Matemática 2023

Racionalizando o denominador da expressão $\dfrac{1}{\sqrt{3}+1}$, tem-se:

A proporção $\dfrac{18}{x-1}=\dfrac{x+2}{3}$ é equivalente à equação:

Qual é o quinto termo do desenvolvimento binomial de $(x+y)^n$, sendo $n=5$?

Em um mapa de parede de uma pequena cidade, destaca-se a presença de uma rodovia, cuja extensão é de 15 quilómetros. No mapa em questão, sua medida está em 10 centímetros, o que nos permite concluir que a sua escala cartográfica é de:

Uma gráfica recebeu um pedido para realizar a produção de apostilas de uma rede de ensino. O estabelecimento possui 4 máquinas, e foi estimado que elas levariam 12 horas para fazer o serviço. Caso houvesse 2 máquinas a mais, o tempo necessário para atender a essa demanda seria de:

Escrita na forma $a+bi$, a expressão $\dfrac{1-i}{1+i}+\dfrac{i}{i-2}$ é igual a:

Simplificando a expressão $\dfrac{y^4-1}{y^3-y^2+y-1}$, tem-se:

Considere a função real definida por $f(x)=\dfrac{x+1}{2x+m}$ e sua inversa $f^{-1}$. Se $f^{-1}(2)=5$, o valor de $m$ é:

Se $3x^2-9x+7=(x-a)^3-(x-b)^3$, para todo número real $x$, o valor de $a+b$ é:

Considere o polinómio $P(x)=x^3+x^2-mx-n$ com $m,n\in\mathbb{R}$. Determine $m$, $n$, de modo que o polinómio tenha como raízes $-2$ e $3$.

Com a proximidade do final do ano, uma papelaria quis antecipar as promoções de material didáctico para o ano lectivo de 2022. Foram colocados em promoção caneta, caderno e lápis. As três ofertas eram:

• 1.ª: 5 canetas, 4 cadernos e 10 lápis por $ 62,00;
• 2.ª: 3 canetas, 5 cadernos e 3 lápis por $ 66,00;
• 3.ª: 2 canetas, 3 cadernos e 7 lápis por $ 44,00.

Para comparar os preços unitários dessa papelaria com outras do comércio, o Sr. Ricardo calculou os preços de uma caneta, um caderno e um lápis. A soma desses preços é:

A equação modular $|5x-6|=x^2$ é equivalente a:

Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um lago formando um ângulo $x$ com a sua superfície, conforme indica a figura em baixo.

Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada aproximadamente por $I(x)=k\cdot\operatorname{sen}x$, sendo $k$ uma constante, e supondo-se que $x$ está entre $0^\circ$ e $90^\circ$. Quando $x=30^\circ$, a intensidade luminosa se reduz a qual percentagem de seu valor máximo?

Dadas as funções reais $f(x)=2x-6$ e $g(x)=ax+b$, se $f[g(x)]=12x+8$, o valor de $a+b$ é:

Simplificada, a expressão $\dfrac{m^4+m^2+1}{m^2+m+1}$ é equivalente a:

A hipotenusa de um triângulo rectângulo mede 13 cm e o perímetro mede 30 cm. A área do triângulo (em $\text{cm}^2$) é:

Uma circunferência intercepta um triângulo equilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme mostra a figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da circunferência. Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na figura é:

Na figura ao lado, ABC é um triângulo equilátero de lado 1 metro. D, E e F são pontos médios dos lados BC, AC e AB, respectivamente.

Qual é, em metros quadrados, a medida da área pintada DEF?

Qual é o conjunto de todos os valores do parâmetro $k$ para os quais a equação $x^2+kx=-1$ não tem soluções reais?

Exprima $b$ em função de $k$, sabendo que $4k=3a$ e que $b$ é metade de $a$.

Para que o polinómio $P(x)=x^5-2x^4+kx^3-3x^2+6$ seja divisível pelo binómio $-x+1$, o valor de $k$ deve ser igual a:

A solução da inequação logarítmica $\log_{\frac{1}{2}}x+\log_{\frac{1}{2}}(x-2)>-3$ é:

O valor de $m$ para que a função $f(x)=-x^2+4x+m$ tenha um valor máximo igual a $10$ é:

Um operário tem seu salário $S$ dado por um valor fixo mais uma parte variável que é directamente proporcional ao número $x$ de horas-extras trabalhadas. Sabe-se que num mês em que são feitas 12 horas-extras, o salário é de \840, e num mês em que são feitas 20 horas-extras, o salário é de \1000. No mês em que o operário tiver feito 15 horas-extras, o salário será de:

Ache o domínio da função $y=\sqrt{2+x-x^2}$.

Que valores devem ter as constantes $a$, $b$ e $c$ se as duas curvas $f(x)=x^2+ax+b$ e $g(x)=cx-x^2$ têm a mesma tangente no ponto $(3,3)$?

A equação $\dfrac{2^x+2^{-x}}{2^x-2^{-x}}=3$ é equivalente a:

Resolva a equação $\log_3(x+19)-1=3+\log_3(x-1)$.

O ponto do gráfico da função $y=\dfrac{1}{x}$ onde a tangente a esta curva tem equação $y=-x+b$, satisfazendo o valor do parâmetro indicado $b$, é:

A derivada da função $y=\dfrac{1}{x}+2\ln x-\dfrac{\ln x}{x}$ é:

A função $f(x)=2(x-7)^2$:

A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150. O $8^\circ$ termo dessa PA é:

Os pontos de inflexão do gráfico da função $f(x)=\dfrac{1}{9}(x^4-4x^3)$ são:

Na figura estão representados os gráficos das funções $f(x)$ e $g(x)$. Para que valores de $x$, $f(x)\le g(x)$?

O limite $\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^3-1}{x-1}$ é igual a:

Qual das sucessões é divergente?

A primitiva $F(x)$ da função $f(x)=-\cos 3x$, sendo $C$ uma constante arbitrária é:

Qual é a primitiva da função $f(x)=e^{-2x}$?

$D_f$:

$\displaystyle\lim_{x\to -1^+}f(x)$:

$\displaystyle\lim_{x\to 1^-}f(x)$:

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)$:

As assíntotas verticais $A_V$ e horizontais $A_H$ da função $f(x)=\dfrac{8x-5}{2x-3}$ são:

As rectas $r$ e $s$ são perpendiculares e intersectam-se no ponto $(2,4)$. A recta $s$ passa pelo ponto $(0,5)$. Uma equação da recta $r$ é:

Determine as constantes $A$ e $B$ para que a função $f(x)=\begin{cases}x^3-x^2+x-1, & x>2\\ A, & x=2\\ B-x^2, & x<2\end{cases}$ seja contínua em $x_0=2$.

Qual é a negação de $p\wedge q$?

Qual é a medida, em centímetros, do lado $x$ no triângulo da figura ao lado?

O centro de uma circunferência é determinado pelo ponto médio do segmento $PQ$, sendo $P(4,6)$ e $Q(2,10)$. Considerando que o raio dessa circunferência é $7$, determine sua equação.

Simplificando a expressão $\dfrac{\operatorname{sen}x}{1+\cos x}+\dfrac{1+\cos x}{\operatorname{sen}x}$ obtém-se:

Na figura ao lado, $h$ (em metros) mede:

Calcule a amplitude do ângulo $x$ na figura ao lado.

Três ilhas A, B e C aparecem num mapa em escala $1:10000$, como na figura. Das alternativas, a que melhor aproxima a distância entre as ilhas A e B é:

Na figura ao lado as rectas $r$ e $s$ são paralelas. A amplitude do ângulo $\alpha$ é:

Qual o conjunto solução da equação trigonométrica $\operatorname{tg}^2x=1$ no intervalo $0\le x\le 2\pi$?

Considere a matriz $A=\begin{bmatrix}4 & x+3\\ x-4 & -3\end{bmatrix}$. O menor valor de $x$ para o qual $\det(A)=0$ é:

A soma dos seguintes determinantes $\begin{vmatrix}a & b\\ b & a\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-a & -b\\ b & a\end{vmatrix}$ é igual a zero:

Um estudante precisa seleccionar, entre as disciplinas A, B, C, D, E e F, quatro disciplinas para cursar no próximo semestre lectivo, sendo que uma necessariamente precisa ser a disciplina E. O número que indica de quantas maneiras o estudante pode escolher as quatro disciplinas é:

Considere todos os divisores positivos do número $60$. A probabilidade de escolhermos, ao acaso, um número primo é:

A probabilidade de um casal com quatro filhos ter dois do sexo masculino e dois do sexo feminino é: