Matemática 2018

UP e associadas
35 questões
120 minutos
35 soluções

Universidade Pedagógica

Comissão de Exames de Admissão

Exame de Admissão (2018)

Prova de Matemática

A prova tem a duração de 120 minutos e contempla um total de 35 perguntas.
Leia atentamente a prova e responda na Folha de Respostas a todas as perguntas.
Para cada pergunta existem quatro alternativas de resposta. Só uma é que está correcta. Assinale apenas a alternativa correcta.
Para responder correctamente, basta marcar na alternativa escolhida como se indica na Folha de Respostas.
Para marcar use primeiro lápis de carvão do tipo HB. Apague completamente os erros usando uma borracha. Depois passe por cima esferográfica preta ou azul.
No fim da prova, entregue apenas a Folha de Respostas. Não será aceite qualquer folha adicional.
Não é permitido o uso de máquina de calcular ou telemóvel.
Lembre-se! Assinale correctamente o seu Código.

Três camisas e cinco gravatas custam 4.600,00 Mt, duas camisas e três gravatas custam 3.000,00 Mt. Cinco camisas e sete gravatas custam:

A.6.900,00 Mt

B.7.400,00 Mt

C.8.200,00 Mt

D.9.100,00 Mt

Num campo de futebol, o comprimento excede a largura em 50 $cm$ . O perímetro de meio campo é 230 $cm$ . As dimensões do campo de futebol são:

60 \times 110

70 \times 120

80 \times 130

90 \times 140

A racionalização da expressão $\dfrac{\left(\frac{y}{x}\right)^{-\frac{1}{2}}+\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{2}}}{\left(\frac{y}{x}\right)^{-\frac{1}{2}}-\left(\frac{x}{y}\right)^{-\frac{1}{2}}}$ é:

\frac{x-y}{x+y}

\frac{y-x}{y+x}

\frac{x+y}{y-x}

\frac{y+x}{x-y}

A simplificação da expressão $\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2+2x+1}$ é:

\frac{x^2+1}{x+1}

\frac{x+1}{x-2}

\frac{x^2-1}{x+1}

\frac{x+1}{x+2}

As soluções da equação $\frac{1}{4-x}-\frac{1}{2+x}=\frac{1}{4}$ são:

-8

-2

-8

2

-8

-2

-8

2

A solução da inequação $\log_{\frac{1}{2}}(x^2-6)<\log_{\frac{1}{2}}(-x)$ é:

x<-3

x<-3 \wedge x>2

x<-3 \vee x>2

\{\}

O domínio de existência de $f(x)=|x|+2$ é:

\begin{cases}x+2 & \text{se } x\le0\\ -x+2 & \text{se } x>0\end{cases}

\begin{cases}x+2 & \text{se } x\ge0\\ -x+2 & \text{se } x<0\end{cases}

\begin{cases}x+2 & \text{se } x\le-2\\ -x+2 & \text{se } x>2\end{cases}

\begin{cases}x+2 & \text{se } x\ge-2\\ -x+2 & \text{se } x<-2\end{cases}

Qual é a simplificação da proposição $(a\Rightarrow\sim b)\vee\sim c$ :

\sim(a\wedge b)\vee\sim c

\sim(a\wedge b)\vee c

\sim a\vee b\wedge\sim c

a\vee b\wedge\sim c

A negação da proposição $\forall x\in\mathbb{Z}: x+1\le x$ é

\exists x\notin\mathbb{Z}: x+1>x

\exists x\notin\mathbb{Z}: x+1>x

\exists x\in\mathbb{Z}: x+1>x

\exists x\in\mathbb{Z}: x+1\ge x

10.

Sendo $p\Rightarrow q$ uma proposição falsa, quais são os valores lógicos das proposições: i) $\sim p\wedge q$ e ii) $\sim p\Leftrightarrow(\sim p\vee q)$ :

A.As duas falsas

B.As duas verdadeiras

C.i) Falsa e ii) Verdadeira

D.i) Verdadeira e ii) Falsa

11.

O quociente da divisão do polinómio $P(x)=x^3+x^2+x+1$ por $x+1$ é:

x^2-1

x^2+1

x^2+x-1

x^2+x+1

12.

O valor numérico do determinante $\begin{vmatrix}3&1&1\\0&-1&2\\-3&-1&-1\end{vmatrix}$ é:

-2

-1

0

1

13.

A ordenada na origem da recta que passa pelos pontos $A(1,\ 2)$ e $B(2,\ -1)$ é:

-1

-3

1

3

14.

O coeficiente angular da recta tangente a curva $f(x)=x^3+2x$ no ponto $x=1$ é:

A.-5

B.-1

C.1

D.5

15.

Qual é a medida do ângulo $\alpha$ no triângulo?

20{,}75^\circ

21{,}75^\circ

23{,}75^\circ

25{,}75^\circ

16.

Um paralelogramo cujos ângulos agudos medem $45°$ tem como comprimento dos lados 40 $cm$ (base) e 18 $cm$ . Qual é a área do paralelogramo?

5\ cm^2

5{,}08\ cm^2

6\ cm^2

6{,}08\ cm^2

17.

Numa prova de natação vão participar 7 nadadores, que disputam as medalhas de ouro, prata e bronze. De quantas formas diferentes se podem repartir estes 3 prémios? ( Não se admite repetição)

A.35

B.45

C.200

D.210

18.

De 10 operários vão ser escolhidos 5 para irem trabalhar para uma obra. Quantos grupos diferentes se podem formar:

A.252

B.262

C.30420

D.30240

19.

O período da função $g(x)=-2\cos(3x-\pi)+1$ é:

2\pi

\frac{3}{2}\pi

\frac{2}{3}\pi

\pi

20.

O contradomínio da função $g(x)=-2\cos(3x-\pi)+1$ é:

-1\le y\le3

-3\le y\le-1

-3\le y\le1

1\le y\le3

21.

A expressão $\frac{\cos270^\circ-\operatorname{sen}330^\circ}{-\operatorname{tg}315^\circ}$ é igual a:

-1

-\frac12

0

\frac12

22.

A solução da inequação $\operatorname{tg}x>1$ é:

-\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}

\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}

-\frac{\pi}{4}+2\pi k<x<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}

\frac{\pi}{4}+2\pi k<x<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}

23.

A soma dos 10 termos consecutivos da sucessão 2, 5, 8, 11.... é:

A.135

B.145

C.155

D.165

24.

A sequência $x^2,(x+2)^2,(x+3)^2$ é uma progressão aritmética. A sequência correspondente é:

1,9,17

\frac12,\frac{25}{2},\frac{49}{2}

4,16,25

\frac14,\frac{25}{4},\frac{49}{4}

25.

O valor de $\lim_{n\to\infty}\frac{(6n-5)^2\cdot(n+2)^3}{(n^2+25)\cdot(3n^3-7)}$ é:

A.2

B.4

C.6

D.12

26.

O valor de $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$ é:

A.0

B.2

C.4

D.6

27.

O valor de $k$ para que a função $f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-3x+2}{x^2-4} & \text{se } x\neq2\\ 3k+2 & \text{se } x=2\end{cases}$ seja contínua no ponto de $x=2$ é:

-\frac{7}{12}

-\frac{7}{4}

\frac34

\frac94

28.

A derivada da função $f(x)=\sqrt{8+x}$ é:

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{8+x}}

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{8+x}}

f'(x)=\frac{1}{4\sqrt{8+x}}

f'(x)=\frac{1}{8\sqrt{8+x}}

29.

A derivada da função $g(x)=\operatorname{sen}2x-\cos3x$ é:

g'(x)=\cos2x+\operatorname{sen}3x

g'(x)=2\cos2x-3\operatorname{sen}3x

g'(x)=3\cos2x-2\operatorname{sen}3x

g'(x)=2\cos2x+3\operatorname{sen}3x

Questões 30 a 33

30.

Considera o gráfico $f(x)$ e assinala a alternativa correcta:

\lim_{x\to2^-}f(x)=+\infty

\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty

\lim_{x\to2^-}f(x)=+\infty

\lim_{x\to2^+}f(x)=-\infty

\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty

\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty

\lim_{x\to-2^-}f(x)=-\infty

\lim_{x\to-2^+}f(x)=-\infty

31.

Com base no gráfico do exercício 30, a primeira derivada da função é negativa quando x pertence a:

\mathbb{R}\setminus\{\pm2\}

]-2;0[

]-2;0[\ \cup\ ]2;+\infty[

]-\infty;-2[\ \cup\ ]0;2[

32.

Com base no gráfico do exercício 30, a segunda derivada da função é positiva quando x pertence a:

]-\infty;-2[

]-2;0[

]-\infty;-2[\ \cup\ ]0;2[

]-2;0[\ \cup\ ]2;+\infty[

33.

Com base no gráfico do exercício 30, a segunda derivada da função se anula no ponto de x igual a:

A.-2

B.-2 e 2

C.0

D.2

34.

A assimptota horizontal da função $f(x)=\frac{2x-1}{2-x}$ é:

x=-2

y=-2

x=2

y=2

35.

A primitiva da função $f(x)=2\operatorname{sen}x$ é:

F(x)=2\cos x+C

F(x)=2\operatorname{sen}x+C

F(x)=-2\cos x+C

F(x)-2\operatorname{sen}x+C

Respostas

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1B
2A
3D
4A
5B
6A
7B
8A
9C
10C
11B
12C
13—
14D
15—
16B
17D
18A
19C
20A
21D
22B
23C
24D
25D
26C
27A
28B
29D
30C
31A
32D
33C
34B
35C

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/up/matematica-2018/

Solução da questão 1

Resposta

B.7.400,00 Mt

Resolução

Sejam

c

o preço de uma camisa e

g

o de uma gravata:

3c+5g=4600

2c+3g=3000

Multiplicando a 1.ª equação por 2 e a 2.ª por 3:

6c+10g=9200

6c+9g=9000

, logo

g=200

c=\dfrac{3000-600}{2}=1200

5c+7g=5\cdot1200+7\cdot200=7400

Mt.

Resposta: B

Erro comum. Somar as duas compras, $5c+8g=7600$ Mt, sem descontar a gravata a mais.

Solução da questão 2

Resposta

60 \times 110

Resolução

Sejam

l

a largura e

c=l+50

o comprimento.

Meio campo é um rectângulo de lados

\dfrac c2

l

: o perímetro é

2\left(\dfrac c2+l\right)=c+2l=230

(l+50)+2l=230\Rightarrow 3l=180\Rightarrow l=60

c=110

Resposta: A

Erro comum. Tomar 230 como metade do perímetro do campo inteiro ( $c+l=230$ ), o que dá $90\times140$ .

Solução da questão 3

Resposta

\frac{y+x}{x-y}

Resolução

Um expoente negativo inverte a base:

\left(\frac yx\right)^{-\frac12}=\sqrt{\frac xy}=\frac{x}{\sqrt{xy}}

\left(\frac xy\right)^{-\frac12}=\sqrt{\frac yx}=\frac{y}{\sqrt{xy}}

A fracção fica

\dfrac{\frac{x+y}{\sqrt{xy}}}{\frac{x-y}{\sqrt{xy}}}=\dfrac{x+y}{x-y}=\dfrac{y+x}{x-y}

Resposta: D

Erro comum. Esquecer que o expoente negativo inverte a fracção: o denominador fica $y-x$ e chega-se à C.

Solução da questão 4

Resposta

\frac{x^2+1}{x+1}

Resolução

Numerador, por agrupamento:

x^3+x^2+x+1=x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^2+1)

Denominador:

x^2+2x+1=(x+1)^2

\dfrac{(x+1)(x^2+1)}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+1}{x+1}

, com

x\neq-1

Resposta: A

Erro comum. Cortar parcelas em vez de factores, por exemplo o $x^2$ de cima com o $x^2$ de baixo.

Solução da questão 5

Resposta

-8

2

Resolução

Condições:

x\neq4

x\neq-2

. Ao mesmo denominador:

\dfrac{(2+x)-(4-x)}{(4-x)(2+x)}=\dfrac{2x-2}{8+2x-x^2}=\dfrac14

8x-8=8+2x-x^2\Rightarrow x^2+6x-16=0\Rightarrow(x+8)(x-2)=0

As soluções são

-8

2

, as duas admissíveis.

Resposta: B

A D (« $-8$ ou $2$ ») descreve a mesma condição, $x=-8\vee x=2$ ; a chave fica com a B porque a pergunta enumera as soluções, que são as duas.

Erro comum. Aceitar $-2$ como solução: anula o denominador $2+x$ .

Solução da questão 6

Resposta

x<-3

Resolução

Existência:

x^2-6>0

-x>0

, ou seja,

x<-\sqrt6

A base

\frac12

está entre 0 e 1, por isso o sentido inverte-se:

x^2-6>-x\Leftrightarrow x^2+x-6>0\Leftrightarrow x<-3\vee x>2

Com

x<-\sqrt6\approx-2{,}45

só fica

x<-3

Resposta: A

Erro comum. Esquecer as condições de existência e ficar com $x<-3\vee x>2$ .

Solução da questão 7

Resposta

\begin{cases}x+2 & \text{se } x\ge0\\ -x+2 & \text{se } x<0\end{cases}

Resolução

O domínio de

f

\mathbb{R}

; as alternativas dão

f

sem o módulo, por ramos, e é isso que se escolhe.

|x|=x

x\ge0

|x|=-x

x<0

Somando 2:

f(x)=x+2

x\ge0

f(x)=-x+2

x<0

Resposta: B

O enunciado diz «domínio de existência», que é $\mathbb{R}$ , mas as alternativas são a expressão de $f$ por ramos: é isso que a pergunta quer.

Erro comum. Mudar o ponto de corte para $\pm2$ por causa do $+2$ , que está fora do módulo.

Solução da questão 8

Resposta

\sim(a\wedge b)\vee\sim c

Resolução

p\Rightarrow q\equiv\sim p\vee q

, logo

a\Rightarrow\sim b\equiv\sim a\vee\sim b

Pela lei de De Morgan,

\sim a\vee\sim b\equiv\sim(a\wedge b)

Fica

\sim(a\wedge b)\vee\sim c

Resposta: A

Erro comum. Perder a negação de $c$ , que já estava na proposição, e escolher a B.

Solução da questão 9

Resposta

\exists x\in\mathbb{Z}: x+1>x

Resolução

Para negar, troca-se

\forall

por

\exists

e nega-se a condição; o conjunto

\mathbb{Z}

fica igual.

A negação de

x+1\le x

x+1>x

Fica

\exists x\in\mathbb{Z}: x+1>x

Resposta: C

Erro comum. Negar também o conjunto ( $x\notin\mathbb{Z}$ ) ou negar $\le$ com $\ge$ .

Solução da questão 10

Resposta

C.i) Falsa e ii) Verdadeira

Resolução

Uma implicação só é falsa com antecedente verdadeiro e consequente falso:

p=V

q=F

, logo

\sim p=F

\sim p\wedge q=F\wedge F=F

ii)

\sim p\vee q=F\vee F=F

, e

F\Leftrightarrow F

é verdadeira.

Resposta: C

Erro comum. Julgar falsa uma equivalência entre duas proposições falsas: a equivalência é verdadeira quando os dois lados têm o mesmo valor.

Solução da questão 11

Resposta

x^2+1

Resolução

Regra de Ruffini com a raiz

-1

e os coeficientes

1,\ 1,\ 1,\ 1

: o quociente tem os coeficientes

1,\ 0,\ 1

e o resto é

0

Quociente:

x^2+1

. Confirma-se:

(x+1)(x^2+1)=x^3+x^2+x+1

Resposta: B

Erro comum. Esquecer o coeficiente $0$ do termo em $x$ e escrever $x^2+x+1$ .

Solução da questão 12

Resposta

0

Resolução

A 3.ª linha é a simétrica da 1.ª:

(-3,\,-1,\,-1)=-(3,\,1,\,1)

. Com duas linhas proporcionais, o determinante é

0

Confirma-se pela 1.ª linha:

3(1+2)-1(0+6)+1(0-3)=9-6-3=0

Resposta: C

Erro comum. Errar o sinal de um dos cofactores no desenvolvimento.

Solução da questão 13

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A recta por $A(1,2)$ e $B(2,-1)$ é $y=-3x+5$ , com ordenada na origem $5$ , que não está entre as alternativas.

Porquê

Declive:

m=\dfrac{-1-2}{2-1}=-3

y-2=-3(x-1)\Rightarrow y=-3x+5

: a ordenada na origem é

5

Nenhuma alternativa dá

5

; o

-3

da B é o declive, não a ordenada na origem.

Solução da questão 14

Resposta

D.5

Resolução

O coeficiente angular da tangente em

x=1

f'(1)

f'(x)=3x^2+2

, logo

f'(1)=3+2=5

Resposta: D

Erro comum. Dar $f(1)=3$ , a ordenada do ponto, em vez do declive.

Solução da questão 15

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Com $\frac23x$ , como está impresso, não há triângulo: sai $x=615^\circ$ e o ângulo de cima teria $515^\circ$ . A C só sai com $\frac32x$ , e mesmo assim o ângulo de cima teria $2{,}5^\circ$ .

Porquê

O ângulo externo junto de

\alpha

é igual à soma dos dois internos não adjacentes:

\dfrac{3x+5^\circ}{2}=(x-100^\circ)+\dfrac23x

Multiplicando por 6:

9x+15=10x-600

, logo

x=615^\circ

. O ângulo de cima teria

515^\circ

, o que é impossível num triângulo.

Nenhuma alternativa serve. Só com

\frac32x

no vértice da esquerda sairia

x=102{,}5^\circ

\alpha=180^\circ-156{,}25^\circ=23{,}75^\circ

Solução da questão 16

Resposta

5{,}08\ cm^2

Resolução

Altura relativa à base de 40 cm:

h=18\operatorname{sen}45^\circ=9\sqrt2\ \text{cm}

Área:

40\cdot9\sqrt2=360\sqrt2\ \text{cm}^2

; com

\sqrt2\approx1{,}41

, dá cerca de

508\ \text{cm}^2=5{,}08\ \text{dm}^2

O valor que corresponde nas alternativas é

5{,}08

Resposta: B

A área é cerca de $508\ \text{cm}^2$ , ou $5{,}08\ \text{dm}^2$ ; a alternativa B traz o valor certo, mas com a unidade trocada.

Erro comum. Tomar o lado de 18 cm como altura: $40\cdot18=720\ \text{cm}^2$ .

Solução da questão 17

Resposta

D.210

Resolução

A ordem conta (ouro, prata e bronze são prémios diferentes) e não há repetição: são arranjos de 7, 3 a 3.

7\cdot6\cdot5=210

Resposta: D

Erro comum. Usar combinações, $\dfrac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35$ , que ignoram quem fica com cada medalha.

Solução da questão 18

Resposta

A.252

Resolução

Num grupo a ordem não conta: são combinações de 10, 5 a 5.

C=\dfrac{10!}{5!\,5!}=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{30240}{120}=252

Resposta: A

Erro comum. Usar arranjos, $10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6=30240$ , que contam o mesmo grupo várias vezes.

Solução da questão 19

Resposta

\frac{2}{3}\pi

Resolução

a\cos(bx+c)+d

o período é

T=\dfrac{2\pi}{|b|}

Aqui

b=3

T=\dfrac{2\pi}{3}

Resposta: C

Erro comum. Inverter a fracção e responder $\frac32\pi$ .

Solução da questão 20

Resposta

-1\le y\le3

Resolução

-1\le\cos(3x-\pi)\le1

Multiplicando por

-2

-2\le-2\cos(3x-\pi)\le2

Somando 1:

-1\le y\le3

Resposta: A

Erro comum. Esquecer de somar 1 no fim e ficar com $-2\le y\le2$ .

Solução da questão 21

Resposta

\frac12

Resolução

\cos270^\circ=0

\operatorname{sen}330^\circ=-\operatorname{sen}30^\circ=-\frac12

\operatorname{tg}315^\circ=-\operatorname{tg}45^\circ=-1

\dfrac{0-\left(-\frac12\right)}{-(-1)}=\dfrac{\frac12}{1}=\dfrac12

Resposta: D

Erro comum. Tomar $\operatorname{sen}330^\circ$ como positivo e obter $-\frac12$ .

Solução da questão 22

Resposta

\frac{\pi}{4}+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}

Resolução

\operatorname{tg}x=1

para

x=\frac{\pi}{4}+\pi k

, e a tangente é crescente em cada intervalo

\left]-\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right[

Logo

\operatorname{tg}x>1

entre

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{2}

, repetido com o período

\pi

Resposta: B

Erro comum. Usar o período $2\pi$ do seno e do cosseno: a tangente repete-se de $\pi$ em $\pi$ .

Solução da questão 23

Resposta

C.155

Resolução

Progressão aritmética com

a_1=2

e razão

3

a_{10}=2+9\cdot3=29

S_{10}=\dfrac{(2+29)\cdot10}{2}=155

Resposta: C

Erro comum. Usar $10\cdot3$ em vez de $9\cdot3$ no último termo: de $a_1$ a $a_{10}$ há 9 saltos.

Solução da questão 24

Resposta

\frac14,\frac{25}{4},\frac{49}{4}

Resolução

Numa progressão aritmética o termo do meio é a média dos vizinhos:

2(x+2)^2=x^2+(x+3)^2

2x^2+8x+8=2x^2+6x+9

, logo

x=\frac12

Termos:

\frac14,\ \frac{25}{4},\ \frac{49}{4}

, com diferença

6

Resposta: D

Erro comum. Esquecer de elevar ao quadrado ao substituir $x=\frac12$ .

Solução da questão 25

Resposta

D.12

Resolução

Para

n\to\infty

conta o termo de maior grau de cada factor.

Numerador:

(6n)^2\cdot n^3=36n^5

; denominador:

n^2\cdot3n^3=3n^5

Limite:

\dfrac{36}{3}=12

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o quadrado do 6 e obter $\frac63=2$ .

Solução da questão 26

Resposta

C.4

Resolução

x=2

dá

\frac00

. Factorizando:

x^2-4=(x-2)(x+2)

\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to2}(x+2)=4

Resposta: C

Erro comum. Responder 0 por o numerador se anular, sem ver que o denominador também se anula.

Solução da questão 27

Resposta

-\frac{7}{12}

Resolução

Contínua em

x=2

\lim\limits_{x\to2}f(x)=f(2)=3k+2

\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-4}=\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x-1}{x+2}\to\dfrac14

3k+2=\frac14\Rightarrow3k=-\frac74\Rightarrow k=-\frac{7}{12}

Resposta: A

Erro comum. Parar em $3k=-\frac74$ e escolher a B.

Solução da questão 28

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{8+x}}

Resolução

(\sqrt u)'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}

, com

u=8+x

u'=1

f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{8+x}}

Resposta: B

Erro comum. Esquecer o 2 do denominador, que vem do expoente $\frac12$ .

Solução da questão 29

Resposta

g'(x)=2\cos2x+3\operatorname{sen}3x

Resolução

(\operatorname{sen}2x)'=2\cos2x

(-\cos3x)'=-(-3\operatorname{sen}3x)=3\operatorname{sen}3x

g'(x)=2\cos2x+3\operatorname{sen}3x

Resposta: D

Erro comum. Perder um dos sinais menos e escrever $2\cos2x-3\operatorname{sen}3x$ .

Solução da questão 30

Resposta

\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty

\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty

Resolução

À direita de

x=2

a curva sobe sem limite:

\lim\limits_{x\to2^+}f(x)=+\infty

À esquerda de

x=2

desce sem limite:

\lim\limits_{x\to2^-}f(x)=-\infty

Em A e B o sentido junto de 2 está trocado; em D, à direita de

-2

, a curva sobe:

\lim\limits_{x\to-2^+}f(x)=+\infty

Resposta: C

Erro comum. Trocar os lados: $x\to2^-$ é a aproximação pela esquerda.

Solução da questão 31

Resposta

\mathbb{R}\setminus\{\pm2\}

Resolução

f'(x)<0

onde a função é decrescente.

Os três ramos descem da esquerda para a direita: o da esquerda até

-\infty

, o do meio de

+\infty

-\infty

e o da direita de

+\infty

até perto de 0.

Logo

f'(x)<0

em todo o domínio,

\mathbb{R}\setminus\{\pm2\}

Resposta: A

Erro comum. Confundir o sinal de $f'$ com o de $f$ : $f$ é negativa em $]-\infty;-2[\ \cup\ ]0;2[$ , que é a D.

Solução da questão 32

Resposta

]-2;0[\ \cup\ ]2;+\infty[

Resolução

f''(x)>0

onde a concavidade está voltada para cima.

]-2;0[

e em

]2;+\infty[

a curva desce e vai achatando: concavidade para cima.

]-\infty;-2[

e em

]0;2[

cai cada vez mais depressa: concavidade para baixo.

Resposta: D

Erro comum. Confundir a concavidade com a monotonia ou com o sinal de $f$ .

Solução da questão 33

Resposta

C.0

Resolução

f''

anula-se onde a concavidade muda (ponto de inflexão).

A concavidade passa de para cima, em

]-2;0[

, a para baixo, em

]0;2[

: muda em

x=0

x=\pm2

a função nem está definida, por isso aí não há inflexão.

Resposta: C

Erro comum. Tomar as assímptotas $x=\pm2$ como pontos de inflexão.

Solução da questão 34

Resposta

y=-2

Resolução

A assímptota horizontal é

y=\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)

\dfrac{2x-1}{2-x}=\dfrac{2-\frac1x}{\frac2x-1}\to\dfrac{2}{-1}=-2

Logo

y=-2

; a recta

x=2

é a assímptota vertical.

Resposta: B

Erro comum. Ignorar o sinal de $-x$ no denominador e responder $y=2$ .

Solução da questão 35

Resposta

F(x)=-2\cos x+C

Resolução

Como

(-\cos x)'=\operatorname{sen}x

, uma primitiva de

\operatorname{sen}x

-\cos x

\displaystyle\int2\operatorname{sen}x\,dx=-2\cos x+C

. Verifica-se:

(-2\cos x)'=2\operatorname{sen}x

Resposta: C

Erro comum. Esquecer o sinal menos e escolher $2\cos x+C$ , cuja derivada é $-2\operatorname{sen}x$ .