Matemática 2011

UP e associadas
35 questões
120 minutos
35 soluções

Universidade Pedagógica

Comissão de Exames de Admissão

Exame de Admissão (2011)

Prova de Matemática

A prova tem a duração de 120 minutos e contempla um total de 35 perguntas.
Leia atentamente a prova e responda na Folha de Respostas a todas as perguntas.
Para cada pergunta existem quatro alternativas de resposta. Só uma é que está correcta. Assinale apenas a alternativa correcta.
Para responder correctamente, basta marcar na alternativa escolhida como se indica na Folha de Respostas.
Para marcar use primeiro lápis de carvão do tipo HB. Apague completamente os erros usando uma borracha. Depois passe por cima esferográfica preta ou azul.
No fim da prova, entregue apenas a Folha de Respostas. Não será aceite qualquer folha adicional.
Não é permitido o uso de máquina de calcular ou telemóvel.
Lembre-se! Assinale correctamente o seu Código.

No parque de estacionamento em frente duma escola estão 17 veículos, entre bicicletas e automóveis. Contaram-se ao todo 56 rodas. Quantas bicicletas e quantos automóveis há no parque?

A.10 bicicletas e 7 automóveis;

B.11 bicicletas e 6 automóveis;

C.7 bicicletas e 10 automóveis;

D.11 automóveis e 6 bicicletas.

Quatro planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:

Plano	Custo fixo mensal (USD)	Custo adicional/minuto (USD)
$X$	35,00	0,50
$Y$	20,00	0,90
$Z$	0,00	1,80
$W$	15,00	1,50

O melhor plano para alguém que fale 100 minutos por mês é:

X

;

Y

;

Z

;

W

Sejam A e B dois bairros de uma cidade. O bairro A tem 1000 residências, sendo o consumo médio mensal de energia eléctrica por residência 250 kwh. Já o bairro B possui 1500 residências, sendo o consumo médio mensal por residência igual a 300 kwh. O consumo médio mensal de energia eléctrica por residência, considerando os dois bairros, A e B, é

A.275 kwh;

B.280 kwh;

C.287,5 kwh;

D.292,5 kwh.

Para se apurar o vencedor de um campeonato, o regulamento estipula que cada um deles enfrente todos os outros uma única vez. Sendo 10 o número de equipas, o número total dos jogos é:

A.105;

B.90;

C.45;

D.100.

Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números $1, 2, 3, \dots, 50$ . A probabilidade de ser primo é:

\frac{3}{10}

;

\frac{6}{25}

;

\frac{2}{5}

;

\frac{1}{5}

Dois indivíduos formaram uma empresa. O primeiro entrou com 1000 milhões de meticais e o segundo com 600 milhões. Para dividir o lucro de 112 milhões em proporção das entradas cada um teve respectivamente direito a.

A.70 milhões e 42 milhões;

B.75 milhões e 42 milhões;

C.80 milhões e 40 milhões;

D.82 milhões e 40 milhões.

Racionalizando o denominador da fracção $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ , obtêm-se:

A.Não é possível;

\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}

;

\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+4\sqrt{3}}{7}

;

\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{5}

Os valores de $x$ que dão sentido à expressão $\frac{\sqrt{1-x}}{2-|x+2|}$ , $x \in R$ , são:

[1;+\infty[

;

R\setminus\{-2\}

;

]0;1]

;

]-\infty;-4[\ \cup\ ]-4;0[\ \cup\ ]0;1]

O polinómio $x^2-ax+1$

A.tem sempre duas raízes reais, qualquer que seja o valor de

a

;

B.tem sempre uma raiz real, qualquer que seja o valor de

a

;

C.tem exactamente uma raiz real para

a=\pm2

;

D.tem exactamente uma raiz real para

a=0

10.

O valor de $n$ que torna a sequência $2+3n,\ -5n,\ 1-4n$ uma Progressão Aritmética pertence ao intervalo:

[-2;-1]

;

[-1;0]

;

[0;1]

;

[2;3]

11.

O resto da divisão de $x^3-4x+2$ por $x+2$ é:

-3

;

-2

;

C.1;

D.2.

12.

Para que o seguinte sistema seja possível e determinado $\begin{cases} ax-y+z=0 \\ x-y=1 \\ x-ay+z=b \end{cases}$ , então:

a=b=1

;

a\neq1,\ b\in R

;

a\in R,\ b=1

;

a\neq b

13.

Observe esta sequência de figuras ao lado.

A figura a seguir será:

14.

A solução da inequação $x^2-9\le0$ é:

x\in[-3,3]

;

x_1=3\ \vee\ x_2=-3

;

x\le\pm3

;

x\in\,]-\infty,-3[\ \cup\ ]3,+\infty[

15.

A equação $\sqrt{3\sqrt{3}}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$ tem como solução:

x=\frac13

;

x=-\frac32

;

x=\sqrt3

;

x=7

16.

A equação da recta tangente à função $f(x)=x+\frac{1}{x}$ , no ponto $(1,2)$ é:

y=x^2+1

;

y=2

;

y=4x+3

;

y=2x-1

17.

Considere o gráfico de $f(x)$ ao lado. A inequação $f(x)>-2$ tem solução:

x<-2

;

x<1

;

-1<x<2

;

x>-1\ \wedge\ x\neq2

18.

O valor de $k$ para o qual a função $y=x^2-5x+k$ , admite mínimo $-\frac14$ é:

k=2

;

k=-3

;

k=-25

;

k=6

19.

O domínio da função $f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{se } x\le-1\\ x^2 & \text{se } x>-1\end{cases}$ é:

[2,+\infty[

;

]-2,0[

;

]-\infty,+\infty[

;

0\le x<2

20.

Dada a função $f(x)=\frac{x-3}{x-2}$ , o $\lim_{x\to2^+}f(x)$ é:

A.0;

B.1;

-\infty

;

-1

21.

Considere a função $f:R\to R$ , $f(\alpha)=4\cos(\alpha)+3\,\mathrm{sen}(\alpha)-1$ . A derivada da função $f$ tem fórmula:

f'(\alpha)=4\,\mathrm{sen}(\alpha)-3\cos(\alpha)-1

;

f'(\alpha)=4\,\mathrm{sen}(\alpha)-3\cos(\alpha)

;

f'(\alpha)=-4\,\mathrm{sen}(\alpha)+3\cos(\alpha)

;

f'(\alpha)=-4\,\mathrm{sen}(\alpha)+3\cos(\alpha)-1

22.

O valor máximo da função $f:R\to R$ , $f(\alpha)=4\cos(\alpha)+3\,\mathrm{sen}(\alpha)-1$ , ou seja, o maior valor das imagens $f(\alpha)$ é igual a:

A.5;

B.4;

C.3;

D.2.

23.

O valor de $\lim_{x\to0^+}x\ln x$ é:

A.0;

B.1;

e^3

;

\ln3

24.

Na figura abaixo, a recta $y=\frac14x+b$ é tangente ao gráfico $y=\sqrt{x}$ . Os valores de $a$ e $b$ são respectivamente.

A.4 e 1;

B.1 e 2;

C.1 e 4;

D.2 e 4;

25.

Um projéctil é lançado verticalmente de baixo para cima. Admita que sua altitude $h$ em metros, $t$ segundos após ter sido lançado, é dada pela expressão $h(t)=100t-5t^2$ . A velocidade (em metros por segundo) do projéctil dois segundos após o lançamento é:

A.80;

B.130;

C.170;

D.230.

26.

Tomando $\sqrt3=1{,}7$ a área do triângulo da figura ao lado é igual a

A.1,15;

B.1,30;

C.1,35;

D.1,25.

27.

Considere no plano $xy$ as rectas $y=1$ , $y=2x-5$ e $x-2y+5=0$ . As coordenadas dos vértices do triângulo formado por essas rectas são:

(3;1),\ (-3;1),\ (5;5)

;

(1;3),\ (5;6),\ (-2;3)

;

(0;-3),\ \left(\frac13;7\right),\ \left(2;\frac15\right)

;

(5;2),\ (-1;7),\ \left(\frac12;3\right)

28.

Um círculo de raio $r$ está inscrito em um triângulo $ABC$ . Se $AC=6\,cm$ , $AB=10\,cm$ e $BC=12\,cm$ . Então, a área da região interior ao triângulo e exterior ao círculo é igual a:

\frac{8(7\sqrt{14}+4\pi)}{7}\,cm^2

;

\frac{8(7\sqrt{14}-4\pi)}{7}\,cm^2

;

\frac{32\pi}{7}\,cm^2

;

\frac{8(7\sqrt{14}-5\pi)}{7}\,cm^2

29.

A distância do ponto $P(-2;3)$ à recta de equação $y=2x+7$ é:

A.0;

\frac32

;

\frac{6}{\sqrt{13}}

;

-\frac32

30.

Um círculo de raio $2\cdot\sqrt2$ tem o seu centro numa circunferência de raio 2, veja figura: a circunferência grande tem raio $2\sqrt2$ e a circunferência menor tem raio 2.

Qual é a área pintada da parte do menor círculo que está fora do grande círculo?

2\pi

;

\sqrt2\cdot\pi

;

\frac54\pi

;

D.4.

31.

Considere o rectângulo ao lado. Uma expressão para a área total deste rectângulo em função de $x$ é:

2x^2+7x+6

;

2x^2+6

;

2x+3+x+2

;

2x^2+5x+6

32.

Os pontos $L$ , $M$ e $N$ são pontos médios de arestas do cubo, como mostra a figura ao lado. Quanto mede o ângulo $LMN$ ?

90^\circ

;

105^\circ

;

120^\circ

;

135^\circ

33.

Na figura ao lado, a recta $PQ$ toca em $N$ o círculo que passa por $L$ , $M$ e $N$ . A recta $LM$ corta a recta $PQ$ em $R$ . Se $LM=LN$ e a medida do ângulo $PNL$ é $\alpha$ , $\alpha>60^\circ$ , quanto mede o ângulo $LRP$ ?

3\alpha-180^\circ

;

180^\circ-2\alpha

;

180^\circ-\alpha

;

90^\circ-\alpha/2

34.

Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura ao lado.

Qual a medida do ângulo $x$ ?

39^\circ

;

41^\circ

;

44^\circ

;

46^\circ

35.

O quadrilátero $ABCD$ é um quadrado de área $4\,m^2$ . Os pontos $M$ e $N$ estão no meio dos lados a que pertencem. Podemos afirmar que a área do triângulo em destaque é, em $m^2$ ,

A.1,5;

B.2;

C.2,5;

D.3.

Respostas

Matemática 2011 · UP e associadas · admitela.com

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/up/matematica-2011/

Solução da questão 1

Resposta

D.11 automóveis e 6 bicicletas.

Resolução

Com

b

bicicletas e

a

automóveis:

a+b=17

2b+4a=56

, isto é,

b+2a=28

Subtraindo as duas equações,

a=28-17=11

, e então

b=6

Resposta: D

Erro comum. Trocar as quantidades e escolher B: 11 bicicletas e 6 automóveis dão só 46 rodas.

Solução da questão 2

Resposta

X

;

Resolução

Custo de 100 minutos = custo fixo +

100\times

custo por minuto.

X

35+50=85

;

Y

20+90=110

;

Z

0+180=180

;

W

15+150=165

USD.

O mais barato é o

X

, com 85 USD.

Resposta: A

Erro comum. Escolher o $Z$ por não ter custo fixo: a 1,80 USD por minuto, é o mais caro.

Solução da questão 3

Resposta

B.280 kwh;

Resolução

É uma média ponderada pelo número de residências.

\dfrac{1000\cdot250+1500\cdot300}{1000+1500}=\dfrac{700\,000}{2500}=280

kwh.

Resposta: B

Erro comum. Fazer a média simples $\frac{250+300}{2}=275$ (A), sem dar mais peso ao bairro B, que tem mais residências.

Solução da questão 4

Resposta

C.45;

Resolução

Cada jogo é um par de equipas, sem ordem:

\binom{10}{2}=\dfrac{10\cdot9}{2}=45

jogos.

Resposta: C

Erro comum. Fazer $10\cdot9=90$ (B), que conta cada jogo duas vezes.

Solução da questão 5

Resposta

\frac{3}{10}

;

Resolução

Primos até 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, ou seja, 15.

P=\dfrac{15}{50}=\dfrac{3}{10}

Resposta: A

Erro comum. Contar o 1 como primo, ou esquecer o 2, o único primo par.

Solução da questão 6

Resposta

A.70 milhões e 42 milhões;

Resolução

As entradas estão na razão

1000:600=5:3

; o lucro divide-se em

8

partes de

112:8=14

milhões.

Primeiro:

5\cdot14=70

milhões; segundo:

3\cdot14=42

milhões.

Resposta: A

Erro comum. Escolher um par que não soma 112, como o da B ( $75+42=117$ ).

Solução da questão 7

Resposta

\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}

;

Resolução

Multiplica-se em cima e em baixo por

\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5

: o denominador fica

(\sqrt2+\sqrt3)^2-5=2\sqrt6

Multiplica-se agora por

\sqrt6

\dfrac{(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\sqrt6}{12}=\dfrac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{12}=\dfrac{2\sqrt3+3\sqrt2-\sqrt{30}}{12}

Resposta: B

Erro comum. Achar que com três raízes não se racionaliza (A): faz-se em dois passos, agrupando duas delas.

Solução da questão 8

Resposta

]-\infty;-4[\ \cup\ ]-4;0[\ \cup\ ]0;1]

Resolução

O radicando não pode ser negativo:

1-x\ge0

, ou seja,

x\le1

O denominador não pode ser zero:

|x+2|\neq2

, ou seja,

x\neq0

x\neq-4

Fica

x\in\,]-\infty;-4[\,\cup\,]-4;0[\,\cup\,]0;1]

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o $x=-4$ , a segunda solução de $|x+2|=2$ .

Solução da questão 9

Resposta

C.tem exactamente uma raiz real para

a=\pm2

;

Resolução

\Delta=a^2-4

. Há uma só raiz real (dupla) quando

\Delta=0

, isto é,

a=\pm2

Para

|a|<2

não há raízes reais, o que exclui A e B; com

a=0

fica

x^2+1

, sem raízes, o que exclui D.

Resposta: C

Erro comum. Escolher D: com $a=0$ o polinómio é $x^2+1$ , que não tem raízes reais.

Solução da questão 10

Resposta

[-1;0]

;

Resolução

Numa progressão aritmética o termo do meio é a média dos outros dois:

2(-5n)=(2+3n)+(1-4n)

-10n=3-n

, logo

n=-\dfrac13

, que pertence a

[-1;0]

Resposta: B

Erro comum. Tomar o termo do meio como a soma dos outros dois, e não como a média, esquecendo o factor 2.

Solução da questão 11

Resposta

D.2.

Resolução

Pelo teorema do resto, o resto da divisão por

x+2

é o valor do polinómio em

x=-2

(-2)^3-4\cdot(-2)+2=-8+8+2=2

Resposta: D

Erro comum. Trocar um sinal em $(-2)^3$ ou em $-4\cdot(-2)$ ; convém escrever as potências de $-2$ entre parênteses.

Solução da questão 12

Resposta

a\neq1,\ b\in R

;

Resolução

O sistema é possível e determinado quando o determinante dos coeficientes não é nulo.

\begin{vmatrix} a&-1&1\\ 1&-1&0\\ 1&-a&1\end{vmatrix}=-a+1+(1-a)=2-2a

, que só se anula para

a=1

Então

a\neq1

, e

b

, que só está nos termos independentes, pode ser qualquer real.

Resposta: B

Erro comum. Impor uma condição a $b$ : os termos independentes não entram no determinante.

Solução da questão 13

Resposta

Resolução

O círculo anda um canto no sentido dos ponteiros do relógio: cima à direita, baixo à direita, baixo à esquerda; a seguir vai para cima à esquerda.

O quadrado faz o mesmo: baixo à esquerda, cima à esquerda, cima à direita; a seguir vai para baixo à direita. A cor alterna (preto, branco, preto), por isso fica branco.

A figura seguinte tem o círculo preto em cima à esquerda e o quadrado branco em baixo à direita.

Resposta: A

Erro comum. Escolher uma figura que repete a sequência: B, C e D são a terceira, a segunda e a primeira figuras.

Solução da questão 14

Resposta

x\in[-3,3]

;

Resolução

x^2-9=(x-3)(x+3)

anula-se em

-3

e em

3

e é negativo entre os zeros (parábola com a concavidade para cima).

Então

x^2-9\le0

para

-3\le x\le3

Resposta: A

Erro comum. Escrever $x\le\pm3$ (C), tirando a raiz dos dois lados como numa equação.

Solução da questão 15

Resposta

x=-\frac32

;

Resolução

\sqrt{3\sqrt3}=\sqrt{3^{3/2}}=3^{3/4}

\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)^x=3^{-x/2}

Igualando os expoentes,

-\dfrac x2=\dfrac34

, logo

x=-\dfrac32

Resposta: B

Erro comum. Esquecer o sinal negativo do expoente de $\frac{1}{\sqrt3}$ e obter $x=\frac32$ .

Solução da questão 16

Resposta

y=2

;

Resolução

f'(x)=1-\dfrac{1}{x^2}

, logo o declive em

x=1

f'(1)=0

A tangente é horizontal e passa por

(1,2)

y=2

Resposta: B

Erro comum. Escolher A, que nem sequer é uma recta.

Solução da questão 17

Resposta

x>-1\ \wedge\ x\neq2

Resolução

No gráfico,

f(x)=-2

x=-1

, onde a curva sobe, e em

x=2

, o mínimo.

À esquerda de

-1

a curva está abaixo de

-2

; à direita está acima, excepto em

x=2

, onde toca

-2

Solução:

x>-1

x\neq2

Resposta: D

Erro comum. Esquecer de excluir $x=2$ : aí $f(2)=-2$ , que não é maior do que $-2$ .

Solução da questão 18

Resposta

k=6

Resolução

O mínimo está no vértice, em

x=\dfrac52

y=\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+k=k-\dfrac{25}{4}

k-\dfrac{25}{4}=-\dfrac14

, logo

k=\dfrac{24}{4}=6

Resposta: D

Erro comum. Trocar o sinal em $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{25-4k}{4}$ e obter um $k$ negativo.

Solução da questão 19

Resposta

]-\infty,+\infty[

;

Resolução

O domínio é a união dos intervalos dos dois ramos:

x\le-1

x>-1

Juntos cobrem todos os reais, e

x+2

x^2

existem para qualquer

x

D_f=\,]-\infty,+\infty[

Resposta: C

Erro comum. Confundir o domínio com o contradomínio.

Solução da questão 20

Resposta

-\infty

;

Resolução

Quando

x\to2^+

, o numerador tende para

-1

e o denominador

x-2

tende para

0

por valores positivos.

Um negativo a dividir por um positivo cada vez mais pequeno dá

-\infty

Resposta: C

Erro comum. Ignorar o sinal do denominador e dizer $+\infty$ .

Solução da questão 21

Resposta

f'(\alpha)=-4\,\mathrm{sen}(\alpha)+3\cos(\alpha)

;

Resolução

(\cos\alpha)'=-\mathrm{sen}\,\alpha

(\mathrm{sen}\,\alpha)'=\cos\alpha

e a derivada da constante

-1

0

f'(\alpha)=-4\,\mathrm{sen}(\alpha)+3\cos(\alpha)

Resposta: C

Erro comum. Manter o $-1$ na derivada (D).

Solução da questão 22

Resposta

B.4;

Resolução

4\cos\alpha+3\,\mathrm{sen}\,\alpha=5\cos(\alpha-\varphi)

, com

5=\sqrt{4^2+3^2}

; o maior valor disto é

5

O máximo de

f

5-1=4

Resposta: B

Erro comum. Parar no 5 (A) e esquecer o $-1$ .

Solução da questão 23

Resposta

A.0;

Resolução

x\ln x=\dfrac{\ln x}{1/x}

, que é do tipo

\dfrac{-\infty}{+\infty}

Pela regra de L'Hôpital:

\dfrac{1/x}{-1/x^2}=-x\to0

Resposta: A

Erro comum. Concluir $-\infty$ porque $\ln x\to-\infty$ , sem ver que $x$ tende para $0$ mais depressa.

Solução da questão 24

Resposta

A.4 e 1;

Resolução

No ponto de tangência o declive da recta é a derivada de

\sqrt x

\dfrac{1}{2\sqrt a}=\dfrac14

, logo

\sqrt a=2

a=4

O ponto

(4,2)

está na recta:

2=\dfrac14\cdot4+b

, logo

b=1

Resposta: A

Erro comum. Trocar a ordem e escolher $a=1$ e $b=4$ (C).

Solução da questão 25

Resposta

A.80;

Resolução

A velocidade é a derivada da altitude:

v(t)=h'(t)=100-10t

v(2)=100-20=80

m/s.

Resposta: A

Erro comum. Calcular a altitude $h(2)=180$ m em vez da velocidade.

Solução da questão 26

Resposta

C.1,35;

Resolução

Tira-se a altura do vértice de baixo à direita para o lado maior (a linha tracejada):

h=2\,\mathrm{sen}\,30^\circ=1

O pé da altura divide o lado maior em

2\cos30^\circ=\sqrt3

e, do lado do ângulo de

45^\circ

, em

h=1

: o lado mede

\sqrt3+1

Área

=\dfrac{(\sqrt3+1)\cdot1}{2}=\dfrac{2{,}7}{2}=1{,}35

Resposta: C

Erro comum. Tratar o triângulo como rectângulo.

Solução da questão 27

Resposta

(3;1),\ (-3;1),\ (5;5)

;

Resolução

y=1

y=2x-5

x=3

, o ponto

(3;1)

y=1

x-2+5=0

x=-3

, o ponto

(-3;1)

y=2x-5

x-2y+5=0

x-4x+10+5=0

x=5

y=5

, o ponto

(5;5)

Resposta: A

Erro comum. Errar o sinal ao substituir na terceira recta: $-2(2x-5)=-4x+10$ .

Solução da questão 28

Resposta

\frac{8(7\sqrt{14}-4\pi)}{7}\,cm^2

;

Resolução

Semiperímetro

p=\dfrac{6+10+12}{2}=14

; pela fórmula de Herão, a área do triângulo é

\sqrt{14\cdot8\cdot4\cdot2}=\sqrt{896}=8\sqrt{14}

r=\dfrac{8\sqrt{14}}{14}=\dfrac{4\sqrt{14}}{7}

, e o círculo tem área

\pi r^2=\dfrac{224\pi}{49}=\dfrac{32\pi}{7}

8\sqrt{14}-\dfrac{32\pi}{7}=\dfrac{8(7\sqrt{14}-4\pi)}{7}

cm².

Resposta: B

Erro comum. Dar só a área do círculo, $\frac{32\pi}{7}$ (C).

Solução da questão 29

Resposta

A.0;

Resolução

A recta escreve-se

2x-y+7=0

d=\dfrac{|2\cdot(-2)-3+7|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{0}{\sqrt5}=0

: o ponto está na recta, pois

2\cdot(-2)+7=3

Resposta: A

Erro comum. Escolher D: uma distância nunca é negativa.

Solução da questão 30

Resposta

D.4.

Resolução

O centro

C

do círculo grande está na circunferência menor, de centro

O

OC=2

. Num ponto

P

comum,

OP=2

CP=2\sqrt2

2^2+2^2=(2\sqrt2)^2

, logo

\angle POC=90^\circ

Assim a corda comum (tracejada) passa por

O

: é um diâmetro do círculo menor, mede 4 e é vista de

C

sob

90^\circ

Área pintada = meio círculo menor − segmento do grande

=2\pi-\left(\dfrac{\pi\cdot8}{4}-\dfrac{2\sqrt2\cdot2\sqrt2}{2}\right)=2\pi-(2\pi-4)=4

Resposta: D

Erro comum. Responder $2\pi$ (A), a área do meio círculo menor, sem tirar o segmento do círculo grande.

Solução da questão 31

Resposta

2x^2+7x+6

;

Resolução

O rectângulo tem de largura

2x+3

e de altura

x+2

Área:

(2x+3)(x+2)=2x^2+4x+3x+6=2x^2+7x+6

Resposta: A

Erro comum. Somar os lados (C), o que não dá uma área.

Solução da questão 32

Resposta

120^\circ

;

Resolução

Com o cubo de aresta 2 e a face da frente no plano

z=0

L=(1,0,0)

M=(2,1,0)

N=(2,2,1)

\vec{ML}=(-1,-1,0)

\vec{MN}=(0,1,1)

\cos\angle LMN=\dfrac{-1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=-\dfrac12

\angle LMN=120^\circ

Resposta: C

Erro comum. Supor um ângulo recto só porque as arestas do cubo são perpendiculares.

Solução da questão 33

Resposta

3\alpha-180^\circ

;

Resolução

O ângulo entre a tangente e a corda

NL

é igual ao ângulo inscrito do outro lado da corda:

\angle LMN=\alpha

Como

LM=LN

\angle LNM=\angle LMN=\alpha

\angle NLM=180^\circ-2\alpha

No triângulo

LNR

\angle LNR=180^\circ-\alpha

, logo

\angle LRP=180^\circ-(180^\circ-2\alpha)-(180^\circ-\alpha)=3\alpha-180^\circ

Resposta: A

Erro comum. Usar $\angle LNR=\alpha$ em vez do suplementar, $180^\circ-\alpha$ .

Solução da questão 34

Resposta

39^\circ

;

Resolução

Seguem-se as inclinações dos lados em relação à horizontal. O primeiro lado faz

30^\circ

com o bastão, logo

60^\circ

com a horizontal; o lado perpendicular a ele sobe

30^\circ

No vértice de

126^\circ

, o lado do quadrado do meio desce

180^\circ-30^\circ-126^\circ=24^\circ

; o lado perpendicular sobe

66^\circ

No vértice de

75^\circ

, o lado do último quadrado desce

180^\circ-66^\circ-75^\circ=39^\circ

; o lado perpendicular sobe

51^\circ

e faz com o bastão

90^\circ-51^\circ=39^\circ

Resposta: A

Erro comum. Trocar a inclinação de um lado pela do lado perpendicular, que difere sempre $90^\circ$ .

Solução da questão 35

Resposta

A.1,5;

Resolução

O quadrado tem lado 2, e

M

N

dividem os seus lados em segmentos de 1.

Tiram-se os três triângulos rectângulos:

ADM=\dfrac{2\cdot1}{2}=1

MCN=\dfrac{1\cdot1}{2}=0{,}5

ABN=\dfrac{2\cdot1}{2}=1

Área de

AMN=4-1-0{,}5-1=1{,}5

m².

Resposta: A

Erro comum. Tomar o triângulo como metade do quadrado, o que daria 2 (B).