Matemática 2023

UP e associadas
34 questões
120 minutos
32 soluções

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Comissão de Exames de Admissão

EXAME DE MATEMÁTICA - 2023

A prova tem a duração de 120 minutos e contempla 34 questões.
Confira o seu código de candidatura.
Para cada questão assinale apenas a alternativa correcta.
Não é permitido o uso de qualquer dispositivo electrónico (máquina de calcular, telemóvel, etc.).

Qual das expressões é uma proposição?

\sqrt{3}+4

5>8

2x>3

x-6>8

Considere os conjuntos $M=\{x\in \mathbb{R}: -2<x\le 6\}$ e $N=\{x\in \mathbb{R}: x<3\}$ . Qual é o conjunto $M \setminus N$ ?

x\in\ ]3,6]

x\in [3,6]

x\in [3,6[

x\in\ ]3,6[

Sejam p e q duas proposições com os valores lógicos V e F respectivamente. Qual das proposições tem o valor lógico falso?

\sim(p\wedge q)

p\vee\sim q

p\vee q

\sim p\wedge q

Qual das expressões algébricas é racional inteira?

\dfrac{\sqrt{x}-1}{-2}

\dfrac{x-1}{x-2}

\dfrac{x-1}{-2}

\dfrac{-1}{x-2}

Qual é a área do triângulo OAB esboçado na figura ao lado?

\dfrac{25}{4}

\dfrac{21}{4}

\dfrac{24}{4}

\dfrac{27}{4}

A circunferência de centro em $(2,0)$ e tangente ao eixo $y$ é interceptada pela circunferência C, definida pela equação $x^2+y^2=4$ , e pela semi-recta que parte da origem e faz ângulo de $30^\circ$ com o eixo-x, conforme a figura abaixo. Quais são as coordenadas do ponto P?

\left(2,\sqrt{2}\right)

\left(3,\sqrt{3}\right)

\left(\sqrt{2},2\right)

\left(\sqrt{3},3\right)

A figura abaixo exibe um quadrilátero $ABCD$ , onde $AB=AD$ e $BC=CD=2$ cm. Qual é a área do quadrilátero $ABCD$ ?

3\sqrt{2}\ \text{cm}^2

2\ \text{cm}^2

2\sqrt{3}\ \text{cm}^2

2\sqrt{2}\ \text{cm}^2

Considere $A$ e $B$ dois conjuntos quaisquer. Qual é a opção correcta?

\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap B

\overline{A\cup B}=A\cap\overline{B}

\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}

\overline{A\cup B}=\overline{A\cap B}

Qual é o domínio de existência da expressão $\sqrt{4-2x}$ ?

x\in\ ]-\infty,2]

x\in\ ]-\infty,2[

x\in [2,+\infty[

x\in\ ]2,+\infty[

10.

Qual é a expressão simplificada de $\dfrac{x^3-5x^2+6x}{x^2-2x}$ ?

x+2

x+3

x-2

x-3

11.

Em $\mathbb{R}$ , qual é a solução da inequação $\dfrac{x-1}{x}\le0$ ?

x\in\ ]0,1[

x\in\ ]0,1]

x\in [0,1[

x\in [0,1]

12.

Sendo $-\mathrm{sen}(x)=\cos(x)$ com $x\in 4^{\circ}$ Quadrante, qual é o valor de x?

\pi+2\pi k

\dfrac{1}{4}\pi+2\pi k

\dfrac{7}{4}\pi+2\pi k

\dfrac{5}{4}\pi+2\pi k

13.

Qual é a soma das soluções da equação $|2-x|=\dfrac{3}{2}$ ?

A.1

B.3

C.2

D.4

14.

Qual é a solução da equação $2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}=28$ ?

A.1

B.0

C.2

D.4

15.

Qual é a expressão simplificada de $\dfrac{n!-(n-1)!}{n!}$ ?

\dfrac{n-1}{n}

\dfrac{n+1}{n}

\dfrac{n}{n-1}

\dfrac{n}{n+1}

16.

Numa competição, há 4 concorrentes. Não havendo empates, de quantas maneiras diferentes podem ser classificados?

A.8

B.4

C.24

D.12

17.

Na escolha de um número de 1 a 30, qual é a probabilidade de que seja sorteado um múltiplo de 5?

A.1

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{6}

D.0

18.

Um avião levanta voo sob um ângulo constante de $30^\circ$ . Após percorrer 2000m, em linha recta, qual será a altura atingida pelo avião aproximadamente?

100m

2000m

200m

1000m

19.

As figuras abaixo ilustram, respectivamente, os gráficos das funções $y=f(x)$ e $y=g(x)$ . Qual é o valor de $f(g(-1))-g(f(1))$ ?

A.1

B.2

C.3

D.4

20.

Qual é a soma de todos os termos da sucessão $\left(9;3;1;\frac{1}{3};\frac{1}{9};\frac{1}{27};\frac{1}{81};\cdots\right)$ ?

\dfrac{3}{2}

\dfrac{9}{2}

\dfrac{27}{2}

\dfrac{81}{2}

21.

Considere o triângulo exibido na figura abaixo, com lados de comprimentos $a$ , $b$ e $c$ e ângulos $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ . Suponha que a sequência $(\gamma, \alpha, \beta)$ é uma progressão aritmética (PA). Qual é a medida do ângulo $\gamma$ ?

30^\circ

60^\circ

45^\circ

90^\circ

22.

Sabendo que $(x;\,x+9;\,x+45;\,...)$ formam uma progressão geométrica, qual é o valor de x?

A.27

-3

C.9

D.3

23.

Sejam as funções $f(x)=2-3x$ e $g(x)=\dfrac{2x-1}{x-2}$ . Qual é o valor de $h(x)=g\circ f(1)$ ?

A.1

-1

C.2

-2

24.

Qual é a função inversa $f^{-1}(x)$ da função $f(x)=\log_2(x-1)+3$ ?

y=2^{x+3}-1

y=2^{x-3}+1

y=2^{x+3}+1

y=2^{x-3}-1

25.

Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{(2x-1)^4\cdot(2-x)}{(x-1)^2\cdot x^3}$ ?

-\infty

B.16

-16

D.32

26.

Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{1-\sqrt{x}}{x-1}$ ?

-\dfrac{1}{2}

\dfrac{1}{2}

C.0

+\infty

27.

Seja $y=2-(1-k)x$ a equação da recta tangente ao gráfico da função $y=x^3+1$ no ponto de abcissa $x=1$ . Qual é o valor de $k$ ?

A.1

B.2

C.3

D.4

28.

Considere a função $f(x)=\begin{cases}x^2+1,& \text{se } 0<x<2\\ 1-kx,& \text{se } 2\le x<4\end{cases}$ . Qual deve ser o valor de k para que a função seja contínua no ponto de abcissa $x=2$ ?

A.1

-2

C.2

-1

29.

Considere a função $f(x)=\dfrac{x+3}{x^2+5x+6}$ . Em que ponto a função tem um ponto de descontinuidade não eliminável?

-2

-3\ \text{e}\ -2

-3

2\ \text{e}\ 3

30.

Quais são as abcissas dos pontos em que $f'(x)<0$ ?

]-\infty,-1]\cup[1,+\infty[

]-\infty,-1[\ \cup\ ]1,+\infty[

]-1,1[

[-1,1]

31.

Qual é a equação da assímptota horizontal do gráfico da função $f(x)=\dfrac{x^2}{1-x^2}$ ?

y=1

y=0

y=2

y=-1

32.

Qual é a $1.^{a}$ derivada da função $f(x)=3^{\sqrt{2x-1}}$ ?

\dfrac{3^{\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2x-1}\cdot\ln(3)}

\dfrac{3^{\sqrt{2x-1}}}{2\cdot\sqrt{2x-1}}\cdot\ln(3)

\dfrac{2\cdot3^{\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2x-1}\cdot\ln(3)}

\dfrac{3^{\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2x-1}}\cdot\ln(3)

33.

Qual é o ponto de inflexão do gráfico da função $f(x)=x^3-3x^2+2x-1$ ?

(1,-1)

(-1,-1)

(-1,1)

(1,1)

34.

A função custo de produção de peças de automóveis é dada pela expressão $f(x)=100+80x-x^2$ , onde $f(x)$ é o custo de produção e $x$ a quantidade de matéria prima. Qual é o custo de produção máxima?

A.1500

B.1600

C.1700

D.1800

Respostas

Matemática 2023 · UP e associadas · admitela.com

1B
2B
3D
4C
5A
6B
7—
8C
9A
10D
11B
12C
13D
14C
15A
16C
17B
18D
19D
20C
21—
22D
23A
24B
25C
26A
27—
28B
29A
30C
31D
32D
33A
34C

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/up/matematica-2023/

Solução da questão 1

Resposta

5>8

Resolução

Uma proposição é uma afirmação com valor lógico definido: verdadeira ou falsa.

5>8

não tem variáveis e é falsa: é uma proposição.

\sqrt3+4

é só um número, e

2x>3

x-6>8

dependem de

x

: são condições.

Resposta: B

Erro comum. Tomar $2x>3$ ou $x-6>8$ por proposições: sem se saber o valor de $x$ , não são verdadeiras nem falsas.

Solução da questão 2

Resposta

x\in [3,6]

Resolução

M=]-2,6]

N=]-\infty,3[

M\setminus N

são os elementos de

M

que não estão em

N

, ou seja, os de

M

com

x\ge3

3\notin N

6\in M

, por isso os dois extremos ficam:

M\setminus N=[3,6]

Resposta: B

Erro comum. Abrir o intervalo em $3$ (A ou D), esquecendo que $N$ só tem os $x<3$ .

Solução da questão 3

Resposta

\sim p\wedge q

Resolução

Com

p=V

q=F

: em A,

\sim(V\wedge F)=\sim F=V

; em B,

V\vee V=V

; em C,

V\vee F=V

Em D,

\sim p\wedge q=F\wedge F=F

Resposta: D

Erro comum. Esquecer a negação em A e ficar com $p\wedge q=F$ .

Solução da questão 4

Resposta

\dfrac{x-1}{-2}

Resolução

Uma expressão racional inteira é um polinómio: não tem a variável no denominador nem dentro de radicais.

A tem

\sqrt{x}

; B e D têm

x

no denominador. C é

\dfrac{x-1}{-2}=-\dfrac12x+\dfrac12

, um polinómio.

Resposta: C

Erro comum. Pôr C de parte por ter denominador: o que conta é não haver variável no denominador.

Solução da questão 5

Resposta

\dfrac{25}{4}

Resolução

A semi-recta passa por

(0,0)

(1,2)

: declive

2

. A recta

AB

é perpendicular a ela em

(1,2)

, logo tem declive

-\dfrac12

AB

y-2=-\dfrac12(x-1)

, ou seja,

y=-\dfrac x2+\dfrac52

. Daí

A=(5,0)

B=\left(0,\dfrac52\right)

Área

=\dfrac{OA\cdot OB}{2}=\dfrac{5\cdot\frac52}{2}=\dfrac{25}{4}

Resposta: A

Erro comum. Dar a $AB$ o mesmo declive da semi-recta: rectas perpendiculares têm declives $m$ e $-\dfrac1m$ .

Solução da questão 6

Resposta

\left(3,\sqrt{3}\right)

Resolução

A circunferência de centro

(2,0)

tangente ao eixo

y

tem raio

2

(x-2)^2+y^2=4

, isto é,

x^2+y^2=4x

Na semi-recta,

P=(r\cos30^\circ,\ r\operatorname{sen}30^\circ)

. Substituindo,

r^2=4r\cos30^\circ

, logo

r=4\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3

P=\left(2\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2},\ 2\sqrt3\cdot\dfrac12\right)=\left(3,\sqrt3\right)

Resposta: B

Erro comum. Intersectar a semi-recta com a circunferência C, $x^2+y^2=4$ , o que dá $(\sqrt3,1)$ e não o ponto P.

Solução da questão 8

Resposta

\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}

Resolução

Leis de De Morgan: o complementar de uma união é a intersecção dos complementares.

Um elemento fora de

A\cup B

não está em

A

nem em

B

: está em

\overline{A}

e em

\overline{B}

. Logo

\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}

Resposta: C

Erro comum. Complementar só um dos conjuntos, como em A e B.

Solução da questão 9

Resposta

x\in\ ]-\infty,2]

Resolução

O radicando não pode ser negativo:

4-2x\ge0

-2x\ge-4

e, ao dividir por

-2

, o sentido inverte-se:

x\le2

. Em

x=2

\sqrt0=0

existe, por isso o intervalo é fechado:

]-\infty,2]

Resposta: A

Erro comum. Não inverter a desigualdade ao dividir por $-2$ e chegar a $[2,+\infty[$ (C).

Solução da questão 10

Resposta

x-3

Resolução

x^3-5x^2+6x=x(x^2-5x+6)=x(x-2)(x-3)

x^2-2x=x(x-2)

\dfrac{x(x-2)(x-3)}{x(x-2)}=x-3

, para

x\ne0

x\ne2

Resposta: D

Erro comum. Cortar parcelas de somas, como $x^3$ com $x^2$ , em vez de factores comuns.

Solução da questão 11

Resposta

x\in\ ]0,1]

Resolução

O numerador anula-se em

x=1

e o denominador em

x=0

Para

0<x<1

o quociente é negativo e em

x=1

é zero; para

x<0

x>1

é positivo, e em

x=0

não existe.

Solução:

x\in\ ]0,1]

Resposta: B

Erro comum. Fechar o intervalo em $0$ , onde o denominador se anula e a expressão não existe.

Solução da questão 12

Resposta

\dfrac{7}{4}\pi+2\pi k

Resolução

-\operatorname{sen}x=\cos x

dá

\operatorname{tg}x=-1

, com

\cos x\ne0

4.^{\circ}

quadrante, o ângulo de tangente

-1

2\pi-\dfrac\pi4=\dfrac74\pi

x=\dfrac74\pi+2\pi k

, com

k\in\mathbb{Z}

Resposta: C

Erro comum. Escolher $\dfrac54\pi$ (D), que fica no $3.^{\circ}$ quadrante, onde $\operatorname{tg}x=1$ .

Solução da questão 13

Resposta

D.4

Resolução

|2-x|=\dfrac32

dá

2-x=\dfrac32

2-x=-\dfrac32

x=\dfrac12

x=\dfrac72

, e a soma é

\dfrac82=4

Resposta: D

Erro comum. Ficar só com $x=\dfrac12$ , esquecendo o caso negativo do módulo.

Solução da questão 14

Resposta

C.2

Resolução

2^{x+1}=2\cdot2^x

2^{x+2}=4\cdot2^x

, logo

2^x(1+2+4)=28

7\cdot2^x=28

2^x=4=2^2

x=2

. Verificação:

4+8+16=28

Resposta: C

Erro comum. Ler $2^{x+1}$ como $2^x+1$ .

Solução da questão 15

Resposta

\dfrac{n-1}{n}

Resolução

Como

n!=n\,(n-1)!

\dfrac{n!-(n-1)!}{n!}=1-\dfrac{(n-1)!}{n\,(n-1)!}=1-\dfrac1n

1-\dfrac1n=\dfrac{n-1}{n}

Resposta: A

Erro comum. Simplificar $\dfrac{(n-1)!}{n!}$ como $n-1$ , em vez de $\dfrac1n$ .

Solução da questão 16

Resposta

C.24

Resolução

Cada classificação é uma ordenação dos 4 concorrentes: uma permutação.

P_4=4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24

Resposta: C

Erro comum. Fazer $4\cdot3=12$ (D), como se só contassem os dois primeiros lugares.

Solução da questão 17

Resposta

\dfrac{1}{5}

Resolução

Os múltiplos de 5 de 1 a 30 são

5,10,15,20,25,30

: 6 casos favoráveis em 30 possíveis.

P=\dfrac{6}{30}=\dfrac15

Resposta: B

Erro comum. Esquecer o 30 e contar só 5 múltiplos: $\dfrac{5}{30}=\dfrac16$ (C).

Solução da questão 18

Resposta

1000m

Resolução

Os 2000 m são a hipotenusa e a altura

h

é o cateto oposto ao ângulo de

30^\circ

h=2000\cdot\operatorname{sen}30^\circ=2000\cdot\dfrac12=1000

Resposta: D

Erro comum. Usar o cosseno, que dá a distância na horizontal, cerca de 1732 m.

Solução da questão 19

Resposta

D.4

Resolução

No gráfico de

g

g(-1)=-1

; no de

f

f(-1)=2

. Logo

f(g(-1))=f(-1)=2

No gráfico de

f

f(1)=0

; no de

g

, o vértice dá

g(0)=-2

. Logo

g(f(1))=g(0)=-2

2-(-2)=4

Resposta: D

Erro comum. Ler os valores no gráfico trocado: em $f(g(-1))$ lê-se primeiro $g$ e só depois $f$ .

Solução da questão 20

Resposta

\dfrac{27}{2}

Resolução

Cada termo é o anterior a dividir por 3: progressão geométrica com

a_1=9

r=\dfrac13

Como

|r|<1

S=\dfrac{a_1}{1-r}=\dfrac{9}{\frac23}=\dfrac{27}{2}

Resposta: C

Erro comum. Começar a soma em $3$ ou em $1$ em vez de $9$ , o que dá $\dfrac92$ ou $\dfrac32$ .

Solução da questão 21

Resposta

Nenhuma alternativa serve

A PA só determina o termo do meio, $\alpha=60^\circ$ ; $\gamma$ pode ter qualquer valor entre $0^\circ$ e $120^\circ$ , por isso as quatro alternativas são possíveis. Se a pergunta fosse sobre $\alpha$ , a resposta seria $60^\circ$ (B).

Porquê

Numa PA, o termo do meio é a média dos outros dois:

\gamma+\beta=2\alpha

Com

\alpha+\beta+\gamma=180^\circ

3\alpha=180^\circ

, logo

\alpha=60^\circ

\gamma+\beta=120^\circ

Nada mais fixa

\gamma

: com

\gamma=30^\circ

45^\circ

60^\circ

90^\circ

, o ângulo

\beta

vale

90^\circ

75^\circ

60^\circ

30^\circ

(\gamma,\alpha,\beta)

é sempre uma PA. Nenhuma alternativa é a única certa.

Solução da questão 22

Resposta

D.3

Resolução

Numa PG, o quadrado do termo do meio é o produto dos vizinhos:

(x+9)^2=x(x+45)

x^2+18x+81=x^2+45x

, logo

27x=81

x=3

. Verificação:

3

12

48

têm razão

4

Resposta: D

Erro comum. Trocar o sinal ao isolar $x$ e responder $-3$ (B).

Solução da questão 23

Resposta

A.1

Resolução

g\circ f(1)=g(f(1))

: aplica-se primeiro

f

e depois

g

f(1)=2-3=-1

g(-1)=\dfrac{2(-1)-1}{-1-2}=\dfrac{-3}{-3}=1

Resposta: A

Erro comum. Parar em $f(1)=-1$ (B), sem aplicar $g$ .

Solução da questão 24

Resposta

y=2^{x-3}+1

Resolução

y=\log_2(x-1)+3\Rightarrow y-3=\log_2(x-1)

x-1=2^{y-3}

, logo

x=2^{y-3}+1

; trocando as variáveis,

f^{-1}(x)=2^{x-3}+1

Resposta: B

Erro comum. Trocar os sinais das constantes, como em $2^{x+3}-1$ (A).

Solução da questão 25

Resposta

-16

Resolução

Para

x\to\infty

(2x-1)^4\sim16x^4

2-x\sim-x

(x-1)^2\sim x^2

\dfrac{16x^4\cdot(-x)}{x^2\cdot x^3}=\dfrac{-16x^5}{x^5}=-16

Resposta: C

Erro comum. Perder o sinal de $2-x\sim-x$ e responder $16$ (B).

Solução da questão 26

Resposta

-\dfrac{1}{2}

Resolução

x=1

fica

\dfrac00

. Como

x-1=(\sqrt x-1)(\sqrt x+1)

1-\sqrt x=-(\sqrt x-1)

, simplifica-se.

\dfrac{1-\sqrt x}{x-1}=\dfrac{-1}{\sqrt x+1}\to-\dfrac12

Resposta: A

Erro comum. Perder o sinal de $1-\sqrt x=-(\sqrt x-1)$ e responder $\dfrac12$ (B).

Solução da questão 28

Resposta

-2

Resolução

Para ser contínua em

x=2

\displaystyle\lim_{x\to2^-}f(x)=f(2)

À esquerda,

2^2+1=5

; em

x=2

vale o segundo ramo,

f(2)=1-2k

1-2k=5

, logo

k=-2

Resposta: B

Erro comum. Errar o sinal ao isolar $k$ e responder $2$ (C).

Solução da questão 29

Resposta

-2

Resolução

x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

anula-se em

x=-2

e em

x=-3

Para

x\ne-3

f(x)=\dfrac{1}{x+2}

: em

x=-3

o limite existe e vale

-1

, e a descontinuidade é eliminável.

x=-2

o limite é infinito: a descontinuidade não é eliminável.

Resposta: A

Erro comum. Marcar os dois zeros do denominador (B), sem ver que o factor $x+3$ se simplifica.

Solução da questão 30

Resposta

]-1,1[

Resolução

f'(x)<0

onde

f

é decrescente.

O gráfico tem um máximo em

x=-1

e um mínimo em

x=1

: cresce antes de

-1

, decresce entre

-1

1

e volta a crescer depois de

1

-1

e em

1

a derivada é

0

, por isso ficam de fora:

]-1,1[

Resposta: C

Erro comum. Fechar o intervalo (D): nos extremos a derivada é zero, não negativa.

Solução da questão 31

Resposta

y=-1

Resolução

A assímptota horizontal é

y=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)

\dfrac{x^2}{1-x^2}=\dfrac{1}{\frac{1}{x^2}-1}\to\dfrac{1}{0-1}=-1

, tanto em

+\infty

como em

-\infty

Resposta: D

Erro comum. Ver que os graus são iguais e esquecer o sinal de $-x^2$ , o que dá $y=1$ (A).

Solução da questão 32

Resposta

\dfrac{3^{\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2x-1}}\cdot\ln(3)

Resolução

Regra da cadeia:

(3^u)'=3^u\ln3\cdot u'

, com

u=\sqrt{2x-1}

u'=\dfrac{2}{2\sqrt{2x-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-1}}

f'(x)=\dfrac{3^{\sqrt{2x-1}}}{\sqrt{2x-1}}\cdot\ln3

Resposta: D

Erro comum. Esquecer a derivada de $2x-1$ , que é $2$ , e ficar com o $2$ no denominador (B).

Solução da questão 33

Resposta

(1,-1)

Resolução

f'(x)=3x^2-6x+2

f''(x)=6x-6

, que se anula e muda de sinal em

x=1

f(1)=1-3+2-1=-1

, logo o ponto de inflexão é

(1,-1)

Resposta: A

Erro comum. Usar $f'(x)=0$ , que dá os extremos e não o ponto de inflexão.

Solução da questão 34

Resposta

C.1700

Resolução

f(x)=-x^2+80x+100

é uma parábola com a concavidade para baixo: o máximo está no vértice.

f'(x)=80-2x=0

dá

x=40

f(40)=100+3200-1600=1700

Resposta: C

Erro comum. Esquecer a parcela $100$ e obter $1600$ (B).