Matemática 2016

UP e associadas
35 questões
120 minutos
34 soluções

Universidade Pedagógica

Comissão de Exames de Admissão

Exame de Admissão (2016)

Prova de Matemática

A prova tem a duração de 120 minutos e contempla um total de 35 perguntas.
Leia atentamente a prova e responda na Folha de Respostas a todas as perguntas.
Para cada pergunta existem quatro alternativas de resposta. Só uma é que está correcta. Assinale apenas a alternativa correcta.
Para responder correctamente, basta marcar na alternativa escolhida como se indica na Folha de Respostas.
Para marcar use primeiro lápis de carvão do tipo HB. Apague completamente os erros usando uma borracha. Depois passe por cima esferográfica preta ou azul.
No fim da prova, entregue apenas a Folha de Respostas. Não será aceite qualquer folha adicional.
Não é permitido o uso de máquina de calcular ou telemóvel.
Lembre-se! Assinale correctamente o seu Código.

No parque de estacionamento em frente duma escola estão 17 veículos, entre bicicletas e automóveis. Contaram-se ao todo 56 rodas. Quantas bicicletas e quantos automóveis há no parque?

A.10 bicicletas e 7 automóveis;

B.11 bicicletas e 6 automóveis;

C.7 bicicletas e 10 automóveis;

D.11 automóveis e 6 bicicletas.

Quatro planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:

Plano	Custo fixo mensal (USD)	Custo adicional/minuto (USD)
$X$	35,00	0,50
$Y$	20,00	0,90
$Z$	0,00	1,80
$W$	15,00	1,50

O melhor plano para alguém que fale 100 minutos por mês é:

X

;

Y

;

Z

;

W

Sejam A e B dois bairros de uma cidade. O bairro A tem 1000 residências, sendo o consumo médio mensal de energia eléctrica por residência 250 kwh. Já o bairro B possui 1500 residências, sendo o consumo médio mensal por residência igual a 300 kwh. O consumo médio mensal de energia eléctrica por residência, considerando os dois bairros, A e B, é

A.275 kwh;

B.280 kwh;

C.287,5 kwh;

D.292,5 kwh.

Para se apurar o vencedor de um campeonato, o regulamento estipula que cada um deles enfrente todos os outros uma única vez. Sendo 10 o número de equipas, o número total dos jogos é:

A.105;

B.90;

C.45;

D.100.

Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números $1, 2, 3, \dots, 50$ . A probabilidade de ser primo é:

\frac{3}{10}

;

\frac{6}{25}

;

\frac{2}{5}

;

\frac{1}{5}

Dois indivíduos formaram uma empresa. O primeiro entrou com 1000 milhões de meticais e o segundo com 600 milhões. Para dividir o lucro de 112 milhões em proporção das entradas cada um teve respectivamente direito a.

A.70 milhões e 42 milhões;

B.75 milhões e 42 milhões;

C.80 milhões e 40 milhões;

D.82 milhões e 40 milhões.

Racionalizando o denominador da fracção $\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$ , obtêm-se:

A.Não é possível;

\frac{2\sqrt3+3\sqrt2-\sqrt{30}}{12}

;

\frac{\sqrt5+\sqrt2+4\sqrt3}{7}

;

\frac{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}{5}

Os valores de $x$ que dão sentido à expressão $\frac{\sqrt{1-x}}{2-|x+2|}$ , $x\in R$ , são:

[1;+\infty[

;

R\setminus\{-2\}

;

]0;1]

;

]-\infty;-4[\ \cup\ ]-4;0[\ \cup\ ]0;1]

O polinómio $x^2-ax+1$

A.tem sempre duas raízes reais, qualquer que seja o valor de

a

;

B.tem sempre uma raiz real, qualquer que seja o valor de

a

;

C.tem exactamente uma raiz real para

a=\pm2

;

D.tem exactamente uma raiz real para

a=0

10.

O valor de $n$ que torna a sequência $2+3n,\ -5n,\ 1-4n$ uma Progressão Aritmética pertence ao intervalo:

[-2;-1]

;

[-1;0]

;

[0;1]

;

[2;3]

11.

O resto da divisão de $x^3-4x+2$ por $x+2$ é:

-3

;

-2

;

C.1;

D.2.

12.

Para que o seguinte sistema seja possível e determinado $\begin{cases} ax-y+z=0 \\ x-y=1 \\ x-ay+z=b \end{cases}$ , então:

a=b=1

;

a\neq1,\ b\in R

;

a\in R,\ b=1

;

a\neq b

13.

Observe esta sequência de figuras ao lado.

A figura a seguir será:

14.

A solução da inequação $x^2-9\le0$ é:

x\in[-3,3]

;

x_1=3\ \vee\ x_2=-3

;

x\le\pm3

;

x\in\,]-\infty,-3[\ \cup\ ]3,+\infty[

15.

A equação $\sqrt{3\sqrt3}=\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^x$ , tem como solução:

x=\frac13

;

x=-\frac32

;

x=\sqrt3

;

x=7

16.

A equação da recta tangente à função $f(x)=x+\frac{1}{x}$ , no ponto $(1,2)$ é:

y=x^2+1

;

y=2

;

y=4x+3

;

y=2x-1

17.

Considere o gráfico de $f(x)$ ao lado. A inequação $f(x)>-2$ tem solução:

x<-2

;

x<1

;

-1<x<2

;

x>-1\ \wedge\ x\neq2

18.

O valor de $k$ para o qual a função $y=x^2-5x+k$ , admite mínimo $-\frac14$ é:

k=2

;

k=-3

;

k=-25

;

k=6

19.

O domínio da função $f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{se } x\le-1\\ x^2 & \text{se } x>-1\end{cases}$ é:

[2,+\infty[

;

]-2,0[

;

]-\infty,+\infty[

;

0\le x<2

20.

Dada a função $f(x)=\frac{x-3}{x-2}$ , o $\lim_{x\to2^+}f(x)$ é:

A.0;

B.1;

-\infty

;

-1

21.

Considere a função $f:R\to R$ , $f(\alpha)=4\cos(\alpha)+3\operatorname{sen}(\alpha)-1$ . A derivada da função $f$ tem fórmula:

f'(\alpha)=4\operatorname{sen}(\alpha)-3\cos(\alpha)-1

;

f'(\alpha)=4\operatorname{sen}(\alpha)-3\cos(\alpha)

;

f'(\alpha)=-4\operatorname{sen}(\alpha)+3\cos(\alpha)

;

f'(\alpha)=-4\operatorname{sen}(\alpha)+3\cos(\alpha)-1

22.

O valor máximo da função $f:R\to R$ , $f(\alpha)=4\cos(\alpha)+3\,\mathrm{sen}(\alpha)-1$ , ou seja, o maior valor das imagens $f(\alpha)$ é igual a:

A.5;

B.4;

C.3;

D.2.

23.

O valor de $\lim_{x\to0^+}x\ln x$ é:

A.0;

B.1;

e^3

;

\ln3

24.

Na figura abaixo, a recta $y=\frac14x+b$ é tangente ao gráfico $y=\sqrt{x}$ . Os valores de $a$ e $b$ são respectivamente.

A.4 e 1;

B.1 e 2;

C.1 e 4;

D.2 e 4;

25.

Um projéctil é lançado verticalmente de baixo para cima. Admita que sua altitude $h$ em metros, $t$ segundos após ter sido lançado, é dada pela expressão $h(t)=100t-5t^2$ . A velocidade (em metros por segundo) do projéctil dois segundos após o lançamento é:

A.80;

B.130;

C.170;

D.230.

26.

Tomando $\sqrt3=1{,}7$ a área do triângulo da figura ao lado é igual a

A.1,15;

B.1,30;

C.1,35;

D.1,25.

27.

Considere no plano $xy$ as rectas $y=1$ , $y=2x-5$ e $x-2y+5=0$ . As coordenadas dos vértices do triângulo formado por essas rectas são:

(3;1),\ (-3;1),\ (5;5)

;

(1;3),\ (5;6),\ (-2;3)

;

(0;-3),\ \left(\frac13;7\right),\ \left(2;\frac15\right)

;

(5;2),\ (-1;7),\ \left(\frac12;3\right)

28.

Um círculo de raio $r$ está inscrito em um triângulo $ABC$ . Se $AC=6\,cm$ , $AB=10\,cm$ e $BC=12\,cm$ . Então, a área da região interior ao triângulo e exterior ao círculo é igual a:

\frac{8(7\sqrt{14}+4\pi)}{7}\,cm^2

;

\frac{8(7\sqrt{14}-4\pi)}{7}\,cm^2

;

\frac{32\pi}{7}\,cm^2

;

\frac{8(7\sqrt{14}-5\pi)}{7}\,cm^2

29.

A distância do ponto $P(-2;3)$ à recta de equação $y=2x+7$ é:

A.0;

\frac32

;

\frac{6}{\sqrt{13}}

;

-\frac32

30.

Um círculo de raio $2\cdot\sqrt2$ tem o seu centro numa circunferência de raio 2, veja figura: a circunferência grande tem raio $2\sqrt2$ e a circunferência menor tem raio 2.

Qual é a área pintada da parte do menor círculo que está fora do grande círculo?

2\pi

;

\sqrt2\cdot\pi

;

\frac54\pi

;

D.4.

31.

Considere o rectângulo ao lado. Uma expressão para a área total deste rectângulo em função de $x$ é:

2x^2+7x+6

;

2x^2+6

;

2x+3+x+2

;

2x^2+5x+6

32.

Os pontos $L$ , $M$ e $N$ são pontos médios de arestas do cubo, como mostra a figura ao lado. Quanto mede o ângulo $LMN$ ?

90^\circ

;

105^\circ

;

120^\circ

;

135^\circ

33.

Na figura ao lado, a recta $PQ$ toca em $N$ o círculo que passa por $L$ , $M$ e $N$ . A recta $LM$ corta a recta $PQ$ em $R$ . Se $LM=LN$ e a medida do ângulo $PNL$ é $\alpha$ , $\alpha>60^\circ$ , quanto mede o ângulo $LRP$ ?

3\alpha-180^\circ

;

180^\circ-2\alpha

;

180^\circ-\alpha

;

90^\circ-\alpha/2

34.

Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura ao lado.

Qual a medida do ângulo $x$ ?

39^\circ

;

41^\circ

;

44^\circ

;

46^\circ

35.

O quadrilátero $ABCD$ é um quadrado de área $4\,m^2$ . Os pontos $M$ e $N$ estão no meio dos lados a que pertencem. Podemos afirmar que a área do triângulo em destaque é, em $m^2$ ,

A.1,5;

B.2;

C.2,5;

D.3.

Respostas

Matemática 2016 · UP e associadas · admitela.com

1D
2A
3B
4C
5A
6A
7—
8D
9C
10B
11D
12B
13A
14A
15B
16B
17D
18D
19C
20C
21C
22B
23A
24A
25A
26C
27A
28B
29A
30D
31A
32C
33A
34A
35A

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/up/matematica-2016/

Solução da questão 1

Resposta

D.11 automóveis e 6 bicicletas.

Resolução

Sejam

b

as bicicletas e

a

os automóveis:

a+b=17

2b+4a=56

Dividindo a 2.ª por 2,

b+2a=28

; subtraindo a 1.ª,

a=11

b=6

São 6 bicicletas e 11 automóveis. Resposta: D

Erro comum. Trocar as quantidades e escolher B: 11 bicicletas e 6 automóveis dão só 46 rodas.

Solução da questão 2

Resposta

X

;

Resolução

Custo de 100 minutos = custo fixo +

100\times

custo por minuto.

X

35+50=85

;

Y

20+90=110

;

Z

0+180=180

;

W

15+150=165

USD.

O mais barato é o

X

. Resposta: A

Erro comum. Escolher $Z$ por não ter custo fixo, sem contar o preço por minuto.

Solução da questão 3

Resposta

B.280 kwh;

Resolução

Consumo total:

1000\cdot250+1500\cdot300=250\,000+450\,000=700\,000

kWh.

Por residência:

\dfrac{700\,000}{2500}=280

kWh. Resposta: B

Erro comum. Fazer a média simples $\frac{250+300}{2}=275$ , sem pesar o número de residências de cada bairro.

Solução da questão 4

Resposta

C.45;

Resolução

Cada jogo é um par de equipas, sem ordem:

C_{10}^{2}=\dfrac{10\cdot9}{2}=45

Resposta: C

Erro comum. Contar $10\cdot9=90$ , o que conta cada jogo duas vezes.

Solução da questão 5

Resposta

\frac{3}{10}

;

Resolução

Primos até 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, que são 15.

P=\dfrac{15}{50}=\dfrac{3}{10}

. Resposta: A

Erro comum. Esquecer o 2, que é primo, ou contar o 1, que não é.

Solução da questão 6

Resposta

A.70 milhões e 42 milhões;

Resolução

As entradas estão na razão

1000:600=5:3

, num total de 8 partes.

Cada parte vale

\dfrac{112}{8}=14

milhões:

5\cdot14=70

3\cdot14=42

milhões.

Resposta: A

Erro comum. Escolher B sem conferir que $75+42=117$ , e não 112.

Solução da questão 8

Resposta

]-\infty;-4[\ \cup\ ]-4;0[\ \cup\ ]0;1]

Resolução

O radicando não pode ser negativo:

1-x\ge0\Rightarrow x\le1

O denominador não se anula:

|x+2|\ne2

, isto é,

x\ne0

x\ne-4

x\in\,]-\infty;-4[\,\cup\,]-4;0[\,\cup\,]0;1]

. Resposta: D

Erro comum. Resolver só $x+2=2$ e esquecer que $|x+2|=2$ também dá $x=-4$ .

Solução da questão 9

Resposta

C.tem exactamente uma raiz real para

a=\pm2

;

Resolução

\Delta=a^2-4

Há uma só raiz real (dupla) quando

\Delta=0

, isto é,

a=\pm2

; para

-2<a<2

não há raízes reais.

Resposta: C

Erro comum. Escolher D: com $a=0$ fica $x^2+1$ , que não tem raízes reais.

Solução da questão 10

Resposta

[-1;0]

;

Resolução

Numa PA, o termo do meio é a média dos vizinhos:

2(-5n)=(2+3n)+(1-4n)

-10n=3-n\Rightarrow n=-\dfrac13

, que está em

[-1;0]

. Resposta: B

Erro comum. Errar um sinal e obter $n=\frac13$ , escolhendo C.

Solução da questão 11

Resposta

D.2.

Resolução

Pelo teorema do resto, o resto da divisão por

x+2

P(-2)

P(-2)=(-2)^3-4(-2)+2=-8+8+2=2

. Resposta: D

Erro comum. Errar o sinal de $-4x$ com $x=-2$ e obter $-8-8+2=-14$ .

Solução da questão 12

Resposta

a\neq1,\ b\in R

;

Resolução

O sistema é possível e determinado quando o determinante dos coeficientes não é zero.

\begin{vmatrix}a&-1&1\\1&-1&0\\1&-a&1\end{vmatrix}=a(-1)+1\cdot1+(-a+1)=2-2a

2-2a\ne0\iff a\ne1

, qualquer que seja

b

. Resposta: B

Erro comum. Pensar que $b$ também tem de ser fixado: $b$ só está nos termos independentes e não entra no determinante.

Solução da questão 13

Resposta

Resolução

De um quadro para o seguinte, o desenho roda

90^\circ

no sentido dos ponteiros do relógio: o círculo passa de cima à direita para baixo à direita e depois para baixo à esquerda; o quadrado, de baixo à esquerda para cima à esquerda e depois para cima à direita.

No 4.º quadro, o círculo fica em cima à esquerda e o quadrado em baixo à direita.

O quadrado alterna entre cheio e vazio (cheio, vazio, cheio): agora é vazio. Resposta: A

Erro comum. Achar que a sequência recomeça e escolher D, que repete o 1.º quadro.

Solução da questão 14

Resposta

x\in[-3,3]

;

Resolução

x^2-9=(x-3)(x+3)

: a parábola abre para cima e fica abaixo do eixo entre os zeros

-3

3

-3\le x\le3

, isto é,

x\in[-3,3]

. Resposta: A

Erro comum. Escrever $x\le\pm3$ (C), como numa equação, em vez de um intervalo.

Solução da questão 15

Resposta

x=-\frac32

;

Resolução

\sqrt{3\sqrt3}=\left(3^{\frac32}\right)^{\frac12}=3^{\frac34}

\left(\dfrac1{\sqrt3}\right)^x=3^{-\frac x2}

-\dfrac x2=\dfrac34\Rightarrow x=-\dfrac32

. Resposta: B

Erro comum. Esquecer que $\frac1{\sqrt3}=3^{-\frac12}$ tem expoente negativo e obter $x=\frac32$ .

Solução da questão 16

Resposta

y=2

;

Resolução

f'(x)=1-\dfrac1{x^2}

, logo o declive em

x=1

f'(1)=0

A tangente é horizontal e passa por

(1,2)

y=2

. Resposta: B

Erro comum. Derivar $\frac1x$ como $+\frac1{x^2}$ e obter declive 2 em vez de 0.

Solução da questão 17

Resposta

x>-1\ \wedge\ x\neq2

Resolução

Pela grelha, o gráfico passa por

(-1,-2)

e tem um mínimo em

(2,-2)

f(x)>-2

onde o gráfico está acima da recta

y=-2

: à direita de

x=-1

, excepto em

x=2

, onde só a toca.

x>-1\ \wedge\ x\ne2

. Resposta: D

Erro comum. Esquecer que em $x=2$ a função vale $-2$ , que não é maior do que $-2$ .

Solução da questão 18

Resposta

k=6

Resolução

O mínimo está no vértice,

x=\dfrac52

y=\dfrac{25}4-\dfrac{25}2+k=k-\dfrac{25}4

k-\dfrac{25}4=-\dfrac14\Rightarrow k=\dfrac{24}4=6

. Resposta: D

Erro comum. Impor $\Delta=0$ , como se o mínimo fosse 0, e obter $k=\frac{25}4$ .

Solução da questão 19

Resposta

]-\infty,+\infty[

;

Resolução

O 1.º ramo vale para

x\le-1

e o 2.º para

x>-1

;

x+2

x^2

existem para qualquer real.

Juntos cobrem todos os reais:

D_f=\,]-\infty,+\infty[

. Resposta: C

Erro comum. Confundir o domínio com o contradomínio, os valores que a função toma.

Solução da questão 20

Resposta

-\infty

;

Resolução

Quando

x\to2^+

, o numerador tende para

2-3=-1

e o denominador

x-2

tende para 0 por valores positivos.

\dfrac{-1}{0^+}=-\infty

. Resposta: C

Erro comum. Confundir com o limite no infinito, que é 1 (B).

Solução da questão 21

Resposta

f'(\alpha)=-4\operatorname{sen}(\alpha)+3\cos(\alpha)

;

Resolução

(\cos\alpha)'=-\operatorname{sen}\alpha

(\operatorname{sen}\alpha)'=\cos\alpha

e a derivada da constante

-1

é 0.

f'(\alpha)=-4\operatorname{sen}\alpha+3\cos\alpha

. Resposta: C

Erro comum. Manter o $-1$ na derivada (D) ou trocar o sinal da derivada do cosseno (B).

Solução da questão 22

Resposta

B.4;

Resolução

4\cos\alpha+3\operatorname{sen}\alpha=5\cos(\alpha-\varphi)

, com

5=\sqrt{4^2+3^2}

: varia entre

-5

5

O máximo de

f

5-1=4

. Resposta: B

Erro comum. Esquecer o $-1$ e responder 5 (A).

Solução da questão 23

Resposta

A.0;

Resolução

x\ln x=\dfrac{\ln x}{1/x}

, da forma

\dfrac{-\infty}{+\infty}

quando

x\to0^+

Pela regra de L'Hôpital:

\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0

. Resposta: A

Erro comum. Achar que $\ln x\to-\infty$ arrasta o produto para $-\infty$ : o factor $x$ vai para 0 mais depressa.

Solução da questão 24

Resposta

A.4 e 1;

Resolução

Pela figura,

a

é a abcissa do ponto de tangência. Aí o declive de

y=\sqrt x

\frac14

\dfrac1{2\sqrt x}=\dfrac14\Rightarrow\sqrt x=2\Rightarrow a=4

O ponto de tangência é

(4,2)

2=\dfrac14\cdot4+b\Rightarrow b=1

a=4

b=1

. Resposta: A

Erro comum. Trocar a ordem pedida e escolher C (1 e 4).

Solução da questão 25

Resposta

A.80;

Resolução

A velocidade é a derivada da altitude:

v(t)=h'(t)=100-10t

v(2)=100-20=80

m/s. Resposta: A

Erro comum. Calcular a altitude $h(2)=180$ m em vez da velocidade.

Solução da questão 26

Resposta

C.1,35;

Resolução

A tracejado está a altura

h

tirada do vértice da direita da base:

h=2\operatorname{sen}30^\circ=1

O pé da altura divide o lado maior em

2\cos30^\circ=\sqrt3

e, no triângulo com o ângulo de

45^\circ

, em

h=1

O lado maior mede

\sqrt3+1=2{,}7

e a área é

\dfrac{2{,}7\cdot1}{2}=1{,}35

. Resposta: C

Erro comum. Tratar o triângulo como rectângulo, quando o ângulo da direita da base mede $105^\circ$ .

Solução da questão 27

Resposta

(3;1),\ (-3;1),\ (5;5)

;

Resolução

y=1

com

y=2x-5

x=3

, vértice

(3;1)

y=1

com

x-2y+5=0

x=-3

, vértice

(-3;1)

y=2x-5

com

x-2y+5=0

x-4x+10+5=0\Rightarrow x=5

y=5

, vértice

(5;5)

Resposta: A

Erro comum. Trocar a ordem das coordenadas e escrever $(1;3)$ em vez de $(3;1)$ , como na B.

Solução da questão 28

Resposta

\frac{8(7\sqrt{14}-4\pi)}{7}\,cm^2

;

Resolução

Semiperímetro

p=\dfrac{6+10+12}{2}=14

; pela fórmula de Heron,

S=\sqrt{14\cdot8\cdot4\cdot2}=\sqrt{896}=8\sqrt{14}

Raio do círculo inscrito:

r=\dfrac Sp=\dfrac{4\sqrt{14}}7

, logo a área do círculo é

\pi r^2=\dfrac{224\pi}{49}=\dfrac{32\pi}7

8\sqrt{14}-\dfrac{32\pi}7=\dfrac{8(7\sqrt{14}-4\pi)}7\ \text{cm}^2

. Resposta: B

Erro comum. Somar a área do círculo à do triângulo (A) ou dar só a área do círculo (C).

Solução da questão 29

Resposta

A.0;

Resolução

Na forma geral, a recta é

2x-y+7=0

d=\dfrac{|2(-2)-3+7|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac0{\sqrt5}=0

: o ponto

P

está sobre a recta. Resposta: A

Erro comum. Escolher D: uma distância nunca é negativa.

Solução da questão 30

Resposta

D.4.

Resolução

O centro

O

do círculo grande está na circunferência pequena, de centro

C

OC=2

. Num ponto de intersecção

P

CP=2

OP=2\sqrt2

, e

OC^2+CP^2=8=OP^2

: o ângulo em

C

é recto.

Os dois pontos de intersecção são, por isso, as pontas de um diâmetro do círculo pequeno, e de

O

vêem-se sob um ângulo de

90^\circ

Segmento do círculo grande para lá desse diâmetro:

\dfrac14\pi(2\sqrt2)^2-\dfrac{(2\sqrt2)^2}{2}=2\pi-4

Área pintada

=

meio círculo pequeno

-

segmento

=2\pi-(2\pi-4)=4

. Resposta: D

Erro comum. Ficar pelo meio círculo pequeno, $2\pi$ (A), sem descontar o segmento do círculo grande.

Solução da questão 31

Resposta

2x^2+7x+6

;

Resolução

Os lados do rectângulo medem

2x+3

x+2

(2x+3)(x+2)=2x^2+4x+3x+6=2x^2+7x+6

. Resposta: A

Erro comum. Somar só as áreas de A e D, $2x^2+6$ (B), e esquecer as de B e C.

Solução da questão 32

Resposta

120^\circ

;

Resolução

Cubo de aresta 2 com a face da frente em

z=0

L=(1,0,0)

M=(2,1,0)

N=(2,2,1)

\vec{ML}=(-1,-1,0)

\vec{MN}=(0,1,1)

: o produto escalar é

-1

e os dois medem

\sqrt2

\cos L\hat MN=\dfrac{-1}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=-\dfrac12

, logo o ângulo mede

120^\circ

. Resposta: C

Erro comum. Supor um ângulo recto só porque as arestas do cubo são perpendiculares.

Solução da questão 33

Resposta

3\alpha-180^\circ

;

Resolução

Pelo ângulo entre a tangente e a corda,

L\hat MN=P\hat NL=\alpha

. Como

LM=LN

, também

L\hat NM=\alpha

N

, sobre a recta

PQ

M\hat NR=180^\circ-2\alpha

. Em

M

N\hat MR=180^\circ-\alpha

No triângulo

MNR

L\hat RP=180^\circ-(180^\circ-\alpha)-(180^\circ-2\alpha)=3\alpha-180^\circ

. Resposta: A

Erro comum. Escolher B, que é o ângulo $M\hat NR$ , em $N$ , e não o ângulo em $R$ .

Solução da questão 34

Resposta

39^\circ

;

Resolução

O lado que sai do bastão da esquerda faz

30^\circ

com ele, logo

60^\circ

com a horizontal; o lado seguinte do 1.º quadrado, perpendicular, sobe

30^\circ

No vértice de

126^\circ

, o 2.º quadrado desce

180^\circ-30^\circ-126^\circ=24^\circ

e o seu lado seguinte sobe

90^\circ-24^\circ=66^\circ

No vértice de

75^\circ

, o 3.º quadrado desce

180^\circ-66^\circ-75^\circ=39^\circ

e o lado seguinte sobe

90^\circ-39^\circ=51^\circ

Com o bastão vertical, esse lado faz

x=90^\circ-51^\circ=39^\circ

. Resposta: A

Erro comum. Esquecer que os lados consecutivos de um quadrado são perpendiculares e perder o rasto das inclinações.

Solução da questão 35

Resposta

A.1,5;

Resolução

O lado do quadrado mede 2 m;

M

N

ficam a 1 m de

D

, de

C

e de

B

Tiram-se ao quadrado os três triângulos brancos:

[ADM]=\frac{2\cdot1}2=1

[MCN]=\frac{1\cdot1}2=0{,}5

[ABN]=\frac{2\cdot1}2=1

Área em destaque

=4-1-0{,}5-1=1{,}5\ \text{m}^2

. Resposta: A

Erro comum. Tomar o lado do quadrado como 4 m, confundindo-o com a área.