro comum. Tomar $5$ como diâmetro, ou esquecer o triângulo sombreado.

Solução da questão 45

Resposta

\dfrac{4\pi}{3}

Resolução

\cos^2\alpha=\dfrac14\Rightarrow\cos\alpha=\pm\dfrac12

\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]

o cosseno é negativo:

\cos\alpha=-\dfrac12

, logo

\alpha=\pi+\dfrac\pi3=\dfrac{4\pi}{3}

Resposta: A

Erro comum. Ficar pelo ângulo de referência $\dfrac\pi3$ , fora do intervalo pedido.

Solução da questão 46

Resposta

160^\circ

Resolução

Ponteiro dos minutos:

40\cdot6^\circ=240^\circ

a partir do

12

Ponteiro das horas:

2\cdot30^\circ+40\cdot0{,}5^\circ=80^\circ

Diferença:

240^\circ-80^\circ=160^\circ

, menor que

180^\circ

Resposta: D

Erro comum. Pôr o ponteiro das horas exactamente no $2$ , esquecendo que avança $0{,}5^\circ$ por minuto.

Solução da questão 47

Resposta

2\sqrt{3}

Resolução

A altura divide o triângulo em dois triângulos rectângulos com um cateto de

3

cm junto ao ângulo de

30^\circ

\cos30^\circ=\dfrac3x\Rightarrow x=\dfrac{3}{\frac{\sqrt3}{2}}=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3

Resposta: C

No exame, as alternativas A e D são iguais ( $3\sqrt2$ ); nenhuma das duas é a resposta.

Erro comum. Usar a base inteira, $6$ , em vez de metade.

Solução da questão 48

Resposta

792

Resolução

A ordem dos pares não interessa: é uma combinação.

C_5^{12}=\dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{5!}=\dfrac{95040}{120}=792

Resposta: A

Erro comum. Usar o arranjo $A_5^{12}=95040$ , que conta a ordem.

Solução da questão 49

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Com $(n-2)!$ no numerador o resultado é $n+1-\dfrac{1}{n(n-1)}$ , que não está nas alternativas; com $(n+1)!-n!$ daria $n$ (C).

Porquê

\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1

\dfrac{(n-2)!}{n!}=\dfrac{1}{n(n-1)}

A expressão vale

n+1-\dfrac{1}{n(n-1)}

, que não é nenhuma das alternativas: para

n=2

dá

\dfrac{3!-0!}{2!}=2{,}5

Solução da questão 50

Resposta

33{,}33\%

Resolução

As faces do dado vão de

1

6

; os quadrados perfeitos são

1

4

P=\dfrac26=\dfrac13\approx33{,}33\%

Resposta: B

Erro comum. Esquecer que $1=1^2$ é quadrado perfeito.