Matemática 2024

UP e associadas
40 questões
120 minutos
40 soluções

Universidade Pedagógica de MaputoUniversidade LicungoUniversidade PúnguèUniversidade RovumaUniversidade Save

Comissão de Exames de Admissão

EXAME DE MATEMÁTICA - 2024

A prova tem a duração de 120 minutos e contempla 5 páginas e 40 questões.
Confira o seu código de candidatura.
Para cada questão, assinale apenas a alternativa correcta.
Não é permitido o uso de qualquer dispositivo electrónico (máquina de calcular, telemóvel, etc.).

Qual é a expressão equivalente a $\sim p \vee q$ ?

p \Leftrightarrow q

p \Rightarrow q

p \wedge q

p \vee q

Considere a afirmação: “Se hoje é sábado, amanhã não trabalharei.” Qual é a negação dessa afirmação?

A.Se hoje não é sábado, amanhã trabalharei.

B.Hoje não é sábado ou amanhã trabalharei.

C.Se hoje não é sábado, amanhã não trabalharei

D.Hoje é sábado e amanhã trabalharei.

Qual é o valor de $\log_2 \sqrt{8} - \log_{\sqrt{8}} 2$ ?

-\dfrac{5}{6}

\dfrac{5}{6}

-\dfrac{6}{5}

\dfrac{6}{5}

Em qual das equações a soma das raízes é $-\dfrac{5}{2}$ ?

-2x^3+5x^2-7x=0

2x^3-5x^2-7x=0

2x^3-5x^2+7x=0

2x^3+5x^2-7x=0

Qual é a soma dos zeros da função $f(x)=x^4-5x^2+4$ ?

0

5

4

-5

Qual é o produto das raízes da equação $\sqrt{2x-4}=x-2$ ?

6

8

4

2

Qual é o valor numérico da expressão $\dfrac{\dfrac{1}{2}-\operatorname{tg}(45^\circ)}{1-\cos(30^\circ)}+\dfrac{1-\operatorname{sen}(30^\circ)}{1+\operatorname{sen}(60^\circ)}$ ?

-2\sqrt{3}

-4

4

2\sqrt{3}

Um armazém tem uma cobertura com formato de uma parábola. A figura ao lado mostra uma vista frontal da cobertura com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos. Qual é a medida da altura H, em metros?

\dfrac{16}{3}

\dfrac{25}{4}

\dfrac{31}{5}

\dfrac{25}{3}

Um chefe de cozinha planeia decorar uma mesa de festa infantil com uma melancia esférica de 10 cm de diâmetro. Ele pretende cortar uma calota esférica da melancia, deixando uma área circular com raio mínimo de 3 cm, para garantir estabilidade e não rolar na mesa. O objectivo é maximizar a área dessa superfície para dispor os doces. Para atingir todos os seus objectivos, qual deverá ser a altura h, em centímetro, de acordo com a figura?

5-\sqrt{91}

10-\sqrt{91}

1

4

10.

A hipótese de que o tabagismo causa câncer de pulmão surgiu de observações clínicas e foi posteriormente investigada através de estudos epidemiológicos. Um desses estudos, que correlacionou a incidência de câncer de pulmão com a quantidade de cigarros fumados diariamente, é representado no gráfico ao lado. De acordo com as informações do gráfico, qual das afirmações a seguir é verdadeira?

A.O consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais.

B.O consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam.

C.O consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas directamente proporcionais.

D.O consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.

11.

Qual das alternativas é equivalente à expressão $\dfrac{\operatorname{sen}(\pi+x)+\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{\operatorname{tg}(\pi-x)}$ ?

-2\operatorname{sen}(x)

0

-2\cos(x)

2\cos(x)

12.

Que valores $k$ pode tomar, para que a equação $|3-2x|=5-k$ NÃO tenha solução?

]5,+\infty[

[5,+\infty[

]-\infty,5]

]-\infty,5[

13.

Qual é a soma das raízes da equação $|3-2x|=5$ ?

2

3

0

1

14.

Qual é o valor de $\underline{m}$ de modo que o polinómio $x^2+2x+3-m=0$ seja divisível por $x+1$ .

0

1

2

3

15.

Qual é o resultado da soma da solução da equação $2^{x+3}-2^{x+2}-2^{x+1}=1$ com $6$ ?

3

4

7

5

16.

No conjunto dos números reais, qual é o domínio de existência de uma expressão racional inteira?

\mathbb{R}

\mathbb{R}\setminus\{0\}

\mathbb{R}^+

\mathbb{R}_0^+

17.

Qual é a classificação da função $f(x)=\dfrac{2x^3}{x^2-4}$ quanto à paridade?

A.par

B.ímpar

C.não é par nem ímpar

D.par e ímpar

18.

Que valores $k$ pode tomar, para que a equação $\begin{vmatrix}0&1&k\\1&k&0\\0&k&1\end{vmatrix}=3$ seja verdadeira?

3

2

-2

2

-3

3

19.

Qual é a expressão equivalente a $\dfrac{(n+1)!-n!}{(n+1)!}$ ?

\dfrac{n}{n-1}

\dfrac{n}{n+1}

\dfrac{n+1}{n}

\dfrac{n-1}{n}

20.

Qual das alternativas é equivalente à expressão $C^{\,n}_{n-p}$ ?

A^{\,n}_{p}

P_n

A^{\,n}_{n-p}

C^{\,n}_{p}

21.

A ementa de um restaurante oferece duas variedades de sopa, quatro opções de pratos principais (peixe ou carne) e três escolhas de sobremesas. Considerando uma sopa, um prato principal e uma sobremesa por refeição, quantas combinações distintas de refeições podem ser servidas?

168

3

60.480

504

22.

Várias pessoas encontraram-se numa festa, tendo cada uma delas cumprimentado cada uma das outras com um aperto de mão. Alguém teve a paciência de contar e observou que houve exactamente 36 apertos de mãos. Quantas pessoas estavam na festa?

6

8

9

10

23.

Dentro de uma caixa, há um total de 20 bolas, distribuídas da seguinte forma: 8 são vermelhas, 3 são brancas e 9 são azuis. Ao extrair uma bola aleatoriamente desta caixa, qual é a probabilidade de que a bola seleccionada não seja vermelha?

\dfrac{9}{20}

\dfrac{3}{5}

\dfrac{2}{5}

\dfrac{3}{20}

24.

Sendo $f(2x-3)=4x+1$ , qual é o valor de $f(5)$ ?

15

16

17

18

25.

Qual é o domínio de existência da função $y=\sqrt{1-x^2}-\dfrac{1}{x-1}$ ?

x\in[-1,1[

x\in[-1,1]

x\in\,]-\infty;-1]\cup]1;+\infty[

x\in\,]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[

26.

Se $f$ e $g$ são funções reais dados por $f(x)=3x+1$ e $g(x)=\log_2(x+1)-5$ . Qual é o valor da expressão $f\circ g(0)$ ?

4

-4

14

-14

27.

Considere a sucessão de termo geral $u_n=\dfrac{6n-1}{n+5}$ . Qual é a ordem do termo $5$ ?

24

26

28

22

28.

Numa progressão aritmética sabe-se que $u_5=10$ e $u_8=16$ . Qual é a razão?

-2

3

2

4

29.

Numa progressão geométrica, sabe-se que $u_1=-1$ e $u_{n+1}=2\cdot u_n$ . Qual é a soma dos 10 primeiros termos da P.G.?

-1024

-1023

1023

1024

30.

Considere a função representada pela figura ao lado. Quais são as abcissas dos pontos em que a função NÃO é derivável?

-2

1

-2

1

]1,3[

31.

Qual a derivada da função $f(x)=\ln\sqrt{x^2+2}$ ?

f'(x)=\dfrac{x}{x^2+2}

f'(x)=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+2}}

f'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}

f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+2}

32.

Sendo $f(x)=2^{x-1}+3$ uma função de $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Qual é a sua função inversa?

f^{-1}(x)=\log_2(x+3)+1

f^{-1}(x)=\log_2(x-3)-1

f^{-1}(x)=\log_2(x+3)-1

f^{-1}(x)=\log_2(x-3)+1

33.

Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}$ ?

4

0

-4

\infty

34.

Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5+3x+7x^3}{2x^2-3}$ ?

-\dfrac{2}{7}

0

\infty

\dfrac{2}{7}

35.

Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos(x)}{x^2}$ ?

2

\dfrac{1}{2}

0

\infty

36.

Considere a função $f(x)=\begin{cases}2x, & \text{se } 0\leq x<2\\[4pt] \dfrac{1-x}{x-2}, & \text{se } 2\leq x\leq4\end{cases}$ . Qual é a afirmação correcta? $f(x)$ é....

A.contínua em

x=2

B.descontínua da

1.^{a}

espécie em

x=2

C.descontínua eliminável em

x=2

D.descontínua da

2.^{a}

espécie em

x=2

37.

Quais são as equações da assimptota vertical da função $\dfrac{1-2x^2}{x^2-4}$ ?

x=-2

x=0

x=2

x=-2

x=2

38.

Em que intervalo a função $f(x)=x^3-12x+4$ é decrescente?

[2,+\infty[

]-\infty,-2]

]-\infty,-2]\cup[2,+\infty[

]-2,2[

39.

Um agricultor tem 200 metros de rede e deseja vedar um terreno retangular que está ao lado de um rio. O terreno deve ser vedado em três lados, pois o rio fará o limite do quarto lado. Considere C o comprimento do terreno (paralelo ao rio) e L a largura do terreno (perpendicular ao rio). Quais devem ser as dimensões do terreno para que este tenha a área máxima possível?

C=50\text{m}

L=100\text{m}

C=20\text{m}

L=10\text{m}

C=100\text{m}

L=50\text{m}

C=10\text{m}

L=20\text{m}

40.

Em que ponto o gráfico da função $f(x)=\dfrac{x^3}{3}-x^2+1$ muda o sentido da concavidade?

P\left(1,\dfrac13\right)

P\left(-1,-\dfrac13\right)

P\left(-1,\dfrac13\right)

P\left(1,-\dfrac13\right)

Respostas

Matemática 2024 · UP e associadas · admitela.com

1B
2D
3B
4D
5A
6B
7A
8D
9C
10D
11B
12A
13B
14C
15D
16A
17B
18C
19B
20D
21—
22C
23B
24C
25A
26D
27B
28C
29B
30C
31A
32D
33A
34C
35B
36D
37D
38D
39C
40A

As soluções passo a passo de cada questão estão em admitela.com/exames/up/matematica-2024/

Solução da questão 1

Resposta

p \Rightarrow q

Resolução

A implicação só é falsa quando

p

é V e

q

é F;

\sim p\vee q

também só é falsa nesse caso, porque aí

\sim p

q

são ambas F.

Logo

\sim p\vee q\equiv p\Rightarrow q

Resposta: B

Erro comum. Escolher $p\Leftrightarrow q$ (A), que exige que $p$ e $q$ tenham o mesmo valor lógico.

Solução da questão 2

Resposta

D.Hoje é sábado e amanhã trabalharei.

Resolução

A afirmação é

p\Rightarrow\sim q

, com

p

: «hoje é sábado» e

q

: «amanhã trabalharei».

\sim(p\Rightarrow\sim q)\equiv p\wedge q

: mantém-se o antecedente e nega-se o consequente.

Fica «Hoje é sábado e amanhã trabalharei».

Resposta: D

Erro comum. Negar uma implicação com outra implicação, como em A e C.

Solução da questão 3

Resposta

\dfrac{5}{6}

Resolução

\sqrt8=2^{3/2}

, logo

\log_2\sqrt8=\dfrac32

\log_{\sqrt8}2=\dfrac{1}{\log_2\sqrt8}=\dfrac23

\dfrac32-\dfrac23=\dfrac{9-4}{6}=\dfrac56

Resposta: B

Erro comum. Dar também $\dfrac32$ ao segundo logaritmo, sem reparar que a base e o logaritmando trocaram de lugar.

Solução da questão 4

Resposta

2x^3+5x^2-7x=0

Resolução

ax^3+bx^2+cx+d=0

, a soma das raízes é

-\dfrac{b}{a}

-\dfrac{5}{-2}=\dfrac52

. B e C:

-\dfrac{-5}{2}=\dfrac52

. D:

-\dfrac52

Confirmação:

2x^3+5x^2-7x=x(2x^2+5x-7)

tem as raízes

0

1

-\dfrac72

, de soma

-\dfrac52

Resposta: D

Erro comum. Esquecer o sinal menos e usar $\dfrac{b}{a}$ , o que leva a B ou C.

Solução da questão 5

Resposta

0

Resolução

Com

y=x^2

y^2-5y+4=0

, logo

y=1

y=4

x^2=1

dá

x=\pm1

x^2=4

dá

x=\pm2

-2-1+1+2=0

Resposta: A

Erro comum. Somar os valores de $y$ e responder $5$ (B).

Solução da questão 6

Resposta

8

Resolução

Elevando ao quadrado:

2x-4=x^2-4x+4

, ou seja

x^2-6x+8=0

, com

x=2

x=4

Verificação:

x=2

dá

\sqrt0=0

x=4

dá

\sqrt4=2

. As duas servem.

2\times4=8

Resposta: B

Erro comum. Não verificar as raízes na equação inicial: aqui as duas servem, mas numa equação irracional nem sempre é assim.

Solução da questão 7

Resposta

-2\sqrt{3}

Resolução

\operatorname{tg}45^\circ=1

\cos30^\circ=\operatorname{sen}60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}

\operatorname{sen}30^\circ=\dfrac12

Primeira fracção:

\dfrac{-\frac12}{\frac{2-\sqrt3}{2}}=\dfrac{-1}{2-\sqrt3}=-(2+\sqrt3)

Segunda:

\dfrac{\frac12}{\frac{2+\sqrt3}{2}}=\dfrac{1}{2+\sqrt3}=2-\sqrt3

. Soma:

-2-\sqrt3+2-\sqrt3=-2\sqrt3

Resposta: A

Erro comum. Perder o sinal da primeira fracção: $(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=4$ , a alternativa C.

Solução da questão 8

Resposta

\dfrac{25}{3}

Resolução

Com o eixo da parábola no eixo

y

e o chão em

y=0

y=H-ax^2

O pé está a 5 m do eixo:

0=H-25a

. A 4 m do eixo a altura é 3 m:

3=H-16a

Subtraindo,

9a=3

a=\dfrac13

H=25\cdot\dfrac13=\dfrac{25}{3}

Resposta: D

Erro comum. Tomar os 5 m e os 4 m como larguras totais, quando são distâncias ao eixo da parábola.

Solução da questão 9

Resposta

1

Resolução

A figura mostra que os doces vão na superfície esférica que fica e que o círculo hachurado assenta na mesa. Para essa superfície ser a maior possível, corta-se a calota mais pequena, com

r=3

cm.

OB=R=5

cm e, no triângulo rectângulo

OAB

OA=\sqrt{5^2-3^2}=4

cm.

h=R-OA=5-4=1

cm.

Resposta: C

Erro comum. Responder $4$ (D), que é a distância $OA$ do centro ao corte, e não a altura da calota.

Solução da questão 10

Resposta

D.O consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade.

Resolução

Os casos nunca descem quando o consumo sobe: as grandezas estão relacionadas, o que exclui A e B.

Para serem directamente proporcionais,

\dfrac{\text{casos}}{\text{cigarros}}

teria de ser constante. Com 1 cigarro há cerca de 21 casos e com 9 cigarros também: o quociente passa de 21 para cerca de 2,3.

Os pontos não estão numa recta que passa pela origem: há relação, mas sem proporcionalidade.

Resposta: D

Erro comum. Concluir «directamente proporcionais» (C) só porque as duas grandezas crescem juntas.

Solução da questão 11

Resposta

0

Resolução

\operatorname{sen}(\pi+x)=-\operatorname{sen}x

\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\operatorname{sen}x

, logo o numerador é

0

O denominador,

\operatorname{tg}(\pi-x)=-\operatorname{tg}x

, não se anula onde a expressão está definida, por isso o quociente é

0

Resposta: B

Erro comum. Escrever $\operatorname{sen}(\pi+x)=\operatorname{sen}x$ : o numerador fica $2\operatorname{sen}x$ e o quociente $-2\cos x$ (C).

Solução da questão 12

Resposta

]5,+\infty[

Resolução

O módulo nunca é negativo:

|3-2x|\geq0

A equação não tem solução quando o segundo membro é negativo:

5-k<0

, ou seja

k>5

Para

k=5

há a solução

x=\dfrac32

, por isso o 5 fica de fora:

]5,+\infty[

Resposta: A

Erro comum. Incluir o 5 (B), quando $|3-2x|=0$ tem solução.

Solução da questão 13

Resposta

3

Resolução

3-2x=5

dá

x=-1

;

3-2x=-5

dá

x=4

-1+4=3

Resposta: B

Erro comum. Resolver só o caso $3-2x=5$ e esquecer o caso $3-2x=-5$ .

Solução da questão 14

Resposta

2

Resolução

Pelo teorema do resto, o polinómio é divisível por

x+1

se o seu valor em

x=-1

for

0

(-1)^2+2(-1)+3-m=2-m=0

, logo

m=2

Resposta: C

Erro comum. Substituir $x=1$ em vez de $x=-1$ , que é a raiz de $x+1$ .

Solução da questão 15

Resposta

5

Resolução

Pondo

2^{x+1}

em evidência:

2^{x+1}\left(2^2-2-1\right)=2^{x+1}=1

2^{x+1}=2^0

, logo

x+1=0

x=-1

-1+6=5

Resposta: D

Erro comum. Parar em $x=-1$ e esquecer a soma com $6$ .

Solução da questão 16

Resposta

\mathbb{R}

Resolução

Uma expressão racional inteira é um polinómio: não tem a variável em denominadores nem dentro de radicais.

Está definida para qualquer número real, por isso o domínio é

\mathbb{R}

Resposta: A

Erro comum. Confundir com uma expressão racional fraccionária, que exclui os zeros do denominador, como em B.

Solução da questão 17

Resposta

B.ímpar

Resolução

O domínio,

\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}

, é simétrico em relação a

0

f(-x)=\dfrac{2(-x)^3}{(-x)^2-4}=\dfrac{-2x^3}{x^2-4}=-f(x)

: a função é ímpar.

Resposta: B

Erro comum. Achar que o $x^2$ do denominador torna a função par, esquecendo o $x^3$ do numerador.

Solução da questão 18

Resposta

-2

2

Resolução

Desenvolvendo pela 1.ª coluna, só conta o

1

da 2.ª linha, com sinal

(-1)^{2+1}=-1

-\begin{vmatrix}1&k\\k&1\end{vmatrix}=-(1-k^2)=k^2-1

k^2-1=3

dá

k^2=4

, ou seja

k=-2

k=2

Resposta: C

Erro comum. Esquecer o sinal do cofactor e chegar a $1-k^2=3$ , que não tem solução real.

Solução da questão 19

Resposta

\dfrac{n}{n+1}

Resolução

(n+1)!=(n+1)\cdot n!

, logo o numerador é

n!\,[(n+1)-1]=n\cdot n!

\dfrac{n\cdot n!}{(n+1)\cdot n!}=\dfrac{n}{n+1}

Resposta: B

Erro comum. Cortar $(n+1)!$ com $n!$ antes de pôr $n!$ em evidência no numerador.

Solução da questão 20

Resposta

C^{\,n}_{p}

Resolução

Escolher os

n-p

elementos que entram é o mesmo que escolher os

p

que ficam de fora (combinações complementares).

C^{\,n}_{n-p}=\dfrac{n!}{(n-p)!\,p!}=C^{\,n}_{p}

Resposta: D

Erro comum. Confundir combinações com arranjos (A ou C), em que a ordem conta.

Solução da questão 21

Resposta

Nenhuma alternativa serve

Há $2\times4\times3=24$ refeições distintas, valor que não está em nenhuma alternativa.

Porquê

Cada refeição tem uma sopa, um prato principal e uma sobremesa: pelo princípio fundamental da contagem, multiplicam-se as escolhas.

2\times4\times3=24

refeições distintas.

24

não aparece em nenhuma alternativa: nenhuma está certa.

Solução da questão 22

Resposta

9

Resolução

Cada aperto de mão é um par de pessoas, sem ordem: com

n

pessoas há

C^{\,n}_{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}

apertos.

\dfrac{n(n-1)}{2}=36\Rightarrow n^2-n-72=0\Rightarrow n=9

-8

não serve).

Resposta: C

Erro comum. Usar $n(n-1)=36$ , que conta cada aperto duas vezes.

Solução da questão 23

Resposta

\dfrac{3}{5}

Resolução

Bolas que não são vermelhas:

3+9=12

, em

20

P=\dfrac{12}{20}=\dfrac35

Resposta: B

Erro comum. Dar a probabilidade de sair vermelha, $\dfrac{8}{20}=\dfrac25$ (C).

Solução da questão 24

Resposta

17

Resolução

2x-3=5

quando

x=4

f(5)=4\cdot4+1=17

Resposta: C

Erro comum. Substituir $x=5$ em $4x+1$ e obter $21$ .

Solução da questão 25

Resposta

x\in[-1,1[

Resolução

Raiz:

1-x^2\geq0

, ou seja

-1\leq x\leq1

Fracção:

x-1\neq0

, ou seja

x\neq1

Domínio:

[-1,1[

Resposta: A

Erro comum. Esquecer a condição do denominador e escolher $[-1,1]$ (B).

Solução da questão 26

Resposta

-14

Resolução

(f\circ g)(0)=f(g(0))

: começa-se pela função de dentro.

g(0)=\log_2 1-5=-5

f(-5)=3\cdot(-5)+1=-14

Resposta: D

Erro comum. Aplicar as funções pela ordem inversa: $g(f(0))=\log_2 2-5=-4$ (B).

Solução da questão 27

Resposta

26

Resolução

\dfrac{6n-1}{n+5}=5\Rightarrow6n-1=5n+25\Rightarrow n=26

Confirmação:

u_{26}=\dfrac{155}{31}=5

Resposta: B

Erro comum. Enganar-se no sinal ao passar o $-1$ para o outro membro e obter $n=24$ (A).

Solução da questão 28

Resposta

2

Resolução

u_8=u_5+3r

, logo

16=10+3r

3r=6

r=2

Resposta: C

Erro comum. Dividir $16-10$ por $4$ , o número de termos de $u_5$ a $u_8$ , em vez de $3$ , o número de intervalos.

Solução da questão 29

Resposta

-1023

Resolução

u_{n+1}=2u_n

: é uma P.G. de razão

r=2

S_{10}=u_1\cdot\dfrac{r^{10}-1}{r-1}=-1\cdot\dfrac{1024-1}{1}=-1023

Resposta: B

Erro comum. Esquecer o $-1$ de $2^{10}-1$ e responder $-1024$ (A).

Solução da questão 30

Resposta

-2

1

Resolução

Uma função não é derivável nos pontos angulosos, onde as derivadas laterais são diferentes.

x=-2

o declive passa de negativo a positivo; em

x=1

passa de positivo a

0

]1,3[

o gráfico é um segmento horizontal e a derivada é

0

Resposta: C

Em $x=3$ , extremo do domínio, só existe a derivada lateral à esquerda; a resposta pretendida conta apenas os pontos angulosos.

Erro comum. Marcar $]1,3[$ (D) por o gráfico ser recto aí: num troço recto a função é derivável.

Solução da questão 31

Resposta

f'(x)=\dfrac{x}{x^2+2}

Resolução

\ln\sqrt{x^2+2}=\dfrac12\ln(x^2+2)

f'(x)=\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{x^2+2}=\dfrac{x}{x^2+2}

Resposta: A

Erro comum. Esquecer o factor $\dfrac12$ e escolher $\dfrac{2x}{x^2+2}$ (D).

Solução da questão 32

Resposta

f^{-1}(x)=\log_2(x-3)+1

Resolução

y=2^{x-1}+3\Rightarrow y-3=2^{x-1}\Rightarrow x-1=\log_2(y-3)

x=\log_2(y-3)+1

; trocando as variáveis,

f^{-1}(x)=\log_2(x-3)+1

Confirmação:

f(1)=2^0+3=4

f^{-1}(4)=\log_2 1+1=1

Resposta: D

Em rigor, $f$ só é invertível de $\mathbb{R}$ para $]3,+\infty[$ , o seu contradomínio; a inversa está definida para $x>3$ .

Erro comum. Somar $3$ em vez de subtrair, ou esquecer o $+1$ que vem do expoente.

Solução da questão 33

Resposta

4

Resolução

x=2

dá

\dfrac00

. Multiplica-se em cima e em baixo pelo conjugado

\sqrt{x+2}+2

O denominador fica

(x+2)-4=x-2

, que se corta:

\displaystyle\lim_{x\to2}\left(\sqrt{x+2}+2\right)=4

Resposta: A

Erro comum. Substituir logo $x=2$ e responder $0$ ou $\infty$ , sem levantar a indeterminação.

Solução da questão 34

Resposta

\infty

Resolução

Para

x\to+\infty

contam os termos de maior grau:

\dfrac{7x^3}{2x^2}=\dfrac{7x}{2}

\dfrac{7x}{2}\to+\infty

, porque o grau do numerador é maior.

Resposta: C

Erro comum. Dividir só coeficientes e responder $\dfrac27$ (D), sem olhar aos graus.

Solução da questão 35

Resposta

\dfrac{1}{2}

Resolução

Multiplicando por

1+\cos x

\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{\operatorname{sen}^2x}{x^2(1+\cos x)}

\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\to1

1+\cos x\to2

, logo o limite é

\dfrac12

Resposta: B

Erro comum. Confundir com $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}=0$ (C).

Solução da questão 36

Resposta

D.descontínua da

2.^{a}

espécie em

x=2

Resolução

À esquerda:

\displaystyle\lim_{x\to2^-}2x=4

À direita:

1-x\to-1

x-2\to0^+

, logo

\displaystyle\lim_{x\to2^+}\dfrac{1-x}{x-2}=-\infty

Um dos limites laterais é infinito: descontinuidade de

2.^{a}

espécie.

Resposta: D

Apesar de o segundo ramo dizer $2\leq x$ , ele não está definido em $x=2$ , porque o denominador se anula; a classificação não muda.

Erro comum. Escolher a $1.^{a}$ espécie (B), que exige limites laterais finitos.

Solução da questão 37

Resposta

x=-2

x=2

Resolução

x^2-4=0

dá

x=-2

x=2

Nesses pontos o numerador vale

1-8=-7\neq0

, logo o limite é infinito nos dois.

Assimptotas verticais:

x=-2

x=2

Resposta: D

Erro comum. Indicar só $x=2$ (C), esquecendo a raiz negativa do denominador.

Solução da questão 38

Resposta

]-2,2[

Resolução

f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)

f'(x)<0

entre os zeros, ou seja, para

-2<x<2

Resposta: D

Erro comum. Escolher $]-\infty,-2]\cup[2,+\infty[$ (C), onde a função é crescente.

Solução da questão 39

Resposta

C=100\text{m}

L=50\text{m}

Resolução

A rede cobre um comprimento e duas larguras:

C+2L=200

, logo

C=200-2L

Área:

A(L)=L(200-2L)=200L-2L^2

, e

A'(L)=200-4L=0

dá

L=50

(máximo, porque

A''=-4<0

C=200-2\cdot50=100

Resposta: C

Erro comum. Trocar C e L (A), como se a rede cobrisse dois comprimentos e uma largura.

Solução da questão 40

Resposta

P\left(1,\dfrac13\right)

Resolução

f'(x)=x^2-2x

f''(x)=2x-2

, que muda de sinal em

x=1

f(1)=\dfrac13-1+1=\dfrac13

Resposta: A

Erro comum. Enganar-se na ordenada e escolher $P\left(1,-\dfrac13\right)$ (D).