Matemática 2014

UP e associadas
38 questões
120 minutos
38 soluções

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Universidade Pedagógica

Comissão de Exames de Admissão

Exame de Admissão (2014)

Prova de Matemática

A prova tem a duração de 120 minutos e contempla um total de 38 perguntas.
Leia atentamente a prova e responda na Folha de Respostas a todas as perguntas.
Para cada pergunta existem quatro alternativas de resposta. Só uma é que está correcta. Assinale apenas a alternativa correcta.
Para responder correctamente, basta marcar na alternativa escolhida como se indica na Folha de Respostas.
Para marcar use primeiro lápis de carvão do tipo HB. Apague completamente os erros usando uma borracha. Depois passe por cima esferográfica preta ou azul.
No fim da prova, entregue apenas a Folha de Respostas. Não será aceite qualquer folha adicional.
Não é permitido o uso de máquina de calcular ou telemóvel.
Lembre-se! Assinale correctamente o seu Código.

Racionalizando o denominador da fracção $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ , obtêm-se:

A.Não é possível;

\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}

;

\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}+4\sqrt{3}}{7}

;

\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{5}

O polinómio $x^2-ax+1$

A.tem sempre duas raízes reais, qualquer que seja o valor de

a

;

B.tem sempre uma raiz real, qualquer que seja o valor de

a

;

C.tem exactamente uma raiz real para

a=\pm2

;

D.tem exactamente uma raiz real para

a=0

O resto da divisão de $x^3-4x+2$ por $x+2$ é:

-3

;

-2

;

C.1;

D.2.

Para que o seguinte sistema seja possível e determinado $\begin{cases} ax-y+z=0\\ x-y=1\\ x-ay+z=b \end{cases}$ então:

a=b=1

;

a\neq 1

b\in\mathbb{R}

;

a\in\mathbb{R}

b=1

;

a\neq b

No Brasil, um litro de álcool custa R$0,75. O carro de Henrique percorre 25 km com 3 litros de álcool. Quantos reais serão gastos em álcool para percorrer 600 km?

A.54;

B.72;

C.50;

D.52.

Quatro amigos vão visitar um museu e um deles resolve entrar sem pagar. Aparece um fiscal que quer saber qual deles entrou sem pagar.

-Eu não fui, diz o Benjamim.
-Foi o Carlos, diz o Mário.
-Foi o Pedro, diz o Carlos.
-O Mário não tem razão, diz o Pedro.

Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada do museu?

A.Mário;

B.Pedro;

C.Benjamim;

D.Carlos.

Se $x$ e $y$ são números reais positivos, qual dos números a seguir é o maior?

\dfrac{x^3+y^3}{x+y}

;

x^2+y^2

;

(x+y)^2

;

x^2+y(x+y)

Os valores reais de $x$ que satisfazem a inequação $\sqrt{x}+\sqrt{\dfrac{1}{x}}\le 2$ são:

-1\le x\le 1

;

x=1

;

x\le 1

;

x\ge 1

Se $x+y=8$ e $xy=15$ , o valor de $x^2+6xy+y^2$ é:

A.64;

B.109;

C.120;

D.124.

10.

Sejam $a$ , $b$ e $c$ números tais que $\begin{cases} a^2-ab=1\\ b^2-bc=1\\ c^2-ac=1 \end{cases}$ O valor de $abc\cdot(a+b+c)$ é igual a:

0

;

1

;

2

;

-1

11.

Sejam $a$ e $b$ números reais positivos tais que $\dfrac{a}{b}<1$ . Então, $\dfrac{a+1}{b+1}$ é:

A.igual a

\dfrac{a}{b}+1

;

B.igual a

\dfrac{a}{b}

;

C.menor que

\dfrac{a}{b}

;

D.maior que

\dfrac{a}{b}

mas menor que

1

12.

No triângulo $ABC$ representado ao lado, a medida do ângulo $\hat C$ é $60^\circ$ e a bissectriz do ângulo $\hat B$ forma $70^\circ$ com a altura relativa ao vértice $A$ . A medida do ângulo $\hat A$ é:

50^\circ

;

30^\circ

;

40^\circ

;

80^\circ

13.

Dado um triângulo $ABC$ onde $\hat A=80^\circ$ e $\hat C=40^\circ$ , a medida do ângulo agudo formado pelas bissectrizes dos ângulos $\hat A$ e $\hat B$ é:

40^\circ

;

60^\circ

;

70^\circ

;

80^\circ

14.

Duas rectas paralelas $r$ e $s$ cortadas por uma recta transversal $t$ formam os ângulos indicados na figura ao lado. Os ângulos $5x$ e $x$ medem, respectivamente,

75^\circ

15^\circ

;

150^\circ

30^\circ

;

50^\circ

10^\circ

;

100^\circ

20^\circ

15.

O ponto $D$ pertence ao lado $BC$ do triângulo $ABC$ . Sabendo que $AB=AD=2$ , $BD=1$ e os ângulos $BAD$ e $CAD$ são congruentes, então a medida do segmento $CD$ é:

\dfrac{3}{2}

;

\dfrac{4}{3}

;

\dfrac{5}{4}

;

\dfrac{6}{5}

16.

Na figura ao lado temos que os triângulos $ABC$ e $A'B'C'$ são equiláteros e a região destacada é um hexágono regular. A razão entre a área da região destacada e a área do triângulo $ABC$ é igual a:

1

;

\dfrac{2}{3}

;

\dfrac{4}{5}

;

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

17.

Se a área do rectângulo dado é $12$ , a área da figura sombreada é:

3

;

4

;

5

;

6

18.

Considere a recta $R$ de equação $y=2x$ . Das seguintes equações, a equação para a recta $S$ que passa pelo ponto $(5,0)$ e é perpendicular à recta $R$ é:

y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{5}{2}

;

y=2x+4

;

y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}

;

y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}

19.

A área total de um cilindro vale $48\pi\ \text{m}^2$ e a soma das medidas do raio da base e da altura é igual a $8$ m. Então, em $\text{m}^3$ , o volume do sólido é:

45\pi

;

75\pi

;

25\pi

;

50\pi

20.

Na figura ao lado, as rectas $r$ , $s$ e $t$ são tangentes à circunferência nos pontos A, C e E respectivamente. Sendo $r$ paralela a $s$ , $|AB|=3$ , $|CD|=8$ .

O valor do diâmetro da circunferência é igual a:

\sqrt{11}

;

4\sqrt{3}

;

6\sqrt{11}

;

4\sqrt{6}

21.

Na circunferência da figura de centro $O$ e raio igual a $5$ m, sabe-se que a tangente $|PB|=1{,}5|PA|$ . A distância do ponto $P$ à circunferência é:

6

8

7

15

22.

Cada uma das arestas laterais de uma pirâmide regular mede $15$ cm, e sua base é um quadrado cujos lados medem $18$ cm. A altura dessa pirâmide, em centímetros, é igual a:

3\sqrt{5}

;

3\sqrt{7}

;

2

;

2\sqrt{7}

23.

Considere a recta de equação $y=2x+1$ . A distância que vai do ponto $(-2,2)$ à recta dada é igual a:

\dfrac{1}{\sqrt5}

;

\dfrac{3}{\sqrt5}

;

\sqrt5

;

\dfrac{2}{\sqrt5}

24.

Seja $f$ uma função real que tem as seguintes propriedades: Para todos $x,y$ reais, $f(x+y)=x+f(y)$ ; $f(0)=2$ . Quanto vale $f(2000)$ ?

2002

;

2

;

1998

;

2000

25.

Dada a função $f(x)=(x^2-6x+5)\cdot x$ , os valores de $x$ para os quais $f(x)>0$ são:

0<x<1

x>6

;

0<x<1

x>7

;

0<x<\dfrac12

x>6

;

0<x<1

x>5

26.

Considere a sequência oscilante: $1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,\dots$ O $2003.^\circ$ termo desta sequência é:

1

;

2

;

3

;

4

27.

O gráfico de $y=x^2-5x+9$ é rodado $180^\circ$ em torno da origem. Qual é a equação da nova curva obtida?

y=x^2+5x+9

;

y=x^2-5x-9

;

y=-x^2+5x-9

;

y=-x^2-5x-9

28.

O valor de $n$ que torna a sequência $2+3n,\ -5n,\ 1-4n$ uma Progressão Aritmética pertence ao intervalo:

[-2;-1]

;

[-1;0]

;

[0;1]

;

[2;3]

29.

Numa sequência, cada termo, a partir do terceiro, é a soma dos dois termos anteriores mais próximos. O segundo termo é igual a $1$ e o quinto termo vale $2005$ . Qual é o sexto termo?

3\,002

;

3\,008

;

3\,010

;

4\,002

30.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2x^5e^{-x}\right)$ é:

+\infty

;

0

;

2

;

+\infty

31.

Uma função real de variável real $f$ é tal que $f(x)=f'(x)$ , para qualquer valor de $x$ . Qual das seguintes expressões pode definir a função $f$ :

3x^2

;

\operatorname{sen}x

;

e^{5x}

;

2e^x

32.

A recta $r$ é normal ao gráfico de $g(x)=e^x$ no ponto A de abcissa $\ln 2$ . Uma equação de $r$ pode ser:

y=-2x+\ln4+2

;

y=-\dfrac12x+2\ln\sqrt2

;

y=-\dfrac12x+\ln(e^2\sqrt2)

;

y=2x+\dfrac12\ln2+e^2

33.

Um projéctil é lançado verticalmente de baixo para cima. Admita que sua altitude $h$ em metros, $t$ segundos após ter sido lançado, é dada pela expressão $h(t)=100t-5t^2$ . A velocidade (em metros por segundo) do projéctil dois segundos após o lançamento é:

A.80;

B.130;

C.170;

D.230.

34.

Seja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^3\operatorname{sen}(3x^2)$ . A função derivada de $f$ é?

3x^2\operatorname{sen}(3x^2)\cos(3x^2)

;

3x^2\cos(3x^2)

;

3x^2\operatorname{sen}(3x^2)+x^3\cos(3x^2)

;

3x^2\operatorname{sen}(3x^2)+6x^4\cos(3x^2)

35.

Na figura ao lado, a recta $y=\dfrac14x+b$ é tangente ao gráfico $y=\sqrt{x}$ . Os valores de $a$ e $b$ são respectivamente.

4

1

;

1

2

;

1

4

;

2

4

36.

Numa reunião após terem se cumprimentado uma vez cada um, verificou-se que foram trocados $45$ cumprimentos. O número de pessoas presentes é:

45

;

C_2^{45}

;

10

;

9

37.

Com $5$ homens e $5$ mulheres, de quantos modos se pode formar um casal?

5

;

10

;

20

;

25

38.

Para vencer um jogo de dados Cristina deveria ao lançar um dado obter um número par. Qual é a "chance" disso acontecer?

\dfrac16

;

\dfrac36

;

\dfrac46

;

\dfrac66

Respostas

Matemática 2014 · UP e associadas · admitela.com

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/up/matematica-2014/

Solução da questão 1

Resposta

\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}

;

Resolução

Multiplica-se por

\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5

: o denominador fica

(\sqrt2+\sqrt3)^2-5=5+2\sqrt6-5=2\sqrt6

Multiplica-se agora por

\sqrt6

\dfrac{(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\sqrt6}{12}=\dfrac{2\sqrt3+3\sqrt2-\sqrt{30}}{12}

Resposta: B

Erro comum. Achar que com três raízes não se racionaliza (alínea A): faz-se em dois passos, agrupando duas delas.

Solução da questão 2

Resposta

C.tem exactamente uma raiz real para

a=\pm2

;

Resolução

\Delta=a^2-4

. Há uma só raiz real (dupla) quando

\Delta=0

, isto é,

a=\pm2

Para

|a|<2

, por exemplo

a=0

\Delta<0

e não há raízes reais; por isso A, B e D falham.

Resposta: C

Erro comum. Escolher a D: com $a=0$ fica $x^2+1$ , que não tem raízes reais.

Solução da questão 3

Resposta

D.2.

Resolução

Pelo teorema do resto, o resto da divisão por

x+2

é o valor do polinómio em

x=-2

(-2)^3-4\cdot(-2)+2=-8+8+2=2

Resposta: D

Erro comum. Trocar um sinal em $(-2)^3$ ou em $-4\cdot(-2)$ ; convém escrever cada potência de $-2$ entre parênteses.

Solução da questão 4

Resposta

a\neq 1

b\in\mathbb{R}

;

Resolução

O sistema é possível e determinado quando o determinante dos coeficientes não é nulo.

\begin{vmatrix} a&-1&1\\ 1&-1&0\\ 1&-a&1\end{vmatrix}=-a+1+(1-a)=2-2a

, que só se anula para

a=1

Então

a\neq1

, e

b

, que só está nos termos independentes, pode ser qualquer real.

Resposta: B

Erro comum. Impor uma condição a $b$ : os termos independentes não entram no determinante.

Solução da questão 5

Resposta

A.54;

Resolução

Para

600

km são precisos

\dfrac{600}{25}\cdot3=24\cdot3=72

litros.

Custo:

72\cdot0{,}75=54

reais.

Resposta: A

Erro comum. Responder 72, que é o número de litros e não o preço.

Solução da questão 6

Resposta

B.Pedro;

Resolução

Mário («foi o Carlos») e Carlos («foi o Pedro») não podem ter os dois razão, por isso o único mentiroso é um deles; Benjamim e Pedro dizem a verdade.

Pedro diz a verdade, logo o Mário não tem razão: quem mente é o Mário, e o Carlos diz a verdade.

Então foi o Pedro, o que confirma as frases do Benjamim e do Pedro.

Resposta: B

Erro comum. Responder Mário, que é quem mente, e não quem entrou sem pagar.

Solução da questão 7

Resposta

(x+y)^2

;

Resolução

\dfrac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2

; B)

x^2+y^2

; C)

x^2+2xy+y^2

; D)

x^2+xy+y^2

Todas partem de

x^2+y^2

; como

xy>0

, a maior é a que soma

2xy

Resposta: C

Erro comum. Achar que a A é a maior por ter cubos: dividida por $x+y$ , é a menor das quatro.

Solução da questão 8

Resposta

x=1

;

Resolução

Só faz sentido para

x>0

. Com

t=\sqrt x>0

t+\dfrac1t\le2 \iff t^2-2t+1\le0 \iff (t-1)^2\le0

Um quadrado só é

\le0

quando é

0

t=1

, isto é,

x=1

Resposta: B

Erro comum. Escolher a A, que inclui valores negativos, onde $\sqrt x$ nem está definida.

Solução da questão 9

Resposta

D.124.

Resolução

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=64-30=34

x^2+6xy+y^2=34+6\cdot15=124

Resposta: D

Erro comum. Confundir a expressão com $(x+y)^2=64$ , que só tem $2xy$ .

Solução da questão 10

Resposta

-1

Resolução

Cada equação dá

a-b=\dfrac1a

b-c=\dfrac1b

c-a=\dfrac1c

. Somando:

\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c=0

, isto é,

ab+bc+ca=0

; e somando as equações dadas,

a^2+b^2+c^2=3

Seja

S=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2

. De

(ab+bc+ca)^2=0

sai

S+2abc(a+b+c)=0

Com

bc=b^2-1

ca=c^2-1

ab=a^2-1

abc(a+b+c)=a^2(b^2-1)+b^2(c^2-1)+c^2(a^2-1)=S-3

. Então

S-3=-\dfrac S2

S=2

abc(a+b+c)=-1

Resposta: D

Erro comum. Responder $0$ por ser $ab+bc+ca=0$ : o que se anula é a soma dos produtos, não $abc(a+b+c)$ .

Solução da questão 11

Resposta

D.maior que

\dfrac{a}{b}

mas menor que

1

Resolução

Como

\dfrac ab<1

b>0

, tem-se

a<b

\dfrac{a+1}{b+1}-\dfrac ab=\dfrac{b-a}{b(b+1)}>0

, logo

\dfrac{a+1}{b+1}>\dfrac ab

a+1<b+1

dá

\dfrac{a+1}{b+1}<1

Resposta: D

Erro comum. Escolher a A: somar $1$ ao numerador e ao denominador não é somar $1$ à fracção.

Solução da questão 12

Resposta

80^\circ

Resolução

Seja

H

o pé da altura de

A

, em

BC

, e

P

o ponto onde a bissectriz de

\hat B

a corta. O triângulo

BPH

é rectângulo em

H

O ângulo agudo em

P

é o de

70^\circ

, logo

\dfrac{\hat B}{2}=90^\circ-70^\circ=20^\circ

\hat B=40^\circ

\hat A=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ

Resposta: D

Erro comum. Responder $40^\circ$ , que é o ângulo $\hat B$ e não o $\hat A$ .

Solução da questão 13

Resposta

70^\circ

;

Resolução

\hat B=180^\circ-80^\circ-40^\circ=60^\circ

As bissectrizes cortam-se em

I

; no triângulo

ABI

os ângulos em

A

e em

B

medem

40^\circ

30^\circ

, logo

A\hat IB=110^\circ

O ângulo agudo entre as bissectrizes é o suplementar:

180^\circ-110^\circ=70^\circ

Resposta: C

Erro comum. Usar os ângulos inteiros em vez das metades: $180^\circ-80^\circ-60^\circ=40^\circ$ .

Solução da questão 14

Resposta

150^\circ

30^\circ

;

Resolução

Na figura,

5x

está acima de

r

, à esquerda de

t

, e

x

está acima de

s

, à direita de

t

r

, o ângulo acima de

r

e à direita de

t

é correspondente de

x

e forma com

5x

um ângulo raso:

5x+x=180^\circ

x=30^\circ

5x=150^\circ

Resposta: B

Erro comum. Achar que os ângulos somam $90^\circ$ e escolher a A ( $75^\circ$ e $15^\circ$ ).

Solução da questão 15

Resposta

\dfrac{4}{3}

;

Resolução

Pelo teorema da bissectriz,

\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}

, logo

AC=2\,CD

No triângulo isósceles

ABD

\cos\hat B=\dfrac{BD/2}{AB}=\dfrac14

; como

A\hat DC=180^\circ-A\hat DB=180^\circ-\hat B

\cos A\hat DC=-\dfrac14

Lei dos co-senos em

ADC

, com

CD=d

4d^2=4+d^2-2\cdot2\cdot d\cdot\left(-\dfrac14\right)

, isto é,

3d^2-d-4=0

d=\dfrac43

Resposta: B

Erro comum. Usar $\cos A\hat DC=+\dfrac14$ : o ângulo $ADC$ é o suplementar de $ADB$ , por isso o co-seno muda de sinal.

Solução da questão 16

Resposta

\dfrac{2}{3}

;

Resolução

Cada lado de

ABC

fica dividido em três partes iguais: dois lados de pontas da estrela (triângulos equiláteros) e um lado do hexágono regular.

Tome-se como unidade o triângulo equilátero com

\dfrac13

do lado de

ABC

: o hexágono tem

6

destes e

ABC

, que é o hexágono mais

3

pontas, tem

9

Razão:

\dfrac69=\dfrac23

Resposta: B

Erro comum. Contar as $6$ pontas da estrela em vez das $3$ que pertencem a $ABC$ .

Solução da questão 17

Resposta

6

Resolução

Na figura, as marcas dividem os lados maiores em

5

partes iguais, e cada triângulo sombreado tem a base no lado de baixo e o vértice no lado de cima.

As bases medem

1

3

1

partes e cobrem o lado de baixo todo; a altura de cada triângulo é a do rectângulo.

Área sombreada

=\dfrac{\text{base total}\cdot\text{altura}}{2}=\dfrac{12}{2}=6

Resposta: D

Erro comum. Medir as bases pelas marcas de cima: os vértices de cima só dão a altura, que é sempre a do rectângulo.

Solução da questão 18

Resposta

y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}

Resolução

R

tem declive

2

; a perpendicular tem declive

-\dfrac12

Por

(5,0)

y=-\dfrac12(x-5)=-\dfrac12x+\dfrac52

Resposta: D

Erro comum. Trocar o sinal da ordenada na origem e escolher a A, que passa por $(-5,0)$ .

Solução da questão 19

Resposta

45\pi

;

Resolução

Área total:

2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)=48\pi

; com

r+h=8

vem

16\pi r=48\pi

r=3

h=5

V=\pi r^2h=\pi\cdot9\cdot5=45\pi\ \text{m}^3

Resposta: A

Erro comum. Trocar o raio e a altura ( $r=5$ , $h=3$ ) e obter $75\pi$ .

Solução da questão 20

Resposta

4\sqrt{6}

Resolução

Como

r\parallel s

e ambas são tangentes,

AC

é um diâmetro, perpendicular às duas rectas.

Tangentes tiradas do mesmo ponto são iguais:

|BE|=|BA|=3

|DE|=|DC|=8

, logo

|BD|=11

Entre

B

D

a distância horizontal é

8-3=5

e a vertical é o diâmetro

d

d^2=11^2-5^2=96

d=4\sqrt6

Resposta: D

Erro comum. Achar o raio, $2\sqrt6$ , e não o multiplicar por $2$ .

Solução da questão 21

Resposta

8

Resolução

A distância de

P

à circunferência é

|PA|=x

; então

|PC|=x+10

|PB|=1{,}5x

Potência do ponto

P

|PB|^2=|PA|\cdot|PC|

, isto é,

2{,}25x^2=x(x+10)

1{,}25x^2=10x

, logo

x=8

Resposta: B

Erro comum. Usar $|PC|=x+5$ (o raio) em vez de $x+10$ (o diâmetro).

Solução da questão 22

Resposta

3\sqrt{7}

;

Resolução

A altura cai no centro do quadrado; metade da diagonal da base é

\dfrac{18\sqrt2}{2}=9\sqrt2

h^2=15^2-(9\sqrt2)^2=225-162=63

h=3\sqrt7

Resposta: B

Erro comum. Usar metade do lado ( $9$ ) em vez de metade da diagonal: dá $h=12$ , que não está nas alternativas.

Solução da questão 23

Resposta

\sqrt5

;

Resolução

A recta escreve-se

2x-y+1=0

d=\dfrac{|2\cdot(-2)-2+1|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{5}{\sqrt5}=\sqrt5

Resposta: C

Erro comum. Escrever a recta como $2x+y+1=0$ e obter $\dfrac{1}{\sqrt5}$ .

Solução da questão 24

Resposta

2002

;

Resolução

Com

y=0

f(x)=x+f(0)=x+2

, para todo o

x

f(2000)=2002

Resposta: A

Erro comum. Fazer $x=0$ , que só dá $f(y)=f(y)$ , e concluir que $f$ é constante igual a $2$ .

Solução da questão 25

Resposta

0<x<1

x>5

Resolução

f(x)=x(x-1)(x-5)

, com zeros

0

1

5

Sinal: negativo para

x<0

, positivo em

]0;1[

, negativo em

]1;5[

e positivo para

x>5

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o factor $x$ e estudar só o sinal de $x^2-6x+5$ .

Solução da questão 26

Resposta

3

;

Resolução

A sequência repete-se de

8

8

termos:

1,2,3,4,5,4,3,2

2003=8\cdot250+3

, logo o

2003.^\circ

termo é o

3.^\circ

do bloco:

3

Resposta: C

Erro comum. Tomar o bloco como $1,2,3,4,5,4,3,2,1$ , com $9$ termos, contando o $1$ duas vezes.

Solução da questão 27

Resposta

y=-x^2-5x-9

Resolução

A rotação de

180^\circ

em torno da origem leva

(x,y)

(-x,-y)

Substituindo:

-y=(-x)^2-5(-x)+9

, isto é,

y=-x^2-5x-9

Resposta: D

Erro comum. Trocar só o sinal de $y$ (simetria em relação ao eixo $Ox$ ) e escolher a C.

Solução da questão 28

Resposta

[-1;0]

;

Resolução

Numa PA, o termo do meio é a média dos outros dois:

2(-5n)=(2+3n)+(1-4n)

-10n=3-n

n=-\dfrac13

, que pertence a

[-1;0]

Resposta: B

Erro comum. Errar o sinal ao passar $-n$ para o outro membro e obter $n=\dfrac13$ , na alínea C.

Solução da questão 29

Resposta

3\,008

;

Resolução

Seja

a_1=k

a_2=1

. Então

a_3=k+1

a_4=a_3+a_2=k+2

a_5=a_4+a_3=2k+3

2k+3=2005

k=1001

, logo

a_4=1003

a_6=a_5+a_4=2005+1003=3008

Resposta: B

Erro comum. Tomar o 1 como primeiro termo e não como segundo.

Solução da questão 30

Resposta

0

;

Resolução

2x^5e^{-x}=\dfrac{2x^5}{e^x}

, uma indeterminação

\dfrac{\infty}{\infty}

A exponencial cresce mais depressa do que qualquer potência:

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^5}{e^x}=0

, logo o limite é

0

Resposta: B

As alíneas A e D são iguais ( $+\infty$ ) no original; isso não afecta a resposta.

Erro comum. Ver $x^5\to+\infty$ e esquecer que $e^{-x}\to0$ mais depressa.

Solução da questão 31

Resposta

2e^x

Resolução

As funções iguais à própria derivada são da forma

f(x)=Ce^x

(2e^x)'=2e^x

; já

(e^{5x})'=5e^{5x}

(3x^2)'=6x

(\operatorname{sen}x)'=\cos x

Resposta: D

Erro comum. Escolher a C por ser uma exponencial: a derivada de $e^{5x}$ traz o factor $5$ .

Solução da questão 32

Resposta

y=-\dfrac12x+\ln(e^2\sqrt2)

;

Resolução

g(\ln2)=2

g'(x)=e^x

: a tangente em

A

tem declive

2

e a normal tem declive

-\dfrac12

y-2=-\dfrac12(x-\ln2)

, isto é,

y=-\dfrac12x+2+\dfrac12\ln2

Como

\ln(e^2\sqrt2)=2+\dfrac12\ln2

, é a equação da C.

Resposta: C

Erro comum. Usar o declive da tangente, $2$ , em vez do da normal, $-\dfrac12$ .

Solução da questão 33

Resposta

A.80;

Resolução

A velocidade é a derivada da altitude:

v(t)=h'(t)=100-10t

v(2)=100-20=80

m/s.

Resposta: A

Erro comum. Calcular a altitude $h(2)=180$ ou a velocidade média em vez da derivada.

Solução da questão 34

Resposta

3x^2\operatorname{sen}(3x^2)+6x^4\cos(3x^2)

Resolução

Derivada do produto:

f'(x)=3x^2\operatorname{sen}(3x^2)+x^3\left[\operatorname{sen}(3x^2)\right]'

Pela regra da cadeia,

\left[\operatorname{sen}(3x^2)\right]'=6x\cos(3x^2)

, logo

f'(x)=3x^2\operatorname{sen}(3x^2)+6x^4\cos(3x^2)

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o factor $6x$ da regra da cadeia e escolher a C.

Solução da questão 35

Resposta

4

1

;

Resolução

No ponto de tangência os declives são iguais:

(\sqrt x)'=\dfrac{1}{2\sqrt x}=\dfrac14

, logo

\sqrt a=2

a=4

O ponto

(4,\sqrt4)=(4,2)

está na recta:

2=\dfrac14\cdot4+b

b=1

Resposta: A

Erro comum. Trocar a ordem e escolher a C ( $1$ e $4$ ): pede-se primeiro $a$ e depois $b$ .

Solução da questão 36

Resposta

10

;

Resolução

Cada cumprimento é um par de pessoas:

C_2^n=\dfrac{n(n-1)}{2}=45

n(n-1)=90

, logo

n=10

Resposta: C

Erro comum. Escolher a B, $C_2^{45}$ , que contaria os pares de 45 pessoas.

Solução da questão 37

Resposta

25

Resolução

Para cada um dos

5

homens há

5

mulheres possíveis:

5\cdot5=25

Resposta: D

Erro comum. Somar ( $5+5=10$ ) em vez de multiplicar.

Solução da questão 38

Resposta

\dfrac36

;

Resolução

Um dado tem

6

faces e três são pares:

2

4

6

P=\dfrac36

Resposta: B

Erro comum. Contar só a face $6$ e responder $\dfrac16$ .