Matemática 2022

UJC
60 questões
120 minutos
57 soluções

Universidade Joaquim Chissano

Comissão de Exames de Admissão

Exame de Matemática - 2021

A prova é constituída por sessenta (60) questões, todas com quatro (4) alternativas de resposta, estando correcta somente UMA (1) das alternativas.
Para cada questão assinale a resposta escolhida na FOLHA DE RESPOSTAS que lhe foi fornecida no início do exame. Não será aceite qualquer outra folha adicional.
Pinte o rectângulo com a letra correspondente à resposta escolhida. Por exemplo, se as respostas às questões 45 e 46 forem B e C, respectivamente, pinte assim: 45 A ● C D; 46 A B ● D.
Preencha a lápis HB, pois contrariamente ao preenchimento por esferográfica, os erros podem ser totalmente apagados sem deixar nenhuma marca que possa perturbar a leitura da máquina óptica.
Se tiver a certeza de que as respostas assinaladas a lápis são as definitivas, PODE passar à esferográfica de tinta azul ou preta.

Qual é a expressão que representa uma proposição?

x+1=4

x^2\neq 4

3+3=7

\sqrt[5]{3}

Considere as proposições: $p$ : "A gripe é uma doença infecciosa" e $q$ : "Algumas doenças são preveníveis". Qual é a tradução para a linguagem simbólica da proposição "Algumas doenças não são preveníveis e a gripe é uma doença infecciosa"?

p\wedge q

\sim q\Rightarrow p

\sim q\vee p

\sim q\wedge p

Considere as proposições: $p$ : "Não chove" e $q$ : "O sol brilha". Qual é a tradução para a linguagem simbólica da proposição, "Se o sol brilha então não chove".

p\Rightarrow q

q\Rightarrow p

q\Rightarrow \sim p

p\Rightarrow \sim q

Se $\log_3 x+\log_9 x=1$ então o valor de $x$ é:

3\sqrt{2}

\sqrt{2}

\sqrt[3]{3}

\sqrt[3]{9}

Se $10^x=20^y$ , atribuindo $0{,}3$ para $\log 2$ , então o valor de $\dfrac{x}{y}$ é:

0{,}3

0{,}5

1{,}3

0{,}7

O valor da expressão $\dfrac{2^{-2}-2^{-3}}{2^{2}}$ é igual a:

2^{-3}

2^{-5}

\dfrac{1-2^{5}}{2^{4}}

-2^{-5}

Simplificando a expressão $\left(\sqrt[3]{9}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{24}\right)$ , tem-se:

\sqrt[3]{3}

12

10

1

Se $x+y+z=\sqrt[4]{9}$ e $x+y-z=\sqrt{3}$ , então o valor da expressão $x^2+2xy+y^2-z^2$ é:

3

3\sqrt{3}

\sqrt{3}

0

A razão entre a idade de Pedro e a de seu pai é igual a dois nonos. Se a soma das duas idades é igual a 55 anos, então Pedro tem:

A.12 anos

B.13 anos

C.10 anos

D.15 anos

10.

Durante a pandemia de covid-19, uma das medidas para se conter as contaminações foi o encerramento dos comércios não essenciais. Para atender a demanda dos seus clientes, uma empresa de consórcios passou a atendê-los via telefone e por e-mail. No atendimento, os funcionários se revezam entre responder e-mails e atender os telefonemas. Sabendo que 12 atendentes responderam, em 1 dia, o total de 114 e-mails e atenderam 180 telefonemas, o número de telefonemas atendidos, em 1 dia, por 20 funcionários, que também responderam a 76 e-mails, será de:

A.450

B.625

C.710

D.830

11.

Qual é a expressão algébrica inteira?

x^3+4x^2+\dfrac{9}{x}

\dfrac{x^3-2}{4}

\sqrt{x-2}

\sqrt{5x}+3

12.

De um sistema linear de 2 equações e 2 incógnitas $(x,y)$ , sabe-se que $\Delta=-7$ , $\Delta x=7$ e $\Delta y=-28$ . Qual é o valor de $x+y+1$ ?

-4

-2

3

4

13.

Sejam $A$ e $B$ dois acontecimentos. Sendo $p(A)=0{,}4$ , $p(B)=0{,}5$ e $p(A\cap B)=0{,}2$ . Qual é o valor de $p(A\cup B)$ ?

0{,}1

0{,}3

0{,}5

0{,}7

14.

Calcule o valor da expressão $\dfrac{3^{x+2}+3^{x+1}}{3^{x-1}}$ :

25

30

36

38

15.

Sejam $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ e $g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ definidas por $f(x)=\dfrac12\,5^x$ e $g(x)=\log x$ , respectivamente. O gráfico da função composta $g\circ f$ é:

16.

A expressão $\dfrac{5\sqrt[12]{64}-\sqrt{18}}{\sqrt{50}-\sqrt[4]{324}}$ é igual a:

8\sqrt{2}

-1

1

\sqrt{3}

17.

Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.

O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilómetros quadrados, terá sido ampliada em:

32\pi

16\pi

12\pi

8\pi

18.

O projecto de uma casa é apresentado em forma rectangular e dividido em quatro cómodos, também rectangulares, conforme ilustra a figura.

Sabendo que a área do banheiro (WC) é igual a $3\ \mathrm{m^2}$ e que as áreas dos quartos 1 e 2 são, respectivamente, $9\ \mathrm{m^2}$ e $8\ \mathrm{m^2}$ , então a área total do projecto desta casa, em metros quadrados, é igual a:

24

32

44

56

19.

Considere o triângulo equilátero ao lado. Determine os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

a=3,\ b=5,\ c=6

a=5,\ b=3,\ c=6

a=3,\ b=6,\ c=5

a=6,\ b=3,\ c=6

20.

Na figura ao lado, $BD=20\ \mathrm{cm}$ . O valor de $x$ é:

6\ \mathrm{cm}

4\ \mathrm{cm}

3\ \mathrm{cm}

2\ \mathrm{cm}

21.

Determine $b$ e $c$ de modo que o polinómio $p(x)=x^4+x^2+bx+c$ seja divisível por $d_1(x)=x-2$ , mas quando dividido por $d_2(x)=x+2$ , deixe resto igual a 4.

b=1

c=-18

b=-1

c=18

b=-1

c=-18

b=1

c=18

22.

Determine os valores de $a$ , $b$ , $c$ e $d$ para que os polinómios $p(x)=(a+b)x^3+x^2+d$ e, sabendo que $q(x)=5x^3+(b-a)x^2+(c+d)x-4$ sejam idênticos.

a=2,\ b=3,\ c=4,\ d=-4

a=2,\ b=3,\ c=-4,\ d=4

a=-2,\ b=3,\ c=4,\ d=-4

a=2,\ b=-3,\ c=4,\ d=-4

23.

O valor de $m$ para que a função $f(x)=3x^2+6x-m$ tenha um valor mínimo igual a 2 é:

m=4

m=5

m=-4

m=-5

24.

Um jogador de basquete lança uma bola em direcção ao cesto e ela descreve um arco de parábola. A lei que descreve essa parábola é $h(t)=-\dfrac13t^2+\dfrac53t+2$ , onde $t$ é o tempo decorrido, em segundos, após o lançamento, e $h$ é a altura, em metros. Assim, é correcto afirmar que:

A.A bola atinge o solo em 5s

B.A imagem de

h(t)

é dada pelo conjunto

\left\{y\in\mathbb{R}: y\ge\dfrac{49}{9}\right\}

C.O vértice da parábola é o ponto

\left(\dfrac52,\dfrac{49}{12}\right)

D.Para todo

t\in[-6,1]

h(t)\ge0

25.

Ache o domínio da função $y=\log_{x-2}7$ .

D=\{x\in\mathbb{R}:2<x<3\ e\ x>3\}

D=\{x\in\mathbb{R}:-2<x<3\ e\ x>3\}

D=\{x\in\mathbb{R}:-3<x<-2\ e\ x>-2\}

D=\{x\in\mathbb{R}:2<x<3\ e\ x<3\}

26.

Seja $f(x)=mx+b$ , $f(2)=3$ e $f(-1)=-3$ . Quanto será $f(-3)$ ?

-6

-7

y=6

7

27.

A equação $4^{x}-4^{x-1}=3^{x+1}-3^{x}$ é equivalente a:

\left(\dfrac23\right)^{x}=\dfrac43

\left(\dfrac43\right)^{x}=\dfrac83

\left(\dfrac43\right)^{x}=\dfrac73

\left(\dfrac53\right)^{x}=\dfrac13

28.

Resolva a equação $\ln\left[x(x-2)\right]=0$

2\pm\sqrt3

1\pm\sqrt3

2\pm\sqrt2

1\pm\sqrt2

29.

A equação da recta tangente ao gráfico da função $f(x)=\sqrt{x}$ no ponto de abcissa $x_0=9$ é:

x+6y+9=0

x+6y-9=0

x-6y+9=0

-x+6y+9=0

30.

A derivada da função $y=\operatorname{sen}t^{3}$ é:

3\operatorname{sen}^2t\cos t

3t^2\operatorname{sen}t^3

3t^2\cos t^3

3\cos^2\operatorname{sen}t

31.

O conjunto solução da equação $|3x+2|=x+1$ é:

\left\{-\dfrac34,-\dfrac12\right\}

\left\{-\dfrac34,\dfrac12\right\}

\left\{\dfrac34,\dfrac12\right\}

\left\{\dfrac34,-\dfrac12\right\}

32.

Determine o valor de $\dfrac{1+3+5+\dots+19}{1+\dfrac12+\dfrac14+\dots+\dfrac1{512}}$ .

50{,}049

50{,}059

50{,}069

50{,}079

33.

Para encontrar o modelo que traduz o crescimento de uma colónia de bactérias, um biólogo observou a colónia em vários momentos, originando a seguinte tabela:

Tempo, $t$ (horas)	0	1	2	3	4
População, $p$	500	1000	2000	4000	8000

Depois de quanto tempo a colónia terá 64 000 bactérias?

A.5h

B.6h

C.7h

D.8h

34.

Determine o ponto em que a curva representativa do gráfico da função $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac1x$ admite uma tangente horizontal.

\left(-1,\dfrac14\right)

\left(1,\dfrac14\right)

\left(1,\dfrac32\right)

\left(-1,\dfrac32\right)

35.

Encontre o valor do $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}$ .

\dfrac13

\dfrac12

-\dfrac12

-\dfrac13

36.

Considere a função $f(x)=\begin{cases}2x-3,&\text{se } x\le0\\k-4,&\text{se } x>0\end{cases}$ , qual é o valor de $k$ de modo que $f(x)$ seja contínua no ponto de abcissa $x=0$ ?

k=-1

k=0

k=1

k=2

Questões 37 e 38

O diagrama circular em baixo representa as percentagens das diferentes classes de uma escola privada. Sabendo-se que na escola há 10 alunos da 11.ª classe:

(Relativamente ao diagrama, responda às perguntas 37 e 38.)

N.B. Arredonde o número de alunos a números inteiros.

37.

Quantos alunos tem a escola?

A.167

B.168

C.169

D.170

38.

Determine o número de alunos da 9.ª classe.

A.26

B.25

C.24

D.23

39.

A tabela ao lado reporta as classificações obtidas por 30 alunos numa avaliação na disciplina de Física. A nota média da turma é:

Classificações	$f_r$ (%)
8	10
9	20
11	30
12	40

8{,}5

10

11

11{,}5

40.

Determine a probabilidade de que um casal com três filhos tenha exactamente 2 meninos. Suponha que as probabilidades de nascimento de um menino e de uma menina sejam as mesmas e que o sexo de uma criança não seja influenciado pelo sexo de qualquer outra.

12{,}5\%

25\%

30\%

37{,}5\%

Questões 41 e 42

Numa festa de casamento, um garçom carrega duas bandejas com bebidas. Em uma delas tem 2 taças de vinho e 5 de champanhe, enquanto na outra tem 4 taças de vinho e 3 de champanhe.

41.

Qual é a probabilidade de alguém pegar uma taça de vinho de uma dessas bandejas?

85{,}71\%

71{,}42\%

42{,}86\%

28{,}57\%

42.

Escolhido, aleatoriamente, um convidado servido por este garçom e com uma taça de vinho na mão, qual é a probabilidade de que tal taça tenha sido retirada da segunda bandeja?

28{,}57\%

57{,}14\%

35{,}71\%

14{,}29\%

43.

As assimptotas verticais $A_V$ e horizontais $A_H$ da função $f(x)=\dfrac{x+2}{x^2-4}$ são:

A_V: x=\pm2;\ A_H: y=0

A_V: x=2;\ A_H: y=0

A_V: x=-2;\ A_H: y=2

A_V: x=\pm2;\ A_H: y=2

44.

Considere as rectas $k^2x-y+3=0$ e $(3k+4)x-y-5=0$ . Determine $k$ para que elas sejam paralelas.

k=-4\vee k=-1

k=4\vee k=1

k=-4\vee k=1

k=4\vee k=-1

45.

Determinar a equação da recta que passa pelo ponto $P(-2;3)$ e é perpendicular à recta cuja equação é $2x-y-2=0$ .

2y+x-4=0

2y-x-4=0

2y+x+4=0

-2y+x-4=0

46.

Se $f'(t)=3-2t+t^2$ , então uma das funções $f(x)$ é:

f(x)=t-t^2+\dfrac{t^3}{3}

f(x)=3t-t^2+\dfrac{t^3}{3}

f(x)=3t-2t^2+\dfrac{t^3}{3}

f(x)=2t-t^2+\dfrac{t^3}{3}

47.

Considere a função real $f$ definida por $f(x)=\dfrac{x+1}{2x+m}$ e sua inversa $f^{-1}$ . Se $f^{-1}(2)=5$ , o valor de $m$ é:

-3

-5

-7

-9

48.

Considere o gráfico ao lado.

\displaystyle\lim_{x\to+1^-}f(x)=0

\displaystyle\lim_{x\to+1^+}f(x)=1

\displaystyle\lim_{x\to+1^-}f(x)=3

\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=3

49.

Determine $f'(e)$ , sendo $f(x)=x\ln x^2$ .

f'(e)=e

f'(e)=2

f'(e)=\ln e

f'(e)=4

50.

No triângulo $ABC$ ao lado, $BC=a$ , $AC=b$ , $\hat A=45^\circ$ e $B=30^\circ$ . Qual é o valor de $a$ , sendo $a+b=1+\sqrt2$ ?

\sqrt3

\sqrt2

2\sqrt3

3\sqrt2

51.

No rectângulo $EPCR$ da figura ao lado, $PC=6\,\mathrm{cm}$ , $RA=3\,\mathrm{cm}$ e $AC=5\,\mathrm{cm}$ . O valor de $\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha$ é:

\dfrac{\sqrt5}{5}

\dfrac{2\sqrt5}{5}

\dfrac{3\sqrt5}{5}

\dfrac{4\sqrt5}{5}

52.

Determine a área da região sombreada sabendo que o triângulo é equilátero e tem 6 m de lado.

(3\sqrt3-\pi)\,\mathrm{m}^2

(3\sqrt3+\pi)\,\mathrm{m}^2

(\sqrt3-\pi)\,\mathrm{m}^2

(\sqrt3+\pi)\,\mathrm{m}^2

53.

Seja $\operatorname{sen}x=\sqrt{a-2}$ e $\cos x=a-1$ , determine $a$ .

a=5

a=4

a=3

a=2

54.

Qual o conjunto solução da equação trigonométrica $2\operatorname{sen}(3x)+1=0$ ?

\left\{x\in\mathbb{R}: x=-\dfrac{\pi}{18}+2k\pi\vee x=\dfrac{7\pi}{18}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}

\left\{x\in\mathbb{R}: x=\dfrac{\pi}{18}+2k\pi\vee x=\dfrac{7\pi}{18}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}

\left\{x\in\mathbb{R}: x=-\dfrac{\pi}{18}+2k\pi\vee x=-\dfrac{7\pi}{18}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}

\left\{x\in\mathbb{R}: x=\dfrac{\pi}{18}+2k\pi\vee x=-\dfrac{7\pi}{18}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}

55.

Seja $a$ um número real e seja $p(x)=\det\begin{pmatrix}3-x&-1&\sqrt2\\0&a-x&-1\\0&4&1-x\end{pmatrix}$ . Para $a=1$ , encontre todas as raízes da equação $p(x)=0$ .

5

4

3

2

56.

Para que o produto da matriz $\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}$ pelo vector $\begin{pmatrix}x+2\\y\end{pmatrix}$ seja igual ao vector $\begin{pmatrix}3x-y\\y+3\end{pmatrix}$ os números $x$ e $y$ devem ser:

x=1\ e\ y=3

x=3\ e\ y=1

x=-1\ e\ y=3

x=-3\ e\ y=1

57.

Quais são os pontos de inflexão da função $f(x)=\dfrac{6x^2-x^4}{9}$ ?

x=-2\ e\ x=1

x=-2\ e\ x=2

x=1\ e\ x=2

x=-1\ e\ x=1

58.

De uma função $h$ sabe-se que: o domínio de $h$ é $\mathbb{R}^+$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$ , $\displaystyle\lim_{x\to0}h(x)=-\infty$ . Indique qual dos gráficos seguintes poderá ser o gráfico de $h$ .

59.

Qual é o termo geral de uma sucessão divergente?

a_n=\dfrac{n-1}{n+1}

a_n=\dfrac{n+1}{n}

a_n=\left(\dfrac32\right)^n

a_n=\left(\dfrac23\right)^n

60.

Considerando a seguinte figura, para que valores de $x$ , $g(x)<f(x)$ ?

]0;1[

]1;+\infty[

[0;1]

]-\infty;1[

Respostas

Matemática 2022 · UJC · admitela.com

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32A
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38D
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42—
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59C
60B

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/ujc/matematica-2022/

Solução da questão 1

Resposta

3+3=7

Resolução

Uma proposição é uma afirmação com valor lógico definido: verdadeira ou falsa.

A e B têm a variável

x

: são condições. A D,

\sqrt[5]{3}

, é um número, não uma afirmação.

3+3=7

não tem variáveis e é falsa: é uma proposição.

Resposta: C

Erro comum. Pensar que uma proposição tem de ser verdadeira; basta ter valor lógico.

Solução da questão 2

Resposta

\sim q\wedge p

Resolução

«Algumas doenças não são preveníveis» é tomada como a negação de

q

\sim q

«A gripe é uma doença infecciosa» é

p

, e o «e» é a conjunção

\wedge

Fica

\sim q\wedge p

Resposta: D

Em rigor, a negação de «Algumas doenças são preveníveis» é «Nenhuma doença é prevenível»; o exame trata «Algumas doenças não são preveníveis» como $\sim q$ .

Erro comum. Trocar o «e» pela disjunção $\vee$ ou pela implicação $\Rightarrow$ .

Solução da questão 3

Resposta

q\Rightarrow p

Resolução

O antecedente, «o sol brilha», é

q

; o consequente, «não chove», é exactamente

p

«Se … então …» escreve-se com

\Rightarrow

q\Rightarrow p

Resposta: B

Erro comum. Escrever $\sim p$ para «não chove», quando a negação já está dentro de $p$ .

Solução da questão 4

Resposta

\sqrt[3]{9}

Resolução

\log_9 x=\dfrac{\log_3 x}{\log_3 9}=\dfrac12\log_3 x

\dfrac32\log_3 x=1\Rightarrow\log_3 x=\dfrac23

x=3^{2/3}=\sqrt[3]{9}

Resposta: D

Erro comum. Somar os dois logaritmos como se tivessem a mesma base.

Solução da questão 5

Resposta

1{,}3

Resolução

Aplicando

\log

aos dois membros:

x=y\log 20

\log 20=\log 2+\log 10=0{,}3+1=1{,}3

, logo

\dfrac{x}{y}=1{,}3

Resposta: C

Erro comum. Fazer $\log 20=2\log 2=0{,}6$ .

Solução da questão 6

Resposta

2^{-5}

Resolução

2^{-2}-2^{-3}=\dfrac14-\dfrac18=\dfrac18=2^{-3}

\dfrac{2^{-3}}{2^{2}}=2^{-3-2}=2^{-5}

Resposta: B

Erro comum. Subtrair os expoentes numa diferença de potências: $2^{-2}-2^{-3}\neq2^{1}$ .

Solução da questão 7

Resposta

12

Resolução

\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot3}=2\sqrt[3]{3}

, logo o segundo factor é

3\sqrt[3]{3}

\sqrt[3]{9}+\dfrac1{\sqrt[3]{3}}=\dfrac{\sqrt[3]{27}+1}{\sqrt[3]{3}}=\dfrac{4}{\sqrt[3]{3}}

Produto:

\dfrac{4}{\sqrt[3]{3}}\cdot3\sqrt[3]{3}=12

Resposta: B

Erro comum. Não tirar o factor 8 de 24 e ficar com radicais que não se juntam.

Solução da questão 8

Resposta

3

Resolução

x^2+2xy+y^2-z^2=(x+y)^2-z^2=(x+y+z)(x+y-z)

\sqrt[4]{9}=\sqrt3

, logo o produto é

\sqrt3\cdot\sqrt3=3

Resposta: A

Erro comum. Tentar calcular $x$ , $y$ e $z$ um a um, o que as duas equações não permitem.

Solução da questão 9

Resposta

C.10 anos

Resolução

Pedro tem

2k

anos e o pai

9k

2k+9k=55\Rightarrow k=5

, logo Pedro tem

10

anos (e o pai

45

Resposta: C

Erro comum. Dar a idade do pai, ou tomar 2 e 9 como as próprias idades.

Solução da questão 11

Resposta

\dfrac{x^3-2}{4}

Resolução

Numa expressão inteira a variável não aparece no denominador nem dentro de um radical.

A tem

\dfrac9x

; C e D têm

x

dentro da raiz.

\dfrac{x^3-2}{4}=\dfrac14x^3-\dfrac12

é um polinómio.

Resposta: B

Erro comum. Achar que qualquer fracção é fraccionária; só conta a variável no denominador.

Solução da questão 12

Resposta

4

Resolução

Regra de Cramer:

x=\dfrac{\Delta x}{\Delta}=\dfrac{7}{-7}=-1

y=\dfrac{\Delta y}{\Delta}=\dfrac{-28}{-7}=4

x+y+1=-1+4+1=4

Resposta: D

Erro comum. Parar em $x+y=3$ e esquecer o $+1$ .

Solução da questão 13

Resposta

0{,}7

Resolução

p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)

0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7

Resposta: D

Erro comum. Não subtrair a intersecção e obter $0{,}9$ .

Solução da questão 14

Resposta

36

Resolução

\dfrac{3^{x+2}}{3^{x-1}}=3^3=27

\dfrac{3^{x+1}}{3^{x-1}}=3^2=9

27+9=36

, seja qual for

x

Resposta: C

Erro comum. Somar os expoentes em vez de os subtrair.

Solução da questão 15

Resposta

Resolução

(g\circ f)(x)=\log\left(\tfrac12\,5^x\right)=x\log5-\log2

É uma recta de declive

\log5>0

(crescente) e ordenada na origem

-\log2<0

Só o gráfico A é crescente e corta o eixo

y

abaixo da origem.

Resposta: A

Erro comum. Esquecer o sinal de $\log\tfrac12$ e escolher B.

Solução da questão 16

Resposta

1

Resolução

\sqrt[12]{64}=2^{6/12}=\sqrt2

\sqrt{18}=3\sqrt2

: o numerador é

5\sqrt2-3\sqrt2=2\sqrt2

\sqrt{50}=5\sqrt2

\sqrt[4]{324}=\sqrt{18}=3\sqrt2

: o denominador é

2\sqrt2

O quociente é

1

Resposta: C

Erro comum. Não reparar que $324=18^2$ e deixar a raiz de índice 4 por simplificar.

Solução da questão 17

Resposta

8\pi

Resolução

As duas antenas antigas cobrem

2\cdot\pi\cdot2^2=8\pi

O círculo novo, centrado em O e tangente aos dois, tem raio igual a um diâmetro pequeno, 4 km: área

16\pi

Ampliação:

16\pi-8\pi=8\pi\ \text{km}^2

Resposta: D

Erro comum. Responder $16\pi$ , a área nova, sem lhe tirar a que já estava coberta.

Solução da questão 18

Resposta

44

Resolução

Com larguras

l

L

e alturas

h_1

h_2

: WC

=lh_1=3

, quarto 1

=Lh_1=9

, quarto 2

=lh_2=8

Cozinha e sala:

Lh_2=\dfrac{Lh_1\cdot lh_2}{lh_1}=\dfrac{9\cdot8}{3}=24\ \mathrm{m^2}

Total:

3+9+8+24=44\ \mathrm{m^2}

Resposta: C

Erro comum. Somar só as três áreas dadas, $20\ \mathrm{m^2}$ .

Solução da questão 19

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Com os lados impressos, as igualdades dão lados negativos e nenhuma alternativa as cumpre; a figura nem tem $c$ . A alternativa A só daria lados iguais (11 cm) com $(b+6)$ e $(2a+b)$ .

Porquê

Num triângulo equilátero os lados são iguais:

b-6=2a-b=4a-1

2a-b=4a-1

vem

b=1-2a

; de

b-6=4a-1

vem

b=4a+5

. Logo

a=-\tfrac23

b=\tfrac73

, e cada lado mediria

-\tfrac{11}{3}

cm.

Nenhuma alternativa serve: com a A os lados seriam

-1

1

11

; e

c

nem aparece na figura.

Solução da questão 21

Resposta

b=-1

c=-18

Resolução

Divisível por

x-2

p(2)=0

, isto é

16+4+2b+c=0

, ou

2b+c=-20

Resto 4 na divisão por

x+2

p(-2)=4

, isto é

16+4-2b+c=4

, ou

-2b+c=-16

Somando,

2c=-36

c=-18

b=-1

Resposta: C

Erro comum. Usar $p(-2)=0$ em vez de $p(-2)=4$ .

Solução da questão 22

Resposta

a=2,\ b=3,\ c=4,\ d=-4

Resolução

Polinómios idênticos têm os coeficientes iguais, grau a grau.

x^3

a+b=5

; em

x^2

b-a=1

. Logo

b=3

a=2

Termo independente:

d=-4

. Em

x

p

não tem esse termo, logo

c+d=0

c=4

Resposta: A

Erro comum. Esquecer que a falta do termo em $x$ em $p$ quer dizer coeficiente 0.

Solução da questão 23

Resposta

m=-5

Resolução

O mínimo está no vértice, em

x=-\dfrac{6}{2\cdot3}=-1

f(-1)=3-6-m=-3-m=2\Rightarrow m=-5

Resposta: D

Erro comum. Igualar a abcissa do vértice a 2, em vez do valor mínimo.

Solução da questão 24

Resposta

C.O vértice da parábola é o ponto

\left(\dfrac52,\dfrac{49}{12}\right)

Resolução

Vértice:

t=-\dfrac{5/3}{2\cdot(-1/3)}=\dfrac52

h\left(\tfrac52\right)=-\tfrac{25}{12}+\tfrac{50}{12}+\tfrac{24}{12}=\tfrac{49}{12}

: a C é verdadeira.

h=0

dá

t^2-5t-6=0

, ou seja

t=6

s (A falsa); como

a<0

, a imagem é

y\le\tfrac{49}{12}

(B falsa).

h(-6)=-12-10+2=-20<0

(D falsa).

Resposta: C

Erro comum. Escrever a imagem com $\ge$ , esquecendo que a parábola tem a concavidade para baixo.

Solução da questão 25

Resposta

D=\{x\in\mathbb{R}:2<x<3\ e\ x>3\}

Resolução

A base de um logaritmo é positiva e diferente de 1:

x-2>0

x-2\neq1

Logo

x>2

x\neq3

, isto é

2<x<3

x>3

É o que a A quer dizer.

Resposta: A

A alternativa escreve « $2<x<3$ e $x>3$ »; à letra seria o conjunto vazio, mas o que se pretende é a reunião dos dois intervalos.

Erro comum. Esquecer de excluir a base 1, isto é $x=3$ .

Solução da questão 26

Resposta

-7

Resolução

2m+b=3

-m+b=-3

; subtraindo,

3m=6

, logo

m=2

b=-1

f(-3)=2\cdot(-3)-1=-7

Resposta: B

Erro comum. Trocar a ordem numa das diferenças do declive e obter $m=-2$ .

Solução da questão 27

Resposta

\left(\dfrac43\right)^{x}=\dfrac83

Resolução

4^x-4^{x-1}=4^x\left(1-\tfrac14\right)=\tfrac34\cdot4^x

3^{x+1}-3^x=3^x(3-1)=2\cdot3^x

\tfrac34\cdot4^x=2\cdot3^x\Rightarrow\left(\tfrac43\right)^x=\tfrac83

Resposta: B

Erro comum. Simplificar $4^x-4^{x-1}$ como se desse $4^1$ .

Solução da questão 28

Resposta

1\pm\sqrt2

Resolução

\ln u=0

quando

u=1

x(x-2)=1

, isto é

x^2-2x-1=0

x=\dfrac{2\pm\sqrt8}{2}=1\pm\sqrt2

; nos dois casos

x(x-2)=1>0

Resposta: D

Erro comum. Igualar $x(x-2)$ a 0, confundindo $\ln u=0$ com $u=0$ .

Solução da questão 29

Resposta

x-6y+9=0

Resolução

f(9)=3

f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}

, logo

f'(9)=\dfrac16

y-3=\dfrac16(x-9)\Rightarrow6y-18=x-9\Rightarrow x-6y+9=0

Resposta: C

Erro comum. Errar um sinal ao passar tudo para o mesmo membro.

Solução da questão 30

Resposta

3t^2\cos t^3

Resolução

y=\operatorname{sen}(t^3)

é uma função composta.

Regra da cadeia:

y'=\cos(t^3)\cdot3t^2=3t^2\cos t^3

Resposta: C

Erro comum. Ler $\operatorname{sen}^3t$ , cuja derivada é a da alternativa A.

Solução da questão 31

Resposta

\left\{-\dfrac34,-\dfrac12\right\}

Resolução

O módulo não é negativo, logo

x+1\ge0

, isto é

x\ge-1

3x+2=x+1\Rightarrow x=-\tfrac12

;

3x+2=-(x+1)\Rightarrow x=-\tfrac34

Os dois são

\ge-1

\left\{-\tfrac34,-\tfrac12\right\}

Resposta: A

Erro comum. Errar o sinal no segundo caso e obter $x=\tfrac34$ .

Solução da questão 32

Resposta

50{,}049

Resolução

Numerador: os 10 primeiros ímpares somam

10^2=100

Denominador: progressão geométrica de razão

\tfrac12

com 10 termos,

2-\tfrac1{512}=\tfrac{1023}{512}

\dfrac{100\cdot512}{1023}=\dfrac{51200}{1023}\approx50{,}049

Resposta: A

Erro comum. Contar 9 termos em vez de 10 no denominador.

Solução da questão 33

Resposta

C.7h

Resolução

A população duplica a cada hora:

p(t)=500\cdot2^t

500\cdot2^t=64000\Rightarrow2^t=128=2^7\Rightarrow t=7

Resposta: C

Erro comum. Ler $t=6$ , que dá só $32\,000$ bactérias.

Solução da questão 34

Resposta

\left(-1,\dfrac32\right)

Resolução

Tangente horizontal:

f'(x)=0

, com

f'(x)=x+\dfrac1{x^2}

x+\dfrac1{x^2}=0\Rightarrow x^3=-1\Rightarrow x=-1

f(-1)=\dfrac12+1=\dfrac32

: o ponto é

\left(-1,\tfrac32\right)

Resposta: D

Erro comum. Derivar $-\dfrac1x$ como $-\dfrac1{x^2}$ ; o sinal certo é $+$ .

Solução da questão 35

Resposta

\dfrac12

Resolução

x=1

dá

\tfrac00

; os dois polinómios têm o factor

(x-1)^2

x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)

x^4-4x+3=(x-1)^2(x^2+2x+3)

Limite:

\dfrac{1+2}{1+2+3}=\dfrac36=\dfrac12

Resposta: B

Erro comum. Tirar só um factor $(x-1)$ e voltar a cair em $\tfrac00$ .

Solução da questão 36

Resposta

k=1

Resolução

À esquerda e em 0:

f(0)=2\cdot0-3=-3

À direita o limite é

k-4

; é contínua se

k-4=-3

, isto é

k=1

Resposta: C

Erro comum. Igualar $k-4$ a 0.

Solução da questão 37

Resposta

A.167

Resolução

A 11.ª classe é

6\%

da escola e tem 10 alunos.

Total:

\dfrac{10}{0{,}06}\approx166{,}7

, que se arredonda para 167.

Resposta: A

Erro comum. Usar os $11\%$ , que são da 10.ª classe.

Solução da questão 38

Resposta

D.23

Resolução

A 9.ª classe é a fatia sem percentagem:

100\%-69\%-11\%-6\%=14\%

0{,}14\times167\approx23{,}4

, isto é 23 alunos.

Resposta: D

Erro comum. Tomar os $11\%$ como a fatia da 9.ª classe.

Solução da questão 39

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A média da turma é $10{,}7$ , que não aparece nas alternativas; o $10$ da B é a média das quatro classificações sem pesos.

Porquê

Média com as frequências relativas:

\bar x=8\cdot0{,}1+9\cdot0{,}2+11\cdot0{,}3+12\cdot0{,}4

\bar x=0{,}8+1{,}8+3{,}3+4{,}8=10{,}7

10{,}7

não está entre as alternativas.

Solução da questão 40

Resposta

37{,}5\%

Resolução

Cada sequência de três filhos tem probabilidade

\left(\tfrac12\right)^3=\tfrac18

Exactamente 2 meninos: MMF, MFM e FMM, isto é

\binom32=3

sequências.

3\cdot\tfrac18=\tfrac38=37{,}5\%

Resposta: D

Erro comum. Contar só uma ordem e obter $12{,}5\%$ .

Solução da questão 41

Resposta

42{,}86\%

Resolução

Cada bandeja é escolhida com probabilidade

\tfrac12

P(\text{vinho})=\tfrac12\cdot\tfrac27+\tfrac12\cdot\tfrac47=\tfrac37\approx42{,}86\%

Resposta: C

Erro comum. Somar $\tfrac27+\tfrac47$ sem dividir por 2 e obter $85{,}71\%$ .

Solução da questão 42

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A probabilidade pedida é $\tfrac23\approx66{,}67\%$ , que não está nas alternativas; $57{,}14\%$ é a probabilidade de vinho sabendo que é a segunda bandeja, e $28{,}57\%$ a de ser da segunda bandeja e de vinho.

Porquê

Sejam

V

«taça de vinho» e

B_2

«segunda bandeja». Pede-se

P(B_2\mid V)=\dfrac{P(B_2\cap V)}{P(V)}

\dfrac{\tfrac12\cdot\tfrac47}{\tfrac37}=\dfrac{2/7}{3/7}=\dfrac23\approx66{,}67\%

Contando as taças dá o mesmo: das 6 de vinho, 4 são da segunda bandeja. Nenhuma alternativa tem este valor.

Solução da questão 43

Resposta

A_V: x=2;\ A_H: y=0

Resolução

f(x)=\dfrac{x+2}{(x-2)(x+2)}=\dfrac1{x-2}

para

x\neq-2

x=-2

o limite é finito (

-\tfrac14

): não há assimptota. Em

x=2

há assimptota vertical.

O grau do numerador é menor:

y=0

é assimptota horizontal.

Resposta: B

Erro comum. Pôr $x=\pm2$ só por serem os zeros do denominador.

Solução da questão 44

Resposta

k=4\vee k=-1

Resolução

Declives:

m_1=k^2

m_2=3k+4

Paralelas:

k^2=3k+4

, isto é

k^2-3k-4=0

, logo

k=4

k=-1

As ordenadas na origem (3 e

-5

) são diferentes, por isso as rectas não coincidem.

Resposta: D

Erro comum. Trocar os sinais das raízes e escolher A.

Solução da questão 45

Resposta

2y+x-4=0

Resolução

A recta

y=2x-2

tem declive 2; a perpendicular tem declive

-\tfrac12

y-3=-\tfrac12(x+2)\Rightarrow2y-6=-x-2\Rightarrow2y+x-4=0

Resposta: A

Erro comum. Usar declive $\tfrac12$ (só o inverso) ou $-2$ (só o simétrico).

Solução da questão 46

Resposta

f(x)=3t-t^2+\dfrac{t^3}{3}

Resolução

Primitivando termo a termo:

3t-t^2+\dfrac{t^3}{3}+C

Com

C=0

é a B (o exame chama

f(x)

a uma função de

t

Resposta: B

Erro comum. Primitivar $-2t$ como $-2t^2$ , sem dividir pelo novo expoente.

Solução da questão 47

Resposta

-7

Resolução

f^{-1}(2)=5

quer dizer

f(5)=2

\dfrac{6}{10+m}=2\Rightarrow10+m=3\Rightarrow m=-7

Resposta: C

Erro comum. Calcular $f(2)=5$ , trocando a entrada com a saída.

Solução da questão 48

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=3

Resolução

À esquerda de

x=1

a curva aproxima-se do círculo aberto de ordenada 1:

\lim_{x\to1^-}f(x)=1

À direita, a semi-recta parte do ponto cheio de ordenada 3:

\lim_{x\to1^+}f(x)=3

Resposta: D

Erro comum. Trocar os lados e escolher C.

Solução da questão 49

Resposta

f'(e)=4

Resolução

Regra do produto:

f'(x)=\ln x^2+x\cdot\dfrac{2x}{x^2}=\ln x^2+2

f'(e)=\ln e^2+2=2+2=4

Resposta: D

Erro comum. Esquecer a segunda parcela do produto e ficar com 2.

Solução da questão 50

Resposta

\sqrt2

Resolução

Lei dos senos:

\dfrac{a}{\operatorname{sen}45^\circ}=\dfrac{b}{\operatorname{sen}30^\circ}

, logo

a=\sqrt2\,b

\sqrt2\,b+b=1+\sqrt2\Rightarrow b=1

a=\sqrt2

Resposta: B

Erro comum. Trocar os ângulos opostos: $a$ opõe-se a $\hat A=45^\circ$ .

Solução da questão 51

Resposta

\dfrac{3\sqrt5}{5}

Resolução

ER=PC=6

RC=3+5=8

\operatorname{tg}R\hat EA=\tfrac36=\tfrac12

\operatorname{tg}R\hat EC=\tfrac86=\tfrac43

\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\tfrac43-\tfrac12}{1+\tfrac43\cdot\tfrac12}=\dfrac{5/6}{5/3}=\dfrac12

\operatorname{sen}\alpha=\dfrac1{\sqrt5}

\cos\alpha=\dfrac2{\sqrt5}

: a soma é

\dfrac3{\sqrt5}=\dfrac{3\sqrt5}{5}

Resposta: C

Erro comum. Usar $AC=5$ como cateto, esquecendo que $RC=RA+AC=8$ .

Solução da questão 52

Resposta

(3\sqrt3-\pi)\,\mathrm{m}^2

Resolução

Área do triângulo:

\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot6^2=9\sqrt3

O raio da circunferência inscrita é um terço da altura

3\sqrt3

r=\sqrt3

, área

3\pi

Os três cantos são iguais:

\dfrac{9\sqrt3-3\pi}{3}=3\sqrt3-\pi

Resposta: A

Erro comum. Não dividir por 3 e dar a área dos três cantos.

Solução da questão 53

Resposta

a=2

Resolução

\operatorname{sen}^2x+\cos^2x=1

(a-2)+(a-1)^2=1

a^2-a-2=0\Rightarrow a=2

a=-1

Com

a=-1

\sqrt{a-2}

não existe; fica

a=2

(

\operatorname{sen}x=0

\cos x=1

Resposta: D

Erro comum. Não rejeitar $a=-1$ , que deixa o radicando negativo.

Solução da questão 55

Resposta

3

Resolução

A primeira coluna só tem

3-x

p(x)=(3-x)\big[(a-x)(1-x)+4\big]

Com

a=1

p(x)=(3-x)\big[(1-x)^2+4\big]

(1-x)^2+4\ge4

nunca se anula, logo a única raiz real é

x=3

Resposta: C

Erro comum. Errar o sinal de $-(-1)\cdot4$ no menor e ficar com $(1-x)^2-4$ .

Solução da questão 56

Resposta

x=3\ e\ y=1

Resolução

O produto é

\begin{pmatrix}x+2+3y\\4y\end{pmatrix}

4y=y+3\Rightarrow y=1

;

x+2+3=3x-1\Rightarrow x=3

Resposta: B

Erro comum. Multiplicar pelas colunas da matriz em vez das linhas.

Solução da questão 57

Resposta

x=-1\ e\ x=1

Resolução

f'(x)=\dfrac{12x-4x^3}{9}

f''(x)=\dfrac{12-12x^2}{9}

f''(x)=0\Rightarrow x=\pm1

, e

f''

muda de sinal em cada um.

Resposta: D

Erro comum. Procurar os zeros de $f'$ (os extremos) em vez dos de $f''$ .

Solução da questão 58

Resposta

Resolução

O gráfico só existe para

x>0

, desce para

-\infty

junto ao eixo

y

e aproxima-se de 0 para a direita.

B existe também para

x<0

; C tem uma assimptota vertical à direita e não tende para 0; D parte da origem, sem ir para

-\infty

Só A cumpre tudo.

Resposta: A

Erro comum. Escolher D, que tende para 0 à direita mas não para $-\infty$ junto a 0.

Solução da questão 59

Resposta

a_n=\left(\dfrac32\right)^n

Resolução

A e B tendem para 1; D tende para 0 porque

\tfrac23<1

\left(\tfrac32\right)^n\to+\infty

porque

\tfrac32>1

: diverge.

Resposta: C

Erro comum. Achar que divergente é não tender para 0; tender para 1 também é convergir.

Solução da questão 60

Resposta

]1;+\infty[

Resolução

A recta

f

e a curva

g

cruzam-se no ponto de abcissa 1.

À direita desse ponto,

g

fica abaixo de

f

g(x)<f(x)

para

x\in\,]1;+\infty[

Resposta: B

Erro comum. Incluir o 1, onde $g(1)=f(1)$ .